二次型与二次曲面

1、第第 八八 章章二次型二次型 与与 二次曲面二次曲面 00),(xzyfCy zo绕绕 z 轴轴旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCy zo. 00),(xzyf曲线曲线 C绕绕 z 轴轴旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 S曲线曲线 C 00),(xzyf绕绕 z 轴轴旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSM (x,y,z)N), 0(11zyzz 1Py zo221yxy f (y1, z1)=0.x M(x,y,z) S0),( 22 zyxfS：旋转曲面旋转曲面特点特点: :母线母线 C 00),(xzyf0),( 22 zyxfS：C中轴坐标中轴坐标(z) 不变不变,

2、 ,另一坐标另一坐标(y)变为除轴坐标外变为除轴坐标外两坐标的正负算术平方根两坐标的正负算术平方根.旋转曲面旋转曲面名称名称: :与母线名称对应与母线名称对应.012222zbyax绕绕x轴轴1 22222bzyax绕绕y轴轴1 22222byazx(1)-旋转椭球面旋转椭球面反过来反过来, ,方程中若有两个变量以方程中若有两个变量以出现出现, ,这个方程的图形一般是旋转曲面这个方程的图形一般是旋转曲面. .(2-1)x 012222zbyax 双曲线双曲线0y绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周(2-1)x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面12

3、2222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线.绕绕 x 轴一周轴一周(2-1)(2-2)a双曲线双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax xyo(2-2)az绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax xyo双曲线双曲线(2-2)a.z 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx.双曲线双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax xyo(3)yo xpzy 022抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周zyox xpzy 022抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周z(3)ypzyx222 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？. xpzy

4、 022抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面(3)绕y轴旋转一周又如何?.(4) = zkxy 0直线直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo.直线直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz(4) = zkxy 0 x yoz.直线直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面2222xkzy .(4) = zkxy 03.3.沿一条定曲线沿一条定曲线C(准线准线)平行移动的直线平行移动的直线L (母线母线)扫过的曲面叫做柱面扫过的曲面叫做柱面.xzy0母线母线f ( x,y )=0z = 0准线准线M(x,y,z)N (x, y, 0)S M(x, ,y, ,z) S (母线母线

5、z轴轴)柱面柱面特点特点: :柱面柱面名称名称: :与母线名称对应与母线名称对应.含有两个变量的方程在空间表示柱面含有两个变量的方程在空间表示柱面. .f ( x,y )=0z = 0C:12222 byax(1)(1). .zxyo当当 a=b 时时, ,为为222ayx ( z为母线为母线)(2)(2). .zxy = 0y12222 bzaxo(3).(3).pxy22 zxyoF(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0 x= x( t )y= y( t )z= z( t ) t T 如如:x2 + + y2 =1x + + y + + z =3P 同时同时, 又在平行于又

6、在平行于 z轴的方向轴的方向 等速地上升。等速地上升。 其轨迹就是其轨迹就是 圆柱螺线。圆柱螺线。 圆柱面圆柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺线从点螺线从点P Q当当 t 从从 0 2 ，bPQ 2叫螺距叫螺距N.Q（移动及转动都是（移动及转动都是 等速进行，所以等速进行，所以 z与与t t成正比。成正比。) )点点P在圆柱面在圆柱面上等速地上等速地 绕绕z轴旋转；轴旋转；F(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0 xO OyF(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0z)柱面柱面)f (x,y)=0

7、z = 0 x= x( t )y= y( t )z= z( t )xO Oyx= x( t )y= y( t )z= 0例例1 1: :x2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0 xO Oy , zO Ox 坐标坐标(z0) ,x2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0解解:zO Ox y)x2 + + y2 - -x =0 xO Oyx2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0z2 + + x =1z =0y =0 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz

8、22222 yxzyxz1. 11 22zyx解解yxzo得得交线交线L：由由图例图例z =0.21 11 22zyxyxzo解解122 yxL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx.得得交线交线L：.投影柱面投影柱面 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 图例图例例例2 2: : x = y =z =acos tbtasin t坐标坐标xO Oy 解解: x = y =z =acos t0asin tyO Oz y =z =x =asin tbt0zO Ox x =z =y =acos tbt0例例3 3: :解解:2 22 22 22 22 22 22 22 2椭球面椭球面马鞍abcyx zoz = h椭圆椭圆y = hz = h抛物线抛物线抛物线抛物线用用z = a 截曲面截曲面用用y = 0 截曲面截曲面用用x = b 截曲