《圆的对称性》.ppt

1、圆的对称性圆的对称性垂径定理及其推论垂径定理及其推论AB思考： OCDE如图：CD是圆是圆O的直径，的直径，弦弦ABCD于于E，观察图，观察图中的线段和弧，你有什中的线段和弧，你有什么发现？么发现？猜想猜想：AE=BE, AD=BD, AC=BC 你能设法验证你的猜想吗？你能设法验证你的猜想吗？AB OCDE 推理论证，验证猜想.求证： AE=BE, AD=BD,AC=BC 已知：在 O中，CD为直径，AB为弦，且CDAB于点E，证明：联结AO、BO，AO=BOAOB为等腰三角形 CD AE=BECD是直径， AD=BD, AC=BC AB动手操作，验证猜想. OCDE操作操作：将圆：将圆o沿

2、沿CD折叠，折叠，会有什么现象？会有什么现象？结论：AE=BE, AD=BD, AC=BC 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧。题设结论平分弦平分弦所对的两条弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂径定理垂径定理三种语言三种语言 文字语言：文字语言： 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 老师提示老师提示: 垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是

3、直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.图形语言图形语言符号语言符号语言 如图在如图在 O中，直径中，直径CD交弦交弦AB于点于点E，若，若AE=BE 那么：那么：CD与与AB垂直吗？垂直吗？AB OCDEAD=BD,AC=BC 证明：连接AO、BO，AO=BOAOB为等腰三角形为等腰三角形AE=BECDCD是直径是直径，推论推论：平分弦平分弦 的直径垂的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。直于弦，且平分弦所对的两条弧。AD=BD,AC=BC成立吗？成立吗？ oABCD（不是直径） 例例1、已知：如图已知、已知：如图已知 O的半径长是的半径长是5cm，弦，弦AB为为6cm，求圆，求圆心

4、心O到弦到弦AB的距离。的距离。 oABE解后指出：从例解后指出：从例2看出圆的看出圆的半径半径OA，圆心到弦的垂线，圆心到弦的垂线段段OE及半弦长及半弦长AE构成构成RtAOE.把垂径定理和勾股把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。问题就显得很容易了。圆心到弦的距离叫做弦心距垂径定理的应用垂径定理的应用 例例2 2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点o o是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的上的一点一点, ,且且o oE

5、CDECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .n解解: :连接连接o oC C. .OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为赵州石拱桥赵州石拱桥 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱的桥拱是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓

6、形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m).n你是第一你是第一个告诉同个告诉同学们解题学们解题方法和结方法和结果的吗？果的吗？解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOA

7、D中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2 练习练习2：A. 在圆中某弦长为在圆中某弦长为8cm，圆的直径是，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是则圆心到弦的距离是( )cmB. 在圆在圆o中弦中弦CD24，圆心到弦，圆心到弦CD的距离的距离为为5,则圆则圆o的直径是的直径是( ) oCDECDOE答案：3答案：26 练习练习3： 已知如图，在以已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦为圆心的两个同心圆中，大圆的

8、弦AB交小交小圆于圆于C、D两点。两点。 求证：求证：AC=BD o oABCDE证明：过O作OEAB于E，则 AE=BE,CE=DE AECE=BEDE 即AC=BD解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。总结提升：总结提升： 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题用方程的思想来解决问题.n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：两个量，如图有：d + h = r222)2(adrhda2O总结：总结： 垂径定理的拓展引申(