协方差.相关系数与矩

1、 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4D(XY)=D(X) D(Y)+2EXE(X)YE(Y)D(XY)=D(X) D(Y) 2EXE(X)YE(Y) 当研究的问题涉及多个随机变量的时候当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个是必须关注的一个方面方面. 本节介绍的协方差、相关系数就是描述本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征随机变量之间相互关系的数字特征. 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4定义定义4.3.1 若若EXE(X)YE(Y)存在，存在，称称 Cov(

2、 X,Y )=EXE(X)YE(Y)为随机变量为随机变量(X,Y)的的协方差协方差.有有 D(X)= Cov(X, X )； D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y )协方差的协方差的性质性质：1.Cov( X, Y ) Cov( Y, X ) ；例例4.3.1 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.43.Cov( X1+X2 , Y ) Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).常用常用计算公式计算公式：cov( X,Y )E(XY) E(X)E(Y)()(),(2YbEbYXaEaXEbYaXCov ）证证)()(YEYXEXabE ).,(YXabC

3、ov 例例4.3.22.Cov( aX, bY ) ab Cov( X,Y ), a, b是常数是常数； 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4 定义定义4.3.2 设二维随机变量设二维随机变量X,Y 的的D(X)0, D(Y)0 , 称称)()(),(YDXDYXCovXY 为随机变量为随机变量X与与Y 的的相关系数相关系数.注注 1）XY是一无量纲的量是一无量纲的量. 2）)()()()(YDYEYXDXEXEXY ),(*YXCovYXE 标准化随标准化随机变量的机变量的协方差协方差 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4性质性质 设随机变量设

4、随机变量X,Y 的相关系数的相关系数存在，则存在，则 1） | 1; 2） |1 X与与Y 依概率为依概率为1线性相线性相关关. . 即即),0(, 存在存在证证 明明 1 XYP相关系数是衡量两个随机变量之间相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关线性相关程度程度的数字特征的数字特征. .练习练习 将一枚硬币重复抛掷将一枚硬币重复抛掷n次次, , X, Y 分别表分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则示正面朝上和反面朝上的次数，则XY 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4注注1 若随机变量若随机变量X, Y 的相关系数的相关系数XY存在存在, 2）XY 1，则则0, 称称

5、 X, Y 正相关；正相关； 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4 定理定理4.3.1 若随机变量若随机变量X 与与Y 相互独立，相互独立，则则X 与与Y 不相关，即有不相关，即有 XY0 .注注2 若若(X,Y)N(1,21; 2 , 22; ) ,则则 X, Y 相互独立相互独立 XY0 . 注注1 此定理的此定理的逆定理不成立逆定理不成立, 即由即由XY0 不不能得到能得到X 与与Y 相互独立相互独立.例例4.3.3参见参见P117 例例4.4.6例例4.3.5例例4.3.4 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4 定义定义4.3.3 设设n

6、 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn) 的协的协方差方差 )(ijcC 均存在均存在, 称矩阵称矩阵 为为(X1, X2 , Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵.Cij = Cov( Xi , Xj ) nnnnnncccccccccC.212222111211 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4其中有其中有 Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y)D(X)= cov(X,X )三、协方差矩阵的性质三、协方差矩阵的性质;,.,2 , 1),(1niXDciii ）例例4.3.6;,.,2 , 1,2njiccjiij ）njiccjjiiijc1,2,.,42 ）3）C是非负定矩阵；是非负定矩阵；对称阵对称阵 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4 定义定义4.3.4 设设X为为随机变量随机变量, 若若E(|X|k) +, 称称g gk= E(Xk) k=1,2,3.为为X的的 k 阶原点矩阶原点矩. . 称称 k =E(|X|k), k=1,2,3.为为X的的 k 阶绝阶绝对原点矩对原点矩. . 定义定义4.3.5 设设 X 为随机变量为随机变量,若若E|XE(X)|k 0, D(Z)0, 故故 XZ = 0.)2,()3,(YXCovXXCov 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学22.7.4 (3) (