高等几何 总复习

1、1第一章第一章 仿射几何学的基本概念仿射几何学的基本概念 第二章第二章 欧氏平面的拓广欧氏平面的拓广第三章第三章 一维射影几何学一维射影几何学第四章第四章 德萨格定理、四点形与四线形德萨格定理、四点形与四线形第五章第五章 射影坐标系和射影变换射影坐标系和射影变换 第六章第六章 二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质第七章第七章 二次曲线的仿射性质二次曲线的仿射性质第八章第八章 二次曲线的度量性质二次曲线的度量性质2第一章第一章 仿射几何学的基本概念仿射几何学的基本概念 1.1 1.1 平行射影与仿射对应平行射影与仿射对应 1.2 1.2 仿射不变性与不变量仿射不变性与不变量 1.3 1.3 平面

2、到自身的透视仿射平面到自身的透视仿射 1.4 1.4 平面内的一般仿射平面内的一般仿射 1.5 1.5 仿射变换的代数表示仿射变换的代数表示 3第一章第一章 总结总结本章主要内容本章主要内容透视仿射透视仿射（平行射影）（平行射影）仿射性、仿射量、仿射图形仿射性、仿射量、仿射图形仿射的确定仿射的确定代数表达式代数表达式4透视仿射透视仿射 （平行射影）（平行射影）透视仿射透视仿射仿射（透视仿射链）仿射（透视仿射链）（平行射影）（平行射影）直线到直线直线到直线平面到平面，平面到平面，平面到自身平面到自身5仿射性：同素性、结合性、平行性仿射性：同素性、结合性、平行性相切性相切性仿射性、仿射量、仿射图形

3、仿射性、仿射量、仿射图形仿射图形：平行四边形、梯形仿射图形：平行四边形、梯形仿射量仿射量简比简比平行线段的比平行线段的比同一直线上任两线段之比。同一直线上任两线段之比。面积比面积比关于点的对称关于点的对称三角形的中线和重心三角形的中线和重心线段的中点线段的中点6透视仿射由对应透视仿射由对应轴和其外一对对轴和其外一对对应点完全确定。应点完全确定。三对不共线的对三对不共线的对应点确定唯一的应点确定唯一的仿射变换。仿射变换。仿射的确定仿射的确定确定的确定的涵义：涵义：已知：已知：gAAB及可作任一点 的象。已知：已知：,(1,2,3)iiP P iP可作任一点 的象。7代数表达式代数表达式12012

4、12012:,0 xxyTDyxy 特例特例推导仿射性、仿射量推导仿射性、仿射量83P1P2P1P3P2P代数表达式代数表达式1201212012:,0 xxyTDyxy :SS面积 |SDS面积比：9 本章主要讲授了如下的内容：本章主要讲授了如下的内容：1.中心投影（透视）中心投影（透视） 为了保证直线到直线的中心投影、平面为了保证直线到直线的中心投影、平面到平面的中心投影是双射，引入理想元素到平面的中心投影是双射，引入理想元素（无穷远点和无穷远线）；对理想元素与（无穷远点和无穷远线）；对理想元素与普通元素同等对待，这样的观点是射影观普通元素同等对待，这样的观点是射影观点，否则，则为仿射观点

5、。点，否则，则为仿射观点。 中心投影保留同素性和结合性。中心投影保留同素性和结合性。102.齐次坐标与对偶原理齐次坐标与对偶原理 为了表示理想元素，教材引入了齐次坐为了表示理想元素，教材引入了齐次坐标，这为用代数的方法研究几何提供了方标，这为用代数的方法研究几何提供了方便。便。在射影平面上，只用点线结合表达的在射影平面上，只用点线结合表达的全部命题，构成了平面射影几何学全部命题，构成了平面射影几何学。由由ux=0，将，将u或或x分别看作常量，可得点的齐分别看作常量，可得点的齐次坐标与线的齐次坐标，由此，得到了次坐标与线的齐次坐标，由此，得到了点点几何学几何学与与线几何学线几何学。从代数的观点有

6、了对。从代数的观点有了对偶原理，这为研究射影几何学起到了事半偶原理，这为研究射影几何学起到了事半功倍的作用。功倍的作用。113.复元素复元素 坐标为复数的点或线，称为坐标为复数的点或线，称为复元素复元素；若；若两个复元素的坐标互为共轭复数，则它们称两个复元素的坐标互为共轭复数，则它们称为为共轭复元素共轭复元素。 特别要注意的是：特别要注意的是：一条虚直线上有且一条虚直线上有且只有一个实点只有一个实点 ；但是一条实直线上却有无但是一条实直线上却有无穷多个虚点（这里穷多个虚点（这里 是自对偶命题）是自对偶命题） ；坐标为坐标为I(1,i,0)、J(1,-i,0)的点称为的点称为（虚）圆（虚）圆点点

7、，一切圆都通过这两点，反之通过这两点，一切圆都通过这两点，反之通过这两点的实系数二次曲线一定是圆。因此，的实系数二次曲线一定是圆。因此，在复射在复射影平面上，两个相交的圆有四个交点。影平面上，两个相交的圆有四个交点。12x点点x在直线在直线u上，则上，则 在直线在直线 上上.ux虚点虚点x在实直线在实直线u上，则上，则 也在直线也在直线u上上.当当x为虚点，为虚点，u为实直线为实直线实直线实直线u上的虚点成对出现上的虚点成对出现. 即有：实直线上的点或为实点或为即有：实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点成对出现的共轭虚点.对对偶偶命命题题134.关于图形的射影性质关于图形的射影性质(射影

8、不变性射影不变性)射影性质射影性质射影不变性射影不变性射影不变量射影不变量图形在中心射影下保持不变的图形在中心射影下保持不变的性质和数量性质和数量目前已知的射影性质：目前已知的射影性质：射影不变性：射影不变性：结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变同素性：点同素性：点 点；直线点；直线 直线直线141.本章主要内容本章主要内容(1)一维几何基本图形：点列或线束：一维几何基本图形：点列或线束： pq重叠的重叠的：共底的点列，共心的线束：共底的点列，共心的线束 特征：基底元素相同特征：基底元素相同非重叠的非重叠的：点列与线束，两不共

9、底的点列，两不同心的线束：点列与线束，两不共底的点列，两不同心的线束(2)交比交比 点列的交比点列的交比 线束的交比线束的交比 调和比调和比(交比值为交比值为-1)交比的定义交比的定义交比的计算交比的计算交比的性质交比的性质 151.本章主要内容本章主要内容（3）一维射影对应）一维射影对应 定义：定义：pqpq 0,0,ababcdcd,0或射影对应的代数表达式射影对应的代数表达式 .射影变换的二重元素及分类射影变换的二重元素及分类.射影对应的确定射影对应的确定 .透视对应透视对应应用应用 对合对合 定义定义 性质性质 代数表达式代数表达式 16一维射影变换的分类：一维射影变换的分类：00(2

10、)(1)0 相异实根相异实二重元有两个相同实根有两个相同实二重元称为共轭虚根共轭虚二双曲型抛重元物型椭圆型001:,()( )abcdadbc令令= 得得不变元方程不变元方程2002(),()( )abcdadbc172.射影对应间的关系：射影对应间的关系：透视透视射影射影 对合重叠的一维几何形式ISSSIS),(123.一维射影几何研究的方法一维射影几何研究的方法代数方法：工具是交比：两个一维几何图形成射影对应代数方法：工具是交比：两个一维几何图形成射影对应 的充要条件是：对应四元素交比相等的充要条件是：对应四元素交比相等.几何方法：工具是射影：几何方法：工具是射影： 将射影分解为有限个透视

11、之积（见将射影分解为有限个透视之积（见3.53.5）. .18111 11221112221 122221220,0 xa xa xaaxa xa xaa00:,(abcdadbc）b=c 对合对应对合对应200(). () abdadb0 ( ) ababcaca齐次坐标齐次坐标非齐次坐标非齐次坐标参数式参数式坐标式坐标式0 () xxx19第四章第四章 德萨格定理，四点形与四线形德萨格定理，四点形与四线形4.1 德萨格三角形定理德萨格三角形定理 一、本节主要内容一、本节主要内容二、德氏定理二、德氏定理三、三、 重要内容例讲重要内容例讲4.2完全四点（角）形与完全四线（边）完全四点（角）形与

12、完全四线（边）一、平面形一、平面形二、平面构形二、平面构形三、完全四点形与完全四线形三、完全四点形与完全四线形4.3 帕普斯定理帕普斯定理一、帕普斯定理一、帕普斯定理二、帕普斯定理的应用二、帕普斯定理的应用考试重点：作图题考试重点：作图题20射影坐标系和射影变换射影坐标系和射影变换 5.1 一维射影坐标系一维射影坐标系5.2 平面内的射影坐标系平面内的射影坐标系5.3 射影坐标的特例射影坐标的特例5.4 坐标转换坐标转换5.5 射影变换射影变换5.6 二维射影几何基本定理二维射影几何基本定理5.7 射影变换的二重元素（或固定元素）射影变换的二重元素（或固定元素）5.8 射影变换的特例射影变换的

13、特例5.9 换群换群5.10 变换群的例证变换群的例证5.11 变换群与几何学变换群与几何学 210. 射影坐标系射影坐标系要求：要求：会求坐标三角形的三边的方程；会求坐标三角形的三边的方程；会求特殊点的坐标（和方程）、特殊直线的方程会求特殊点的坐标（和方程）、特殊直线的方程（和坐标）；（和坐标）；求过已知两点的直线方程、及已知两直线的交点；求过已知两点的直线方程、及已知两直线的交点；221.二维射影变换二维射影变换111 1122133212 1222233313 13223330.ijxa xa xa xxa xa xa xaxa xa xa x ， 射影变换的确定射影变换的确定（二维射影

14、几何基本定理）：（二维射影几何基本定理）：无三点共线的四对对应点决定唯一的二维射影变换。无三点共线的四对对应点决定唯一的二维射影变换。231112132122233132330aaaaaaaaa 2.二重元素的求法二重元素的求法步骤：步骤：由特征方程由特征方程|A-E E|=0,求出特征根求出特征根; 将每一个特征根将每一个特征根分别代入方程组分别代入方程组(A-E E )x=0，求，求出固定点的坐标；出固定点的坐标； 将每一个特征根将每一个特征根分别代入方程组分别代入方程组(A-E E)u=0，求，求出固定线的坐标出固定线的坐标.11121231312122232313 1232333()0

15、()0,(4)()0aua ua ua uaua ua ua uau111122133211222233311322333()0()0()0aya ya ya yaya ya ya yay 243、三种几何学的特点与比较、三种几何学的特点与比较一般而言，变换群越大，则这些变换下的不变性、不变量就一般而言，变换群越大，则这些变换下的不变性、不变量就越少，它所对应的几何学的研究对象及研究内容也就少。越少，它所对应的几何学的研究对象及研究内容也就少。25相应的变换群相应的变换群射影群射影群仿射群仿射群运动群运动群变换式变换式相应几何学相应几何学射影几何射影几何仿射几何仿射几何欧氏几何欧氏几何基本不变

16、性质基本不变性质结合性结合性平行性平行性合同性合同性基本不变量基本不变量交比交比简比简比距离、角度距离、角度基本不变图形基本不变图形-无穷远直线无穷远直线无穷远直线无穷远直线,31jjijixax, 3 , 2 , 1i0ija111222xa xb ycya xb yc 02211babaxxyhyxyk 22()126 第六章第六章 二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质 6.1 二阶曲线与二级曲线二阶曲线与二级曲线6.2 二次曲线的射影定义二次曲线的射影定义6.3 帕斯卡与布利安双定理帕斯卡与布利安双定理6.4 关于二次曲线的极与极线关于二次曲线的极与极线6.5 配极对应配极对应6.6 二

17、次曲线的射影分类二次曲线的射影分类6.7 二次曲线束及其在解联立方程方面的应用二次曲线束及其在解联立方程方面的应用 27 第七章第七章 二次曲线的仿射性质二次曲线的仿射性质7.1 二次曲线的中心和直径二次曲线的中心和直径7.2 二次曲线的渐近线二次曲线的渐近线7.3 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类7.4 例题例题第八章第八章 二次曲线的度量性质二次曲线的度量性质8.1 圆点圆点8.2 主轴与焦点主轴与焦点28二次曲线二次曲线掌握二次曲线的射影定义、性质；掌握二次曲线的射影定义、性质；二次曲线的仿射分类；二次曲线的仿射分类；能根据方程判断曲线的类型；根据系数矩阵判断曲线是常态还是变态的能根

18、据方程判断曲线的类型；根据系数矩阵判断曲线是常态还是变态的配极原则；配极原则；会求二次曲线的已知点的极线、已知直线的极；会求二次曲线的已知点的极线、已知直线的极；理解迷向直线、理解迷向直线、中心、直径、共轭直径、渐近线中心、直径、共轭直径、渐近线、主轴、焦点、准线的、主轴、焦点、准线的概念；概念；拉盖尔定理及推论；拉盖尔定理及推论；两直线垂直的充要条件。两直线垂直的充要条件。ln2iD29圆的主轴是圆的主轴是 任一直径任一直径 抛物线的主轴是抛物线的主轴是 其中心关于两个圆点的调和共轭点的极线其中心关于两个圆点的调和共轭点的极线 椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是

19、 两条渐近线所成角的平分线两条渐近线所成角的平分线 二次曲线二次曲线的中心的中心直径直径共轭直径共轭直径渐近线渐近线主轴主轴无穷远直线关于无穷远直线关于的极。的极。一直径通过另一直径的极，此二直径称为共轭直径。一直径通过另一直径的极，此二直径称为共轭直径。无穷点关于无穷点关于的极线。的极线。二次曲线二次曲线与无穷远直线交于两点与无穷远直线交于两点T、T，以，以T、 T两点为切两点为切点的切线称为点的切线称为的的渐近线渐近线.换言之，渐近线就是换言之，渐近线就是上的无穷远点的极线。上的无穷远点的极线。渐近线也是直径、是自共轭直径渐近线也是直径、是自共轭直径圆的主轴是圆的主轴是 ，抛物线的主轴是抛

20、物线的主轴是 ，椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是 。TTlO说说抛物线的中心、直径，抛物线有没有共轭直径？说说抛物线的中心、直径，抛物线有没有共轭直径？有没有渐近线？有没有渐近线？lCP.30作图问题作图问题1.过二次曲线上一点作曲线的切线；过二次曲线上一点作曲线的切线；2.过二次曲线外一点作曲线的切线；过二次曲线外一点作曲线的切线；3.作二次曲线的极线；作二次曲线的极线；4.作二次曲线上的点（已知作二次曲线上的点（已知5点）点）5.已知三点，求作第四点成调和点列已知三点，求作第四点成调和点列 已知三线，求作第四线成调和线束已知三线，求作第四线成调和线束31u

21、例例 作不在曲线作不在曲线 上的已知点上的已知点 v 关于关于 的极线的极线 I.作已知点的极线作已知点的极线四、应用四、应用abcdwv32 uxy 例例3. 过不在曲线过不在曲线 上的已知点上的已知点 u，作，作 的切线的切线 作法一：作法一： 1) 由极线作法，先作出由极线作法，先作出 u 的极线，与曲线交得二点的极线，与曲线交得二点x，y； 2) x，y分别与分别与 u 连线，则得切线连线，则得切线33 例例 过不在曲线过不在曲线 上的已知点上的已知点 u，作，作 的切线的切线 作法二：作法二： 如图如图. 过过P任作三割线任作三割线, 可得切线可得切线. 34ABCDRSQTcABC

22、DQSRTc()过点任作一直线过点任作一直线,于于其上任取两点和；其上任取两点和； ()作点作点=ASBQ， T=AQBS;()连交直线连交直线AB于，于，则为所求作。则为所求作。应用应用：调和比的作图调和比的作图设已知共线三点设已知共线三点A、B、C,求作点求作点D，使使(AB,CD)=-1证明：由所作，证明：由所作，QTSR为一完全为一完全四线形，由完全四线形的调和四线形，由完全四线形的调和性质，即知（性质，即知（AB,CD）=-1作法一作法一35应用举例应用举例1P (56)432 例例5（习题（习题6.8） 已知一条二次曲线上五个点，求作曲线在已知一条二次曲线上五个点，求作曲线在其中一

23、点处的切线其中一点处的切线 作法见下图：作法见下图：应用应用Pascal定理和定理和Brianchon定理作图定理作图.ACB36计算问题计算问题1.求交比求交比2.求二重元素：点（不变点、二重点、固定点）求二重元素：点（不变点、二重点、固定点） 直线（不变直线、二重直线）；直线（不变直线、二重直线）；3.求一点（线）关于二次曲线的极线（极）、切线；求一点（线）关于二次曲线的极线（极）、切线；4.根据已知条件求变换式根据已知条件求变换式（仿射变换、一维射影变换）（仿射变换、一维射影变换）5.求二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线求二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线6.已知二次曲线的点坐标

24、（线坐标）方程求其线坐标（点坐标）方程已知二次曲线的点坐标（线坐标）方程求其线坐标（点坐标）方程3711 1122133121 1222233231 13223333()()()0.a ya ya y xa ya ya y xa ya ya y x0,ijija y x 111213112312222321323333(,)0aaaxy yyaaaxaaax求已知点求已知点y(y1,y2,y3)极线极线已知直线求极已知直线求极38求二次曲线的中心，直径及其共轭直径求二次曲线的中心，直径及其共轭直径. 一直径上的无穷远点的极线称为此直径的一直径上的无穷远点的极线称为此直径的共轭直径共轭直径.31

25、323333( , )(,)AAAA 112131122232132333 A AAAAAAAA11 1122133121 1222233231 13223333()()()0.a ya ya y xa ya ya y xa ya ya y x111213112312222321323333(,)0aaaxy yyaaaxaaax39 三、如何求渐近线的方程三、如何求渐近线的方程31323333( , )(,)AACAA XxYy写出渐近线方程：写出渐近线方程： 分解为两个一次方程分解为两个一次方程2211122220 a Xa XYa Y 方法方法3：求中心求中心 将将X、Y作代换作代换 就

26、得渐近线方程就得渐近线方程.40判断证明问题判断证明问题1.判断证明二次曲线的类型、是否常态判断证明二次曲线的类型、是否常态2.判断一维射影对应、对合对应的类型判断一维射影对应、对合对应的类型3.应用高等几何知识证明平面几何问题应用高等几何知识证明平面几何问题41二次曲线的射影分类二次曲线的射影分类一对重合直线：一对重合直线：x12 0一对实直线：一对实直线：x12 x22 0一对虚直线：一对虚直线：x12 x22 0 实二阶曲线：实二阶曲线：x12 x22 x32 0虚二阶曲线：虚二阶曲线：x12 x22 x32 0 二阶曲线二阶曲线常态：秩为常态：秩为3秩为秩为2秩为秩为1 变态变态奇异点情况奇异点情况无无一个一个无数多个、直线无数多个、直线421112331222000aaAaa为为双曲线双曲线抛物线抛物线.椭圆椭圆二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类43一维射影变换的分类：一维射影变换的分类：00(2)(1)0 相异实根相异实二重元有两个相同实根有两个相同实二重元称为共轭虚根共轭虚二双曲型抛重元物型椭圆型0