中国民航大学电路chap7

1、CH7 二阶电路分析二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。论电路的零输入响应。1. 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。2. 通过例子得出二阶电路的一般规律。通过例子得出二阶电路的一般规律。二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应二

2、阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应重点掌握重点掌握学习方法学习方法CH7 二阶电路分析二阶电路分析 本章目录本章目录7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7.4 GLC并联电路的分析并联电路的分析7.1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡CH7 二阶电路分析二阶电路分析 RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程图图1 RLC串联二阶电路串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 为了得到图为了得到图1所

3、示所示RLC串联串联电路的微分方程，先列出电路的微分方程，先列出KVL方程方程RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 2CCCS2dd( )dduuLCRCuu ttt 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。2CCC2dd0dduuLCRCutt 其特征方程为其特征方程为 21 0LCsRCs 其特征根为其特征根为 212122RRsLLLC， 零输入响应方程为零输入响应方程为 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，

4、称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 CLR221,ss 1. 时，时， 为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。 3. 时，时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR221,ss 2. 时，时， 为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼情况。情况。21,ssCLR2RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应过阻尼情况过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式实数，齐次微分方程的

5、解答具有下面的形式 CLR212C12( )ees ts tu tKK 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 C12(0)uKKCL01 12 2d( )(0)dtutiK sK stCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和电容的电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。

6、 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应例例1 电路如图所示，已知电路如图所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。42138331222221LCLRLRs，解：由解：由R，L，C，计算固有频率计算固有频率图图 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式得到代入式得到 )0(ee)(4221CtKKtutt 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值

7、和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21CCiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响方程得到电感电流的零输入响应应 )0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。路各元件的能量交

8、换过程。临界情况临界情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实为两个相同的实数数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2C12( )eeststu tKK t 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。确定。令令t=0，得到，得到 C1(0)uKRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 由由 K1, K2的计算结果，得到电容电压的零输入响应，的计算结果，

9、得到电容电压的零输入响应，再利用再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入可以得到电感电流的零输入响应。响应。 求导，再令求导，再令t=0，得到，得到 CL012d( )(0)dtutiK sKtCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应例例2 电路如图所示。已知已知电路如图所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。22024221222221LCLRLRs，解：由解：由R，L，C，计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图RLC串联二阶电路串

10、联二阶电路RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1CCiKKttuKut 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入，得到代入，得到 )0(ee)(2221cttKKtuttRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCLttttuCtititttt 求解以上两个方程得到常数求解以上

11、两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容得到电容电压的零输入响应电压的零输入响应 )0(V)e2e()(22CtttuttRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 根据以上两个表达式画出的波形曲线，如图所示。根据以上两个表达式画出的波形曲线，如图所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( A e4)()()0( V)e2e()(2CL22CtttititttutttRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应欠阻尼情况欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复为为两个共

12、轭复数根，它们可以表示为数根，它们可以表示为 CLR2d220221jj122LCLRLRs， 其中其中 称为衰减谐振角频率称为谐振角频率称为衰减系数220d0 1 2LCLRRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 C1d2dd( )ecos()sin()ecos()ttu tKtKtKt 式中式中 122221arctanKKKKK 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容后，得到电容电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流方程得到电感电

13、流的零输入响应。的零输入响应。 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应例例3 电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。j4353312222221LCLRLRs，解：由解：由R，L，C，计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图1 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程

14、得到以下两个方程 7)0(43d)(d)0( L210C1CCiKKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电得到电容电压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应: )0(A )74.734cos(e)4sin(24)4cos(7e04. 0dd)()0( V)1 .534cos(e5)4sin(44cos3e)(33cL33ctttttuCtitttttutttt 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入得代入得)0( )4sin(4cose)(213CttKtKtut(a) 衰减系

15、数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图 欠阻尼情况欠阻尼情况画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图(a)和和(b)所示所示 可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。少，曲线衰减越慢。 当例当例3中电阻由中电阻由R=

16、6减小到减小到R=1，衰减系数由衰减系数由3变为变为0.5时，得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图时，得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图(c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。减的等幅振荡。 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应例例4 电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零求电容电压和电

17、感电流的零 输入响应。输入响应。j551222221LCLRLRs，解：由解：由R，L，C计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值 图图 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入得到代入得到 )0()5sin()5cos()(21cttKtKtu 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1CCiKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以

18、上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容得到电容电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应: )0(A)655cos(66. 0)5cos(7)5sin(1504. 0dd)()0(V)255cos(31. 3)5sin(4 . 1)5cos(3)(CLCtttttuCtitttttu画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图所示。画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图所示。 图图 无阻尼情况无阻尼情况 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和

19、电感之间交换，总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零二阶电路的零输入响应的形式与其固

20、有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图种情况画在图6上。上。RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应图图6 由图由图6可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率是不相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率是相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况，s1和和

21、s2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越越大，衰减越快。衰减振荡的角频率快。衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快。越大，振荡周期越小，振荡越快。RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 图中按图中按Ke- t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。变化范围。 4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，固有频率出现在

22、是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 对于图示直流激励的对于图示直流激

23、励的RLC串联电路，当串联电路，当uS(t)=US时，可时，可以得到以下非齐次微分方程以得到以下非齐次微分方程 )0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC 电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成的特解之和组成 )()()(CpChCtututu 电路的固有频率为电路的固有频率为 LCLRLRs122221， 当电路的固有频率当电路的固有频率s1 s2时，对应齐次微分方程的通解时，对应齐次微分方程的通解为为 tstsKKtu21ee)(21ch直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 直流激励下直流激励下RL

24、C串联电路的响应串联电路的响应 微分方程的特解为微分方程的特解为 Scp)(Utu 全响应为全响应为 S21CpChC21ee)()()(UKKtutututsts 利用以下两个初始条件利用以下两个初始条件Cittuut)0(d)(d ),0(L0CC 可以得到可以得到S21C)0(UKKu 对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0得到得到 CisKsKttut)0(d)(dL22110C 求解这两个代数方程，得到常数求解这两个代数方程，得到常数K1和和K2后就可得到后就可得到uC(t)。直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 例例5 电路如图所示。已知电路如图所示。已知 R=

25、4 ，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求。求t0时，电容电时，电容电 压和电感电流的响应。压和电感电流的响应。3112342122221，LCLRLRs解：先计算固有频率解：先计算固有频率直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 这是两个不相等的负实根，其通解为这是两个不相等的负实根，其通解为 ttKKtu321chee)( 特解为特解为 V2)(cptu 全响应为全响应为 V2ee)()()(321CpChCttKKtututu 利用初始条件得到利用初始条件得到 12)0(3d)(d6V2)0(L210C21CCiKKttuKK

26、ut直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 联立求解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到 V8,V1221KK 最后得到电容电压和电感电流的全响应最后得到电容电压和电感电流的全响应 )0(A)e8e4(dd)()()0(V)2e8e12()(3CCL3CttuCtitittutttt直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 例例6 电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求。求t0时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。 解：解：t0时，时， (t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算可以

27、作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率电路的固有频率 j4353312222221LCLRLRs，直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 根据这两个固有频率根据这两个固有频率s1=-3+j4和和s2=-3-j4，可以得到全可以得到全响应的表达式为响应的表达式为 )0(V1)4sin()4cos(e)(213CttKtKtut 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 043d)(d01)0( 210C1CKKttuKut直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 求解

28、以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1-1和和K2-0.75，得到得到电容电压的零状态响应电容电压的零状态响应 ) 0(V 1)1 .1434cos(e25. 1 V1)4sin(75. 0)4cos(e)(33Ctttttutt直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 注：图注：图(c)和和(d)表示当电阻由表示当电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由衰减系数由3变为变为0.5时的电时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。 注：图注：图(a)和和(b)表示画出的电容电压和电感电流的波形。表示画出的电容电压和电感电流的波形

29、。 图图9-79-7RLC并联电路的响应并联电路的响应 RLC并联电路如图所示，为了得到电路的二阶微分方并联电路如图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出程，列出KCL方程方程 )()()()(SCLRtitititi 代入电容，电阻和电感的代入电容，电阻和电感的VCR方程方程 2L2CLRLCLdddd)( dd)()(dd)()()(tiLCtuCtitiGLtGutitiLtututu 得到微分方程得到微分方程 )(ddddSLL2L2tiitiGLtiLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为其特征方程为 012GLsLCs 由此求解得到特征根由此求解得到特征根 LCCGCGs12222 , 1 当电路元件参数当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：以下三种情况： 1. 时，时，s1,s2为两个不相等的实根。为两个不相等的实根。 LCG2 2. 时，时，s1,s2为两个相等的实根。为两个相等的实根。 LCG2 3. 时，时，s1,s2为共轭复数根。为共轭复数根。 LCG2 当两个特征根为不相等的实数