北京交通大学高等岩石力学课件相似模型试验

1、l 绪绪 论论l 相似理论相似理论l 相似条件分析相似条件分析l 相似模拟试验设计相似模拟试验设计主要内容：主要内容：6.1 绪绪 论论 相似模型试验是以相似理论为基础的模型试验相似模型试验是以相似理论为基础的模型试验技术，是利用事物之间存在的相似和类似研究自然技术，是利用事物之间存在的相似和类似研究自然规律的一种方法。规律的一种方法。 17世纪之前人们主要考虑几何相似；从世纪之前人们主要考虑几何相似；从17世纪世纪初开始，由之前主要考虑几何相似发展到同时考虑初开始，由之前主要考虑几何相似发展到同时考虑几何和内在规律相似；几何和内在规律相似；19世纪中期到世纪中期到20世纪世纪30年代，年代，

2、形成了较完善的相似理论，以此理论为指导的相似形成了较完善的相似理论，以此理论为指导的相似模型试验也就成为一种相对成熟的研究方法。模型试验也就成为一种相对成熟的研究方法。 现代模拟技术主要有：物理模拟，数学模拟，现代模拟技术主要有：物理模拟，数学模拟，数值模拟和信息模拟。相似材料模型试验属于物理数值模拟和信息模拟。相似材料模型试验属于物理模拟。模拟。6.2 相似理论相似理论6.2.1 相似准则相似准则 彼此相似的两个系统中，存在着数值不变的组合彼此相似的两个系统中，存在着数值不变的组合量，该组合量称为相似准则。量，该组合量称为相似准则。v1vv23vvv1231 12 23 33 32 21 1

3、AB 轨道几何相似；轨道几何相似； 轨道上任意点运动速度成比例：轨道上任意点运动速度成比例：vCvvvvvv332211 从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：从某对应点运动到另一对应点所需时间成比例：tCtttttt332211 则则A、B两个物体走过的路程也必定成比例：两个物体走过的路程也必定成比例：lCllllll332211满足上述条件称满足上述条件称A A与与B B物体运动相似。物体运动相似。dtdlv 根据：根据： 及以上比例关系式得：及以上比例关系式得：t dl dCCtCdlCddtdlvCvtltlv)()(1ltvltvCCCt dl dvCCCltvCCC 称之为运动

4、学相似指标，其值等于称之为运动学相似指标，其值等于1。 对于任何其他的相似系统存在着同样的规律，即对于任何其他的相似系统存在着同样的规律，即系统物理量之间的相似常数之间的某种组合等于系统物理量之间的相似常数之间的某种组合等于1。1 tvllvtllttvvCCCltv由于由于不变量 ltvlvt则则 该不变量即为运动相似系统的相似准则。该不变量即为运动相似系统的相似准则。 特别注意：不变量不等于常数，它反映了两个相特别注意：不变量不等于常数，它反映了两个相似系统对应点的对应时刻准则值相等，而在同一系似系统对应点的对应时刻准则值相等，而在同一系统不同点是不同的。统不同点是不同的。6.2.2 相似

5、理论的三个定理相似理论的三个定理1 相似第一定理相似第一定理 相似第一定理阐述的是相似现象具有的性质，即：相似第一定理阐述的是相似现象具有的性质，即：相似现象的相似准则相等，相似指标等于相似现象的相似准则相等，相似指标等于1 1，且单值，且单值条件相似。条件相似。 单值条件包括：几何条件，物理条件、边界条件、单值条件包括：几何条件，物理条件、边界条件、初始条件初始条件2 相似第二定理相似第二定理 相似第二定理也称之为相似第二定理也称之为 定理，即：如果现象相似，定理，即：如果现象相似，则描述现象各种参量之间关系式可转换为相似准则之则描述现象各种参量之间关系式可转换为相似准则之间的函数关系，且相

6、似准则函数关系式相同。间的函数关系，且相似准则函数关系式相同。设描述相似现象的物理方程为：设描述相似现象的物理方程为：021321 ),(nkkkaaaaaaaf其中：其中：kaaaa,321为基本量；为基本量；nkkaaa,21 为导出量；为导出量；转换成无因次的准则方程为：转换成无因次的准则方程为：0321 ),(knaF 上式表明：相似准则共有上式表明：相似准则共有 n-k 个。个。 相似第二定理为将模型试验结果推广到原型提相似第二定理为将模型试验结果推广到原型提供了理论依据。供了理论依据。3 相似第三定理相似第三定理 相似第三定理阐述了相似现象应满足的条件。即：相似第三定理阐述了相似现

7、象应满足的条件。即：若两个现象能用相同文字的关系式描述，且单值条件若两个现象能用相同文字的关系式描述，且单值条件相似，同时由此单值条件组成的相似准则相等，则此相似，同时由此单值条件组成的相似准则相等，则此两个现象相似。两个现象相似。6.2.3 相似准则的推导相似准则的推导1 相似转换法相似转换法 列出描述现象的基本微分方程及全部单值条件；列出描述现象的基本微分方程及全部单值条件； 给出相似常数表达式；给出相似常数表达式； 把相似常数表达式代入方程组求得相似指标；把相似常数表达式代入方程组求得相似指标； 把相似常数代入相似指标式求得相似准则；把相似常数代入相似指标式求得相似准则； 对单值条件采用

8、上述、两个步骤求得相似准则。对单值条件采用上述、两个步骤求得相似准则。【例例】：一维导热问题：一维导热问题22xTatT 导热基本方程：导热基本方程： 列出模型导热方程列出模型导热方程22xTatT 给出相似常数表达式给出相似常数表达式xxCaaCttCTTCxatT , 将相似常数代入导热方程求相似指标将相似常数代入导热方程求相似指标222xTCCaCtTCCxTatT 对比原型导热方程：得对比原型导热方程：得2xTatTCCCCC 得相似指标：得相似指标：12 xtaCCC 将相似常数代入相似指标将相似常数代入相似指标122 xxttaa整理，得相似准则整理，得相似准则不变量 22xtax

9、ta2 因次分析法因次分析法 对于某些系统，无法写出基本方程，因此也无法对于某些系统，无法写出基本方程，因此也无法采用相似转换法求得相似准则。采用相似转换法求得相似准则。（1） 因次概念因次概念 因次也称之为量纲，是表示物理量性质的符号。因次也称之为量纲，是表示物理量性质的符号。与物理量的单位既有联系，又有区别。与物理量的单位既有联系，又有区别。 例如：例如：L表示长度的因次，而长度的单位可以是米、表示长度的因次，而长度的单位可以是米、厘米、毫米等厘米、毫米等 因次分为基本因次和导出因次。因次分为基本因次和导出因次。 工程中常用的基本因次系统：工程中常用的基本因次系统：MLT系统；系统；FLT

10、系系统。统。（2） 因次分析原理因次分析原理 因次分析法的理论依据就是因次分析法的理论依据就是定理，即：若描述某定理，即：若描述某一现象的变量有一现象的变量有 n 个，其中个，其中 k 个变量的因次为基本因个变量的因次为基本因次，且这些变量构成一个因次齐次的方程，则齐次方次，且这些变量构成一个因次齐次的方程，则齐次方程可以转化为程可以转化为 n-k 个无因次乘积所组成的方程组。个无因次乘积所组成的方程组。（3） 因次分析法步骤因次分析法步骤 找出与现象有关的变量和因次，得出现象的函数表达式；找出与现象有关的变量和因次，得出现象的函数表达式； 写出相似准则的一般表达式；写出相似准则的一般表达式；

11、 将变量因次代入准则一般方程得到因次式；将变量因次代入准则一般方程得到因次式； 列出变量指数之间的关系式；列出变量指数之间的关系式； 求解得到各变量的指数。求解得到各变量的指数。【例例】：电风扇的运动规律：电风扇的运动规律 影响因素（变量）及因次影响因素（变量）及因次（1）扭矩）扭矩 t： 22 TMLt（2）电风扇半径）电风扇半径 r： Lr （3）空气密度）空气密度 ： 3 ML （4）风扇转速）风扇转速 n： 1 Tn电风扇的运动规律：电风扇的运动规律：0 ),(nrtf 写出准则函数一般表达式写出准则函数一般表达式dcbanrt 将变量因次代入准则函数一般表达式将变量因次代入准则函数一

12、般表达式0001322TLMTMLLTMLdcba 列出变量指数之间关系式列出变量指数之间关系式 020320dacbaca 求解得各变量指数求解得各变量指数令：令：1 a得：得：215 dcb,得相似准则：得相似准则：25nrt 令：令：1 b均得：均得：tnr25 或或1 c1 d 本例中变量数为本例中变量数为4个，基本因次为个，基本因次为3个，故相似准个，故相似准则为则为1个。个。3 矩阵分析法矩阵分析法v 将矩阵理论引入因次将矩阵理论引入因次分析法中来求相似准则。分析法中来求相似准则。对于含有较多变量的系统，对于含有较多变量的系统，可使分析过程得到简化。可使分析过程得到简化。【例例】：

13、系船浮筒系统，分：系船浮筒系统，分析系统的相似准则。析系统的相似准则。 影响因素（变量）及因次影响因素（变量）及因次（1）水的密度）水的密度 ： 3 MLw （2）空气的密度）空气的密度 ：w a 3 MLa （3）风速）风速 v： 1 LTv（4）重力加速度）重力加速度 g： 2 LTg（5）浮筒的密度）浮筒的密度 ： 3 MLc （6）系杆长度）系杆长度 l ： Ll c （7）系杆转角）系杆转角 ： 1 系统基本方程系统基本方程0 ),( lgvfcaw 系统变量共有系统变量共有7个，基本因次为个，基本因次为3个，故相似准个，故相似准则有则有4个，其中个，其中 是无因次量，因此：是无因次

14、量，因此： 1 写出相似准则一般表达式写出相似准则一般表达式fecdcbaawlgv 将变量因次代入准则函数一般表达式将变量因次代入准则函数一般表达式fedcbaLMLLTLTMLML 32133 写出因次矩阵写出因次矩阵100133011002131010MLTlgvcawa b c d e f 求矩阵的秩求矩阵的秩 矩阵的秩为矩阵的秩为3，相似准则的个数等于矩阵列数减，相似准则的个数等于矩阵列数减去矩阵的秩，为去矩阵的秩，为6-3=3。为简化分析，将不为零的。为简化分析，将不为零的行列式排在矩阵右侧。行列式排在矩阵右侧。 由因次表达式得由因次表达式得 0203330dcfedcbaeba

15、22/cfbaecd求解上述方程：求解上述方程： 变换矩阵变换矩阵 将将d、e、f各行的系数作为各行的系数作为矩阵中对应各列的矩阵中对应各列的元素，在元素，在a、b、c位置上为单位矩阵。位置上为单位矩阵。10001000121021010010/ 2 3 4 lgvcawa b c d e f则：三个相似准则为则：三个相似准则为cw 2ca 3glvlgv221214 6.3 相似条件分析相似条件分析 相似条件即模型与原型有关参数之间应满足的条相似条件即模型与原型有关参数之间应满足的条件。包括：几何相似、物理相似、力学相似、过程相件。包括：几何相似、物理相似、力学相似、过程相似、破坏相似、边界

16、条件相似、初始条件相似等。似、破坏相似、边界条件相似、初始条件相似等。 对于具体研究的问题，首先是要明确研究的目的，对于具体研究的问题，首先是要明确研究的目的，然后找出影响问题的主要因素（变量、参数），最后然后找出影响问题的主要因素（变量、参数），最后针对主要因素确定相似准则、相似指标和相似比。针对主要因素确定相似准则、相似指标和相似比。 以岩石地下工程为例，需要考虑几何条件、地应以岩石地下工程为例，需要考虑几何条件、地应力、岩体的物理力学参数、应力应变关系、破坏条件、力、岩体的物理力学参数、应力应变关系、破坏条件、边界条件、开挖过程的相似。边界条件、开挖过程的相似。6.3.1 几何相似条件几

17、何相似条件llCllC几何相似常数几何相似常数6.3.2 应力应变关系相似应力应变关系相似 O1 2 2 2 1 1 模型模型原型原型nnC 2211在任意应变点应力要满足在任意应变点应力要满足 几何相似条件是相似模拟试验中原型和模型应满足的基几何相似条件是相似模拟试验中原型和模型应满足的基本条件之一。即表征原型的几何尺寸特征参数本条件之一。即表征原型的几何尺寸特征参数 和表征模型和表征模型几何尺寸的特征参数几何尺寸的特征参数 必须满足下式：必须满足下式：ll6.3.3 应力平衡关系相似应力平衡关系相似000zzzyzxyyzyyxxxzxyxFzyxFzyxFzyx Oyzx原型原型000z

18、zzyzxyyzyyxxxzxyxFzyxFzyxFzyx 模型模型只考虑重力：只考虑重力：0yxFF0yxFFgFgFzz ,zxzxyzyzxyxyzzyyxxC 将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程将应力相似常数和几何相似常数代入原型方程zzyyxxCl C000gCzyxCCzyxCCzyxCCzzyzxlyzyyxlxzxyxl 得：得：与模型平衡方程对比可得：与模型平衡方程对比可得：1lCCC 6.3.4 变形相似条件变形相似条件 由于应变是无量纲的量，根据相似第二定理，由于应变是无量纲的量，根据相似第二定理，应变本身就是一个相似准则，故：应变本身就是一个相似准则，故：1 C)

19、(1)(1)(1xyzzzxyyzyxxEEE 假设原型和模型均满足：假设原型和模型均满足： 由于泊松比也是一个无量纲的量，故：由于泊松比也是一个无量纲的量，故：1 C 则，不难得到：则，不难得到： CCE6.3.5 破坏相似条件破坏相似条件 Ot 1 1 1 1 模型模型原型原型cct ttccC 1111 原型强度曲线与模型完原型强度曲线与模型完全相似，要满足：全相似，要满足： 严格满足比较困难，可简化为：严格满足比较困难，可简化为：tctc 1 C CCc6.3.6 时间相似条件时间相似条件1 ltvCCC 时间相似性比较复杂，取决于研究问题中时间因时间相似性比较复杂，取决于研究问题中时

20、间因素所起的作用，需要根据具体问题采用因次分析法来素所起的作用，需要根据具体问题采用因次分析法来确定其相似常数。确定其相似常数。运动学相似：运动学相似：12 xtaCCC一维导热相似：一维导热相似：12 ltgCCC6.4 相似模拟试验设计相似模拟试验设计6.4.1 相似准则的选择和调整相似准则的选择和调整 相似准则要独立；相似准则要独立； 尽可能使相似准则具有明确物理意义；尽可能使相似准则具有明确物理意义； 将原始准则尽量转换为常用准则形式；将原始准则尽量转换为常用准则形式； 如雷诺准则：如雷诺准则： 傅鲁德准则：傅鲁德准则：2vl 傅里叶准则：傅里叶准则：2xta 牛顿准则：牛顿准则：22

21、vlF vl 每个相似准则中最好只安排一个待求量；每个相似准则中最好只安排一个待求量； 选取准则要考虑变量易量测；选取准则要考虑变量易量测； 准则较多时，以主要准则为主。准则较多时，以主要准则为主。6.4.2 相似常数的选取相似常数的选取 相似常数指原型参数与模型参数的比值。相似常数指原型参数与模型参数的比值。 相似常数包括：基本相似常数和导出相似常数，相似常数包括：基本相似常数和导出相似常数，基本相似常数是基本量的相似常数，主要有长度、时基本相似常数是基本量的相似常数，主要有长度、时间、质量、温度、电流；导出相似常数是导出量的相间、质量、温度、电流；导出相似常数是导出量的相似常数。模型试验设

22、计中只选择基本相似常数即可。似常数。模型试验设计中只选择基本相似常数即可。研究领域研究领域基本相似常数基本相似常数几何尺寸几何尺寸时间时间质量质量温度温度电流电流几何学几何学运动学运动学静力学静力学动力学动力学热力学热力学热传导热传导静电学静电学电动力学和电磁学电动力学和电磁学磁流体动力学磁流体动力学 常见研究领域涉及的基本相似常数常见研究领域涉及的基本相似常数1 几何相似常数几何相似常数 几何相似常数选取的原则：在保证试验参数量测精度的前几何相似常数选取的原则：在保证试验参数量测精度的前提下，尽量使模型便于操作。需要根据原型尺寸、模型试验台提下，尽量使模型便于操作。需要根据原型尺寸、模型试验

23、台架尺寸及研究问题的目的综合考虑确定。架尺寸及研究问题的目的综合考虑确定。 对岩土工程、地下工程问题一般取对岩土工程、地下工程问题一般取10 50； 对于大坝模拟一般取对于大坝模拟一般取 80 120。2 时间相似常数时间相似常数 时间相似常数选取主要应考虑完成一种现象所需的时间长时间相似常数选取主要应考虑完成一种现象所需的时间长短和相似指标的制约综合考虑确定。通常完成一种现象时间很短和相似指标的制约综合考虑确定。通常完成一种现象时间很长时，应选取大的时间常数，以缩短模型试验时间，但有时受长时，应选取大的时间常数，以缩短模型试验时间，但有时受相似指标的约束会出现矛盾，此时需要综合考虑确定合适的

24、时相似指标的约束会出现矛盾，此时需要综合考虑确定合适的时间相似常数。间相似常数。3 质量相似常数质量相似常数 质量相似常数通常用密度相似常数来表达。质量相似常数通常用密度相似常数来表达。 对模拟由地心引力引起的应力场问题，存在以下相似指标对模拟由地心引力引起的应力场问题，存在以下相似指标1glCCCC 在进行模型设计时，一般要求在进行模型设计时，一般要求 ，另外模型和原型，另外模型和原型同受地心引力作用，同受地心引力作用， ，则：，则：1 C1gClCC1 若几何相似常数为若几何相似常数为20，则意味着相似材料密度需是原型材，则意味着相似材料密度需是原型材料密度的料密度的20倍，这一般是做不到

25、的。倍，这一般是做不到的。 两种解决方法：一是提高应力相似常数，使得下式满足，两种解决方法：一是提高应力相似常数，使得下式满足，在岩体地下工程模拟中，若实际模拟深度大，还需要在模型顶在岩体地下工程模拟中，若实际模拟深度大，还需要在模型顶面加面力进行补偿，所加面力大小应为：面加面力进行补偿，所加面力大小应为：1lCCC 二是保持二是保持 ，进行离心模型试验，加大模型的重力，进行离心模型试验，加大模型的重力加速度，在加速度，在 情况下，使得下式满足：情况下，使得下式满足： 1 C1 C11glCC 在此情况下可以用原型材料塑造模型进行试验，这一点对在此情况下可以用原型材料塑造模型进行试验，这一点对

26、于原型本身为土体的情况是非常适宜的。于原型本身为土体的情况是非常适宜的。 CH /6.4.3 相似材料原料与配比相似材料原料与配比1 相似材料原料相似材料原料 常用的有：石英砂、重晶粉、石膏、石灰、水泥、常用的有：石英砂、重晶粉、石膏、石灰、水泥、碳酸钙、黑云母、煤粉、木屑、硼酸等碳酸钙、黑云母、煤粉、木屑、硼酸等2 相似材料配比相似材料配比 即相似材料原料之间的重量比例关系。确定合适的即相似材料原料之间的重量比例关系。确定合适的配比不是一件容易做到的事。一般根据前人研究成果，配比不是一件容易做到的事。一般根据前人研究成果，或者经过大量配比试验来确定出合适的配比。或者经过大量配比试验来确定出合适的配比。配比号配比号 抗压强度（抗压强度（kPa）弹性模量（弹性模量（MPa） 泊松比泊松比备备 注注537372093000.