信道与随机过程

1、2.1 信道的数学模型2.2 信道容量2.3 随机信号分析2.4 信道特性对信号传输的影响2.5 信道中的噪声2.1 信道的数学模型 信道模型的分类： 调制信道 编码信道编码信道调制信道 2.12.1 调制信道模型式中 信道输入端信号电压； 信道输出端的信号电压； 噪声电压。通常假设：这时上式变为： 信道数学模型f ei(t)e0(t)ei(t)n(t)图2-1 调制信道数学模型)()()(tntefteio)(tei)(teo)(tn)()()(tetktefii)()()()(tntetkteio 因k(t)随t变，故信道称为时变信道。 因k(t)与e i (t)相乘，故称其为乘性干扰。

2、因k(t)作随机变化，故又称信道为随参信道。 若k(t)变化很慢或很小，则称信道为恒参信道。 乘性干扰特点：当没有信号时，没有乘性干扰。) () () () (tntetkteio 调制信道模型调制信道模型调制信道的主要特性调制信道的主要特性 绝大多数信道是线性的，即满足叠加原理绝大多数信道是线性的，即满足叠加原理 信号通过信道需要经过一定的延时信号通过信道需要经过一定的延时 信道对信号有损耗（固定或时变损耗）信道对信号有损耗（固定或时变损耗） 即使没有信号输入，接收端仍有信号输出（噪声），通常即使没有信号输入，接收端仍有信号输出（噪声），通常称为加性噪声。称为加性噪声。2.1.2 2.1.2

3、 调制信道模型调制信道模型调制信道的分类 恒参信道k(t)不随时间变化或变化极为缓慢卫通、微波中继、有线信道等可看成恒参信道 随参信道k(t)随时间t随机变化天波、散射、地面无线信道等为随参信道编码信道模型编码信道模型编码信道包括调制器、解调器、媒介在内 调制信道使传输信号发生波形变化 编码信道使数字序列发生0、1差错与调制信道的关系 传输波形变化通过解调产生数字差错编码信道模型 采用数字信号的转移概率来描述0 1 ) 1/0(P) 1/1 (P)0/0(P)0/1 (P1 0 编码信道模型编码信道模型转移概率 编码信道主要参数 实际信道的转移概率由大量实验数据统计得到编码信道的分类 无记忆编

4、码信道码元之间相互独立 有记忆编码信道码元之间存在相关性 2.1.2 2.1.2 编码信道模型编码信道模型 二进制编码信道简单模型 无记忆信道模型 P(0 / 0)和P(1 / 1) 正确转移概率 P(1/ 0)和 P(0 / 1) 错误转移概率P(0 / 0) = 1 P(1 / 0)P(1 / 1) = 1 P(0 / 1) P(1 / 0)P(0 / 1)0011P(0 / 0)P(1 / 1)图2-2 二进制编码信道模型发送端接收端 四进制编码信道模型 01233210接收端发送端12 2.2.1 2.2.1 离散信道容量离散信道容量 两种不同的度量单位：C 每个符号能够传输的平均信息

5、量最大值Ct 单位时间（秒）内能够传输的平均信息量最大值 两者之间可以互换2.2 信道容量 13 计算离散信道容量的信道模型 发送符号：x1，x2，x3，xn 接收符号： y1，y2，y3，ymP(xi) = 发送符号xi 的出现概率 ，i 1，2，n；P(yj) = 收到yj的概率，j 1，2，m P(yj/xi) = 转移概率， 即发送xi的条件下收到yj的条件概率x1x2x3y3y2y1接收端发送端xn。ym图2-3 信道模型P(xi)P(y1/x1)P(ym/x1)P(ym/xn)P(yj)如果信道是无噪的,当信源发出消息xi后,信宿必能准确无误地收到该消息,彻底消除对xi的不确定度,

6、所获得的信息量就是xi的不确定度I(xi),即xi本身含有的全部信息。一般而言,信道中总是存在着噪声和干扰,信源发出消息xi,通过信道后信宿只可能收到由于干扰作用引起的某种变型yj 。信宿收到yj 后推测信源发出xi的概率p(xi|yj)称为后验概率。信源发出消息xi的概率p(xi) 称为先验概率。1415 互信息 定义为 xi的后验概率与先验概率比值的对数)()|(log);(2ijijixpyxpyxI 互信息I(xi;yj)表示接收到某消息yj后获得的关于事件xi的信息量。)()|(log)()()(log)()|(log);(jijjijiijijiypxypypxpyxpxpyxpy

7、xI)|()()|()();(ijjjiijixyIyIyxIxIyxI例：某地二月份天气 构成的信源为：168/ 18/ 14/ 12/ 1)(雪雨阴晴xpXbitxIxIbitxIbitxI4)()(,2)(,121log)(43221 若得知“今天不是晴天”,把这句话作为收到的消息y1 当收到y1后,各种天气发生的概率变成后验概率了 p(x1|y1) = 0, p(x2|y1) = 1/2 , p(x3|y1) = 1/4 , p(x4|y1) = 1/4 0)()|(log);(111211xpyxpyxI 求得自信息量分别为 表明从y1分别得到了x2 x3 x4各 1比特的信息量。消

8、息y1使x2 x3 x4的不确定度各减少1bit 。17bitxpyxpyxI14/12/1log)()|(log);(2212212bityxIyxI18/14/1log);();(21413无条件熵无条件熵18)|(log)|()|(jiijijyxpyxpyXH)|(log),()|(jiijjiyxpyxpYXH),(log),(),(jiijjiyxpyxpYXH 条件熵条件熵 联合熵联合熵iiixpxpXH)(log)()(19 从信息量的概念得知：发送xi时收到yj所获得的信息量等于发送xi前接收端对xi的不确定程度（即xi的信息量）减去收到yj后接收端对xi的不确定程度。 发送

9、xi时收到yj所获得的信息量 = -log2P(xi) - -log2P(xi /yj) 对所有的xi和yj取统计平均值，得出收到一个符号时获得的平均信息量：平均信息量 / 符号 nimjnijijijiiyxHxHyxPyxPyPxPxP11122)/()()/(log)/()()(log)(20平均信息量 / 符号 式中式中为每个发送符号为每个发送符号x xi i的平均信息量，称为信源的的平均信息量，称为信源的熵。为接收为接收y yj j符号已知后，发送符号符号已知后，发送符号x xi i的平均信息量。的平均信息量。 由上式可见，收到一个符号的平均信息量只有由上式可见，收到一个符号的平均信

10、息量只有 H H( (x x) ) H H( (x/yx/y) )，而发送符号的信息量原为而发送符号的信息量原为H H( (x x) )，少了的部分，少了的部分H(x/y)H(x/y)就是传输错误率就是传输错误率引起的损失。引起的损失。 nimjnijijijiiyxHxHyxPyxPyPxPxP11122)/()()/(log)/()()(log)(niiixPxPxH12)(log)()(mjnijijijyxPyxPyPyxH112)/(log)/()()/(21 容量C的定义：每个符号能够传输的平均信息量最大值 (比特/符号) 当信道中的噪声极大时，H(x / y) = H(x)。这时

11、C = 0，即信道容量为零。 容量Ct的定义： (b/s) 式中 r 单位时间内信道传输的符号数)/()(max)(yxHxHCxP)/()(max)(yxHxHrCxPtu单位时间内信道上所能传输的最大信息量称为信息单位时间内信道上所能传输的最大信息量称为信息容量容量.220011P(0/0) = 127/128P(1/1) = 127/128P(1/0) = 1/128P(0/1) = 1/128发送端图4-23 对称信道模型接收端 【例2.2.1】设信源由两种符号“0”和“1”组成，符号传输速率为1000符号/秒，且这两种符号的出现概率相等，均等于1/2。信道为对称信道，其传输的符号错误

12、概率为1/128。试画出此信道模型，并求此信道的容量C和Ct。【解】此信道模型画出如下：23此信源的平均信息量（熵）等于： （比特/符号）而条件信息量可以写为现在P(x1 / y1) = P(x2 / y2) = 127/128， P(x1 / y2) = P(x2 / y1) = 1/128，并且考虑到P(y1) +P(y2) = 1，所以上式可以改写为121log2121log21)(log)()(1222niiixPxPxH)/(log)/()/(log)/()()/(log)/()/(log)/()()/(log)/()()/(2222221221212212112111112yxPy

13、xPyxPyxPyPyxPyxPyxPyxPyPyxPyxPyPyxHmjnijijij24平均信息量 / 符号H(x) H(x / y) = 1 0.045 = 0.955 （比特 / 符号）因传输错误每个符号损失的信息量为H(x / y) = 0.045（比特/ 符号）信道的容量C等于：信道容量Ct等于： 045. 0055. 001. 0)7()128/1 (01. 0)128/127()128/1 (log)128/1 ()128/127(log)128/127()/(log)/()/(log)/()/(221221211211yxPyxPyxPyxPyxH符号）（比特 /955. 0

14、)/()(max)(yxHxHCxP)/(955955. 01000)/()(max)(sbyxHxHrCxPt25信号在信道中传输要受到干扰的影响，以致引起信息传输错误，我们把具有干扰的信道称为有扰信道。那么，在怎样的条件下，信道可以无失真(不丢失)地将信息以速率R进行传输呢？香农定理给出了理论答案： 对于一个给定的有扰信道，如果信息源的信息发出速率对于一个给定的有扰信道，如果信息源的信息发出速率小于或等于信道容量，即小于或等于信道容量，即RC，则理论上存在一种方法可使，则理论上存在一种方法可使信息以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，若信息以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，若RC，

15、则该信道将无法正确传递该信息。则该信道将无法正确传递该信息。26 香农公式给出了信道带宽、信道容量和白色高斯噪声干扰信号(或信道输出信噪比)之间的关系 式中,C为信道容量(单位为bit/s或b/s)，B为信道带宽(Hz)，S是信号功率，N是噪声功率。式中，N=n0B。)/)(1 (log02sbBnsBC)/)(1 (log2sbitNSBC(1.4 - 5)(1.4 - 6)27当S ，或n0 0时，Ct 。但是，当B 时，Ct将趋向何值？令：x = S / n0B，上式可以改写为：利用关系式上式变为)/(1log02sbBnSBCtxtxnSBnSSBnnSC/12002001log1lo

16、g1)1ln(lim/ 10 xxxaealnloglog22020/120044. 1log)1 (loglimlimnSenSxnSCxxtB28 上式表明，当给定S / n0时，若带宽B趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是S / n0的1.44倍。这是因为当带宽B增大时，噪声功率也随之增大。 Ct和带宽B的关系曲线：020/120044. 1log)1 (loglimlimnSenSxnSCxxtB图4-24 信道容量和带宽关系S/n0S/n0BCt1.44(S/n0)29上式还可以改写成如下形式：式中Eb 每比特能量；Tb = 1/B 每比特持续时间。 上式表明，为了得到给定的信

17、道容量Ct，可以增大带宽B以换取Eb的减小；另一方面，在接收功率受限的情况下，由于Eb = STb，可以增大Tb以减小S来保持Eb和Ct不变。 0202021log/1log1lognEBBnTEBBnSBCbbbt)/(1log02sbBnSBCt3031 典型的模拟电话系统信噪比为30dB(SN=1000)，带宽B=3000Hz，根据式(1.45)可得它的信道容量约为30kb/s。这个值是理论上限，实际的信息(数据)传输速率都要低于30kb/s。 香农定理告诉我们，有扰信道的最大信息传输速率(即信道容量)是有限的，信道容量受信道带宽和信道信噪比的制约，只要给定了信道信噪比和带宽，则信道的最

18、大信息传输速率就确定了，并且该容量与信号取的离散值个数无关，无论用什么调制方式都无法改变。32 【例2.2.2】已知黑白电视图像信号每帧有30万个像素；每个像素有8个亮度电平；各电平独立地以等概率出现；图像每秒发送25帧。若要求接收图像信噪比达到30dB，试求所需传输带宽。 【解】因为每个像素独立地以等概率取8个亮度电平，故每个像素的信息量为Ip = -log2(1/ 8) = 3 (b/pix)(4.6-18)并且每帧图像的信息量为IF = 300,000 3 = 900,000 (b/F)(4.6-19)因为每秒传输25帧图像，所以要求传输速率为Rb = 900,000 25 = 22,5

19、00,000 = 22.5 106 (b/s) (4.6-20)信道的容量Ct必须不小于此Rb值。将上述数值代入式：得到22.5 106 = B log2 (1 + 1000) 9.97 B最后得出所需带宽B = (22.5 106) / 9.97 2.26 (MHz)NSBCt/1log22.3.1 随机过程的基本概念2.3.2 平稳随机过程2.3.3 高斯平稳随机过程 2.3.4 平稳随机过程通过线性系统2.3.5 窄带随机过程 2.3. 6 高斯白噪声和带限白噪声 2.3.1 随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性2.3.1.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念其变

20、化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。 通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程随机信号和噪声统称为随机过程。确定性过程：确定性过程：随机过程随机过程： 2.3.1.1 随机过程的概念 前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一个随机变量，而是

21、一个在时间上不断变化的随机变量的集合。 我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机过程。随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体，其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。 由此从数学的角度，我们给出随机过程这样的定义：设 (k=1, 2, )是随机试验，每一次试验都有一个时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之无穷多个样本函数的总体称

22、为随机过程，如图3-1 所示。 kS( )ix t12( ),( ),( ),nx t x tx t( ) t 图3-1 随机过程波形2.3.1.1 随机过程的基本概念 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样

23、本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为 (t1)。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。随机过程的统计特性是通过其概率分布函数或数字特征来表述的。一、随机过程的分布函数和概率密度 设 表示一个随机过程，在任意给定的时刻 其取值 是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，() t

24、1( )t1t 为随机过程 的一维分布函数。如果 对 的偏导数存在，即有则称 为 的一维概率密度函数。( ) t111( , )F x t1x111( , )f x t( ) t1111111( , )( , )F x tf x tx（2.3.2） 11111(, ) ( )F x tPtx（2.3.1） 我们称我们称显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函数。任意给定 ，则 的n维分布函数被定义为如果存在以下关系：12, ,nt tt( ) t12

25、1 21122( , ,., ; , ,., )( ( ), ( ),., ( )nnnnnF x xx t ttPtxtxtx（2.3.3） 1212121212( ,., ; , ,., )( ,., ; , ,., )nnnnnnnnF x xx t ttf x xx t ttx xx （2.3.4） 则称 为 的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，引用二维概率密度函数即可解决问题。1212( ,.,; , ,., )nnnf x xx t tt( ) t二、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地

26、描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1、数学期望（统计平均值）随机过程 的数学期望定义为并记为 。随机过程的数学期望是时间 t 的函数。( ) t ( )( )Eta t1 ( )( , )Etxf x t dx（2.3.5） 1、随机变量的数学期望数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。对于离散随机变量X，设 是其取 的概率，则其数学期望定义为( )(1,2, , )iP x ikix1()()kiiiE Xx P x（2.3.6） 对于连续

27、随机变量X，其数学期望定义为式中， 为随机变量X的概率密度。( )f x()( )E Xxf x dx（2.3.7） 数学期望的性质如下：（1）若C为一常数，则常数的数学期望等于常数，即（2）若有两个随机变量X和Y，它们的数学期望 和 存在，则 也存在，且有( )E X( )E Y( )E CC（2.3.8）()()( )E XYE XE Y （2.3.9） ()E XY我们把上式（2.3.9）推广到多个随机变量的情况。若随机变量 的数学期望都存在，则 也存在，且有12,nX XX12()nE XXX1212()()()()nnE XXXE XE XE X （2.3.10） （3）若随机变量X

28、和Y相互独立，且 和 存在，则 也存在，且有()E X( )E Y()E XY()() ( )E XYE X E Y(2.3.11） 方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方2、方差对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为式中， 是随机变量X取值为 的概率。对于连续随机变量，方差的定义可表示为()iP xix2()()iiiD

29、XxE XP x（2.3.14） 2()( )D XxE Xf x dx（2.3.15） 2、随机变量的方差方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义为随机变量X与其数学期望 之差的平方的数学期望。即( )E X2()D XE XE X（2.3.13） 方差的性质如下：（1）常数的方差等于0，即 （2）设D(X)存在，C为常数，则0D X （2.3.16） D XCD X2()()D CXC D X（2.3.17） （2.3.18） （3）设 和 都存在，且X和Y相互独立，则对于多个独立的随机变量不难证明有：D X D Y12,nXXX()( )D X

30、YD XD Y（2.3.19） 1212()()()()nnD XXXD XD XD X（2.3.20） 3、自协方差和自相关函数衡量同一随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用自协方差和自相关函数来表示。自协方差函数定义为121122121211222121212( ,) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ,; ,)B t tEta tta tEtta t a txa txa tfx x t t dx dx （2.3.21） 式中， 与 是任取的两个时刻； 与 为在 及 时刻得到的数学期望； 为二维概率密度函数1t2t1( )at2(

31、 )a t21212( ,; , )f x x t t1t2t自相关函数定义为若 ，并令 ，则 可表示为 21tt21tt 12( , )R t t11( ,)R t t1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )R t tEttx x fx x t t dx dx （2.3.22） 可见，相关函数是 和的函数。显然，由式（2.3.21）和（2.3.22）可得自协方差函数与自相关函数之间的关系式1t121212( ,)( ,)( ) ( )B t tR t ta t a t（2.3.23）4、互协方差函数自协方差函数和自相关函数也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而得

32、到互协方差函数和互相关函数。设 和 分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为互相关函数定义为( ) t( ) t121122( ,) ( )( ) ( )( )Bt tEta tta t（2.3.24） 1212( ,) ( ) ( )Rt tEtt（2.3.25）若对于任意 ,有 则称 和 不相关。不难证明，相互独立的 和 必定不相关；反之，不一定。但对于高斯随机过程，不相关和统计独立是等价的。1t2t12(,)0Btt( ) t( ) t( ) t( ) t例2.3.1 设随机过程 可表示成 ，式中 是一个离散随机变量， 且 ，试求 及 。( ) t( )2cos(2)tt(0)1/ 2

33、P(/2)1/2P(1)E(0,1)E解：在t=1时， 的数学期望在 ， 时 的自相关函数( ) t10t 21t( ) t10/2(1)2cos(2)|(0) 2cos(2)|(/2) 2cos(2)|1tEEtPP 12120,1(0,1)2cos(2) 2cos(2)|ttREtt2cos2cos(2)E220/2(0) 4cos|(/2) 4cos|PP 2例2.3.2 设随机过程其中A为高斯随机变量，b为常数，且A的一维概率密度函数求X(t)的均值和方差。解：由( ),0X tAt bt2(1) /21( )2xAfxe2(1) /21( )2xAfxe得出随机变量得出随机变量A的均

34、值为的均值为1，方差，方差为为1，即，即E(A)=1，D(A)=1。因为 ，所以同理，( )X tAtb( )E X tE Atbtb 2( )D X tD Atbt2.3.2.1严平稳随机过程严平稳随机过程是指它的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，对于任何正整数n和任何实数 以及 ，随机过程 的n维概率密度函数满足 12, ,nt tt( ) t 则称 为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。121 21212( , , , ; , , , )( , , , ;, ,)nnnnnnf x xx t ttf x xx ttt（2.3.26） ( ) t若随机过程 的均值为

35、常数，与时间t无关，而自相关函数仅是 的函数，则称其为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。按此定义得知，对于宽平稳随机过程，有 =常数 （2.3.27） （2.3.28）( ) t ( )Eta1211( ,) ( ) ()( )R t tEttR由于均值和自相关函数只是统计特性的一部分，所以严平稳随机过程一定也是宽平稳随机过程。反之，宽平稳随机过程就不一定是严平稳随机过程。但对于高斯随机过程两者是等价的。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为宽平稳随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假设是宽平稳随机过程，简称平稳随机过程。例2.3.3 已知x(t)与y(t)是统计独立的平稳随机过

36、程，且它们的自相关函数分别为 。求乘积 的自相关函数。解：根据自相关函数的定义有( )( )xyRR、( )( ) ( )z tx t y t1211221212( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )zxyR t tE x t y t x ty tE x t x tE y t y tRR一个平稳随机过程若按定义求其均值和自相关函数，则需要对其所有的实现计算统计平均值。实际上，这是做不到的。然而，若一个随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值可以由任一实现的时间平均值来代替。顾名思义，各态历经性表示一个平稳随机过程的任一个实现能够经历此过程的所有状态

37、。若一个平稳随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值就等于其时间的平均值。也就是说假设x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，若满足：( )t则称此随机过程为具有各态历经性的随机过程。可见，具有各态历经性的随机过程的统计特性可以用时间平均来代替，对于这种随机过程无需（实际中也不可能）考察无限多个实现，221lim( )1( )lim( ) ()( )TTTTax t dtaTRx t x tdtRT （2.3.29） 而只考察一个实现就可获得随机过程的数字特征，因而可使计算大大简化。需要注意的是，一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严平稳随机过程，但严平稳随机过程不一定具有各态历经性。在通

38、信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性。 例例3-43-4 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解解】(1)(1)先求(t)的统计平均值：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc自相关函数令t2 t1 = ，得到可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(

39、cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc (2) 求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关

40、函数来描述；其二，平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅里叶变换的关系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。一、平稳随机过程自相关函数的性质设为一平稳随机过程,则其自相关函数有如下性质：1、上式表明，随机过程的总能量是无穷的，但其平均功率是有限的。 2(0)( ) ( )REtSt的平均功率（2.3.30） 2、 （2.3.31）3、 （2.3.32）4、 （2.3.33）5、 （2.3.34）由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要特征，因而上述性质有明显的实用价值。( )() ( )RRR是偶函数( )(0)R( )RR的上界2( )t) (t)RE （的直流功

41、率2(0)( )( )RRt 方差，的交流功率例2.3.5 设一平稳随机过程X(t)的自相关函数为 ，求其均值和方差。解：由自相关函数的性质可得： 所以均值为： 方差为：24( )251XR24(0)( )252910RE Xt2( )t)25REX （(t)5E X 2(0)( )29524RR 二、平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。由第二章，对于任意的确定功率信号f(t)其功率谱密度为 （2.3.31） 式中， 是f(t)的截短函数 的频谱函数。f(t)和 的波形如图3-6所示。2( )( )limTfTFPT( )TF()Tf t( )Tft 图3-6

42、 功率信号及其截短函数对功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现的功率谱也可以由上式确定。但是，随机信号的每一个实现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度应看作每一可能实现的功率谱的统计平均。设 的功率谱密度为 ， 的某一实现的截短函数为 ,且于是有： 的平均功率S可以表示为 ( ) t( )P( ) t( )Tt( )( )TTtF2( ) ( )( )limTfTE FPE PT( ) t2( ) 11( )lim22TTE FSPddT （2.3.32） （2.3.33）三、平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系（维纳辛钦定理）平稳随机过

43、程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅里叶变换的关系，即( )( )RP1( )( )2( )( )jjRPedPRed （2.3.34）非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立。是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。下面结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：1、 （非负性）2、3、 （偶函数）()0P1(0)( )2RPdS()( )PP例2.3. 已知平稳随机过程n(t)的功率谱为 ，

44、试求 的功率谱。解：先求自相关函数由维纳辛钦定理可得，相应的功率谱为( )nP( )( )()nY tn tn tT( ) ( )() ()()nREn tn tTn tn tT2 ( )()()RRTRT( )2( )( )( )( )(2)2(1 cos)( )j Tj TYnnnj Tj TnnPPPePePeeT P 例例3-63-6 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。【解解】在 例例3-43-4中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有所以，功率谱

45、密度为平均功率为 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中普遍存在的随机过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，例如通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。2.3.3.1高斯过程的定义 若高斯过程 的任意n维（n=1，2，）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数可表示为( ) t111/2/2111( ,; , )11exp()()2(2 )nnnnnjjkkjknjkjknfxx ttxaxaBBB（2.3.51） 式中， ：归一化协方差矩阵的行列式；

46、 :行列式 中元素 的代数余因子 ：归一化协方差函数。22 ( ) ( )kkkkkaEtEta1212112111nnnbbbBbbjkBBjkb ( ) ( )jjkkjkjkEtatab 由式（2.3.92）可见，正态随机过程的维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。(2.3.52)1、若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的。2、若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； 3、高斯过程的线性组合仍是高斯过程； 4、高斯过程经过线性变换（或线性系 统）后的过程仍是高斯过程。一、一

47、维概率密度函数高斯过程的一维概率密度表示式为式中，a为高斯随机变量的数学期望； 为方差。f(x)的曲线如图3-7所示。2221()( )exp22xaf x （3.94） 图3-7 一维概率密度函数由式（2.3.52）和图3-7可知f(x)具有如下特性： 1、 f(x)对称于x=a的直线 。 2、 且有aa( )1f x dx1( )( )2aaf x dxf x dx （2.3.53） （2.3.54） 3、a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0， 时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 1二、正态分布函数 正态分布函数是概率密度函数的积分，即 2

48、2221()( )exp221()exp()22xxzaF xdzzaxadz （2.3.55） 式中， 称为概率积分函数，其定义为 式（2.3.56）积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布( )x21( )exp22xzxdz （2.3.56） 三、误差函数和互补误差函数误差函数的定义式： 互补误差函数的定义式： 202( )xzerf xedz22( )1( )zxerfc xerf xedz （2.3.57） （2.3.58） 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下: ( )2 ( 2 ) 1erf xx( )22 ( 2 )erfc xx （2.3.60）

49、（2.3.61） 引入误差函数和互补误差函数后，不难求得 11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa当时当时 （2.3.62） 其好处是：借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便查出不同值时误差函数的近似值（参见附录B），避免了复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性特别有助于通信系统的抗噪性能分析。 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即双边功率谱为 单边功率谱为 0( )()2nP0( )(0)Pn （2.3.70） （2.3.71） 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/

50、赫兹。显然，白噪声的自相关函数可借助下式求得： 001( )( )222jnnRed （2.3.72） 这说明，白噪声只有在=k/2f0(k=1,2,3,)时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图3-8画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。 图3-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数(a) 图3-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数000P(b)002000 00sin( )2fjffnRedff n （2.3.73）其中其中002 f带限白噪声只有在带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不上得到的随机变量才不相关。若对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则个抽样值是相关。

51、若对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则个抽样值是互不相关的随机变量。互不相关的随机变量。0/2 (1,2,3, )kf k 如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由式（2.3.73）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。 2.3.4 平稳随机过程通过线性系统的分析我们知道，随机过程是以某一概率出现我们知道，随机过程是以某一概率出现的样本函数的集合。因此，我们可以将的样本函数的集合。

52、因此，我们可以将随机过程加到线性系统的输入端理解为随机过程加到线性系统的输入端理解为是是随机过程的某一可能的样本函数出现随机过程的某一可能的样本函数出现在线性系统的输入端在线性系统的输入端。所以，我们可以。所以，我们可以认为确知信号通过线性系统的分析方法认为确知信号通过线性系统的分析方法仍然适用于平稳随机过程通过线性系统仍然适用于平稳随机过程通过线性系统的情况。的情况。线性系统的输出响应 等于输入信号 与冲激响应 的卷积，即 ( )ov t( )iv t( )h t0( )( )( )( ) ()iiv tv th tvh td （2.3.115） 若 ， ， 则有 若线性系统是物理可实现的，

53、则 或 0( )( )ov tV( )( )iiv tV( )( )h tH0( )( )( )iVHV0( )( ) ()tiv tvh td00( )( ) ()iv thv td （2.3.117） （2.3.116） 如果把 看作是输入随机过程的一个实现，则 可看作是输出随机过程的一个实现。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程 时，便有一个输出随机过程 ，且有 ( )iv t( )ov t( )it0( ) t00( )( )()ithtd （2.3.118） 图图3-9 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统1、输出随机过程 的数学期望0( ) t(

54、)oEt0000 ( )( ) ()( ) () ( )( )( )oiiiEtEhtdhEtdEthdahd （2.3.119） 上式中利用了平稳性（常数）又因为 求得 所以 () ( )iiEtEta0( )( )j tHh t edt0(0)( )Hh t dt( )(0)oEta H （2.3.120） 由此可见，输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)的乘积。并且 与t无关。 ( )oEt2、输出随机过程 的自相关函数根据平稳性 有0( ) t0 1 1( ,)R t t011010111001100( ,)( )()( ) ()( ) ()( ) ( ) () ()iii

55、iR t tEttEhtdhtdhhEttd d () ()()iiiEttR 011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR （2.3.121） 可见，自相关函数只依赖时间间隔 而与时间起点 无关。从数学期望与自相关函数的性质可见，这时的输出过程是一个宽平稳随机过程。1t3、 的功率谱密度利用公式 ，有令 ，则有 0( ) t( )oP( )( )PR00( )( ) ( ) ( )()ojojiPRedddhhRed002( )( )( )( )( )( )( )( )( )oiijjjiPhedhedRedHHPHP （2.3.122） 可见，系统输出功率谱密度是

56、输入功率谱密度 与 的乘积。4、输出过程 的概率分布在已知输入随机过程 的概率分布情况下，通过（2.3.118）式，即：()iP2( )H( )it0( ) t00( )( ) ()ithtd 可以求出输出随机过程 的概率分布。如果线性系统的输入过程是高斯过程，则系统输出随机过程也是高斯过程。因为按积分的定义，式（2.3.116）可以表示为一个和式的极限，即0( ) t00( )lim() ()koikkkktth （2.3.121） 由于已假定输入过程是高斯的，因此在任一个时刻上的每一项 都是一个服从正态分布的随机变量。所以在任一时刻上得到的输出随机变量，将是无限多个正态随机变量之和，且这“

57、和”也是正态随机变量。() ()ikkkth 这就证明，高斯随机过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。但要注意的是，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。例2.3.7 均值为0，自相关函数为 的高 斯噪声X(t)，通过传输特性为 （A、B为常数）的网络， 试求：（1）高斯过程X(t)的一维概率密度函数；（2）随机过程Y(t)的一维概率密度函数；（3）随机过程Y(t)噪声功率；e( )( )Y tABX t解：（1）输入过程X(t)均值为0，所以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差 ，所以可以直接写出输入噪声的一维概率密度函数为:( )xRe22( )(0

58、)( )1xD X tRE Xt2/ 21( )2xxfxe（2.3.122） （2）经过 的线性网络，由于高斯过程通过线性系统后的过程仍然是高斯过程。则 其中，均值 方差( )( )Y tABX t22()/ 21()2yyyayyfye ( )( )yaE Y tE BX tAA222 ( )( )( )yD Y tD ABX tB D X tB（2.3.123） 这样 （3）输出功率为 22() /21( )2yAByfyeB22222( ) ( )YySE YtE Y tAB例2.3.8 随机过程 ，这里 是均值为a、方差为 的高斯随机变量，试求：（1） 及 的两个一维概率密度；（2）

59、X(t)是否宽平稳；（3）X(t)的功率谱；（4）X(t)的平均功率。( )cosX tt20( )|tX t1( )|tX t解：（1） ，由题意知， 是均值为a、方差为 的高斯随机变量，则0( )|(0)tX tX20221()( )exp22Xxafx同理，同理， 则则1( )|(1)tX tX 1221()( )exp22Xxafx（2）由（1）的结果表明，X(t)在t=0和t=1时均值不同，所以，其均值与t有关，不是常数。下面再求的X(t)自相关函数，即2222222( ,)( )()coscos ()11cos()cos(2)2211()cos()cos(2)22XRt tE X

60、t X tEttEEtaat可见，可见，X(t)的自相关函数是的自相关函数是t和和的函的函数。综合（数。综合（1）和（）和（2）的结果知，）的结果知，X(t)不是宽平稳随机过程。不是宽平稳随机过程。（3）为求X(t)的功率谱，先对由（2）求出的自相关函数进行时间平均，即 然后对上结果进行傅里叶变换，求出X(t)的功率谱为 221( ,)()cos2XRt ta22()( ) ()()2XaP （4）X(t)的平均功率为2201( ,)|()2XXSRt ta2.4 信道特性对信号传输的影响 恒参信道的影响 恒参信道举例：各种有线信道、卫星信道 恒参信道 非时变线性网络 信号通过线性系统的分析方