张量基本入门分析

1、大连理工大学大连理工大学 化工机械学院化工机械学院12近20年的来连续介质力学的发展，不熟悉张量分析的人阅读连续介质力学是很困难的，有时甚至是不可能的，张量分析已渗入到连续介质力学中来。目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分Appendix Au 广义相对论（1915）、理论物理u 连续介质力学（固体力学、流体力学）u 现代力学的大部分文献都采用张量表示主要参考书:W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mech

2、anics, Springer, 1972.黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.张量基本概念标标 量量（零阶张量）（零阶张量）例如：质量，温度例如：质量，温度质量密度质量密度应变能密度应变能密度等等。等等。其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。 1 0 ijijije e张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）例如：位移，速度，例如：位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量法向矢量, ,等等。等等。矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为在笛卡尔坐标系中分解为31 12 23 31iiuuuuiueeee其中其中u1, u2, u3 是是u的

3、三个分量，的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。是单位基矢量。张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量; ;n其分量与坐标系选取有关，满其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；足坐标转换关系；n 遵从相应的矢量运算规则。遵从相应的矢量运算规则。张量基本概念矢矢 量量( (可推广至张量可推广至张量) )的三种记法：的三种记法： 实体记法实体记法： u 分解式记法分解式记法： 分量记法分量记法：Appendix A.1iu张量基本概念31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.131 1223 31= i

4、iia ba ba baba b张量基本概念指标符号用法1. 三维空间中任意点三维空间中任意点 P 的坐标（的坐标（x, y, z）可缩写成可缩写成 xi , 其中其中x1=x, x2=y, x3=z。2. 两个矢量两个矢量 a 和和 b 的分量的的分量的点积点积(或称或称数量积数量积)为：为： 爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为和。该重复的指标称为哑指标哑指标，简称，简称哑标哑标。31 1223 3131 1223 31

5、= =iiiiiiiiiiuuuuuaba ba bababueeeeea b张量基本概念 由于由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如换。例如：只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围在同项内仅出现两次，且取值范围和和 i 相同。相同。 iiaba b = b a =张量基本概念= jjmma ba ba b约定： 如果不标明取值范围，则拉丁指标如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j, k, 表示三维指标，取值表示三维指标，取值1,

6、2, 3；希腊指标希腊指标, , , 均为二维指标，取值均为二维指标，取值1, 2。张量基本概念1 1223 31 1223 3= = iikkuuuua baba ba bueeeea b 拉丁指标拉丁指标1 1221 122= uuua baba bueeea b 希腊指标希腊指标张量基本概念二阶张量二阶张量应变应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量三阶张量压电张量，等。压电张量，等。四阶张量四阶张量弹性张量，等。弹性张量，等。张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；描述一些复杂的物理

7、量需要二阶（或高阶）张量； 低阶张量的梯度；低阶张量的梯度； 低阶张量的并积；低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。更高阶张量的缩并，等。张量基本概念应力张量应力张量张量基本概念张量的三种记法：张量的三种记法： 实体记法实体记法： 分解式记法分解式记法： 分量记法分量记法：ij 张量基本概念11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e张量基本概念爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定1 12233ijjiiiinnnnT11 11221331nnnT21 12222332

8、nnnT31 13223333nnnT采用指标符号后，线性变换表示为采用指标符号后，线性变换表示为111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用爱因斯坦求和约定，写成：利用爱因斯坦求和约定，写成：iijjxa x 其中其中 j 是哑指标，是哑指标，i 是自由指标。是自由指标。张量基本概念 例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为有二重方向性的二阶张量，记为 （或（或 ）。）。 矢量和标量是特殊的张量

9、，矢量为矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量一阶张量，标量，标量为为零阶张量零阶张量。Appendix A.1张量基本概念 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：标。例：,0ji jif 若若i为自由指标为自由指标,0ji jiif张量基本概念自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。关系式将始终成立。例如：表达式例如：表达式 在自由指标在自由指标 i 取取1，2，3时该式始终成立，即

10、有时该式始终成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 张量基本概念同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。的同名自由指标全部改成同一个新名字。,0ji jif,0jk jkfi 换成换成k张量基本概念,0ji jif指标符号也适用于微分和导数表达式

11、。例如，三维指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度空间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系2222123ddddsxxx可简写成：可简写成：2dddiisxx场函数场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx张量基本概念25可用同项内出现两对可用同项内出现两对( (或几对或几对) )不同哑指标的方法来不同哑指标的方法来表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：3311ijijijijija x xa x x若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：一

12、般应加求和号。如：31 1 12223 3 31iiiia bca b ca b cabc张量基本概念26一般说不能由等式一般说不能由等式iiiiabac两边消去两边消去ai导得导得iibc但若但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。殊值使得上式成立。张量基本概念27小结通过通过哑指标哑指标可把许多可把许多项项缩写成一项，通过缩写成一项，通过自自由指标由指标又把许多又把许多方程方程缩写成一个方程。缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有若有 k 个独立的自由指标，其取值范围

13、是个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项个分量方程。在方程的某项中若同时出现中若同时出现 m 对取值范围为对取值范围为1n 的哑指标，则的哑指标，则此项含相互迭加的此项含相互迭加的 n m 个项。个项。张量基本概念28目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分29符号ij 与erstij 符号 (Kronecker delta) 定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)1 ( =

14、)0 ()ijijij(i, j=1, 2, , n) 特性特性1. 对称性，由定义可知指标对称性，由定义可知指标 i 和和 j 是对称的，即是对称的，即 ijji303. 换标符号，具有换标作用。例如：换标符号，具有换标作用。例如：2. ij 的分量集合对应于的分量集合对应于单位矩阵单位矩阵。例如在三维空间。例如在三维空间111213212223313233100010001即：如果符号即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而的另一个指标，而 自

15、动消失。自动消失。符号ij 与erst2dddddddijijiijjsxxxxxx31 类似地有类似地有 ; ; ; ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa 符号ij 与erst32 erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington) 定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)110rste 当当r, s, t为正序排列时为正序排列时当当r, s, t为逆序排列时为逆序排列时当当r, s, t中两个指标值相同时中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)称为称为正序排列正序排列。(

16、3,2,1)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)称为称为逆序排列逆序排列。12rster s s t t r或或符号ij 与erst33 特性特性1. 共有共有27个元素，其中三个元素为个元素，其中三个元素为1，三个元素为，三个元素为-1，其余的元素都是其余的元素都是02. 对其任何两个指标都是对其任何两个指标都是反对称反对称的，即的，即3. 当三个指标轮流换位时当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次相当于指标连续对换两次)，erst的值不变的值不变 rststrtrseeerstsrtrtstsreeee 符号ij 与erst34 常用实例常用实例1.

17、三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为每个基矢量的模为1，即，即ei ej1 (当当ij时时) 不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0 (当当ij时时) 上述两个性质可以用上述两个性质可以用ij 表示统一形式：表示统一形式：ei ej ij符号ij 与erst35 当三个基矢量当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有构成右手系时，有 ijijkkeeee 而对于左手系，有：而对于左手系，有： ijijkke eee1e3e2e1e2e3e符号ij 与erst3

18、62. 矢量的矢量的点积点积：3. 矢量的矢量的叉积叉积(或称矢量积或称矢量积) ： () ()() jjkkjkjkjkjkjjkkaba ba ba ba ba beeee() ()()()jjkkjkjkijkjkiaba be a babeeeeen 如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。符号ij 与erst37()ijkjkie a bcabe叉积的几何意义是叉积的几何意义是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量 a 和和 b 构成的平行四边构成的平行四边形面积，方向沿该面元的形面积，方向沿该面元的法线方向。法线方向。ijk

19、ijkjkjkica b ea b e符号ij 与erst38cosa ba bsinaba b()()0abaabb符号ij 与erst39三个矢量三个矢量a, b, c的的混合积混合积是一个标量，其定义为：是一个标量，其定义为： , , ()a b c = abcab c符号ij 与erst若交换混合积中相邻两个矢量若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。的顺序，混合积的值反号。当当a, b, c构成右手系时，混合构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。则为体积的负值。40 ,

20、, () ()mmijkjkiijkmjkmiijkijkae b ce a b ce ab ca b cab c =ee(1) (2) () ijijijkjkie a be eabe由此可见符号由此可见符号ij 和和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉分别与矢量代数中的点积和叉积有关。积有关。利用利用(1)和和(2)式有式有符号ij 与erst414. 三阶行列式的值三阶行列式的值11121321222311223321321331 1223313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa31221321 1233113223a a aa a aa a a123123ijki

21、jkijkijke a a ae a a a符号ij 与erst42111213212223123123313233ijkijkijkijkaaaaaae a a ae a a aaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaae e a a aaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaee e a a aaaa符号ij 与erst4. 三阶行列式的值三阶行列式的值43123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtee e 123opqrstee eopqrstee符号ij 与erst4. 三阶行列式的

22、值三阶行列式的值445. e- 恒等式，其一般形式为：恒等式，其一般形式为：即即退化形式为：退化形式为：irisitijkrstjrjsjtkrkskte e26ijkrjkirijkijke ee eijkistjsktksjte e 符号ij 与erst45000yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzfxyzfxyzfxyz1. 平衡方程平衡方程： 如何用张量改写弹性力学基本方程？46xyz2. 几何方程几何方程： 1, 21, 21, 2yxxxxxyyxyyzyyyzzyxzzzzzxxzuuuxyxuuuyzyuuuzxz如何用张量改写弹性力学基本方程？473. 本构方程（各向同

23、性材料）本构方程（各向同性材料）： 如何用张量改写弹性力学基本方程？1 1 1 xyxxxxyyzzxyyzyyyyxxzzyzzxzzzzxxyyzxEGEGEG提示：可以用到 kk 和 ij ij =2 ij G=E/2(1+)484. 变形协调方程（平面应变）变形协调方程（平面应变）： 如何用张量改写弹性力学基本方程？22222yyxyxxyxx y 提示：二维指标为希腊字母, , , ，取值1, 2。49目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张

24、量函数及其微积分50坐标与坐标转换1231 12233(,)iix xxxxxxreeee笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系( (单位直角坐标系单位直角坐标系) )511231 1223 3( ,)iix x xxxxxreeee 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系( (单位直角坐标系单位直角坐标系) )坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre坐标与坐标转换52 任意坐标系任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 123(,)x x xr = r123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrrg坐标与坐标转换53

25、 概念概念 坐标线坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 基矢量基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi (1,2,3)iiixrg坐标与坐标转换54 参考架参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：对笛卡尔坐标系：123

26、1 1223 3(,)iix x xxxxxreeeeiiuug112233123; ; xxxrrrgege ge坐标与坐标转换55iiuug三个相互正交的单位基矢量三个相互正交的单位基矢量ei构成构成正交标准化基正交标准化基坐标与坐标转换56 欧氏空间中的一般坐标系欧氏空间中的一般坐标系p 现在的坐标线可能现在的坐标线可能不再正交不再正交；p 不同点处的坐标线可能不同点处的坐标线可能不再平行不再平行；p 基矢量的基矢量的大小和方向大小和方向都可能随点而异；都可能随点而异；p 各点处的参考架各点处的参考架不再是正交标准化基不再是正交标准化基。 坐标与坐标转换57 坐标转换 ; ijijiji

27、je ee e坐标与坐标转换58将新基将新基 对老基对老基 分解：分解：转换系数：转换系数：反之：反之： i eje1 12233iiiii jj eeeeecos(,)i jijijji=eeeeee112233jjjji jieeeee坐标与坐标转换 ; ijijijije ee e59向新坐标轴向新坐标轴 投影，即用投影，即用 点乘上式两边，则左边：点乘上式两边，则左边：右边：右边： i ei00, , ( )iijjiixxx rerere0rr + rikkikkiixxx r eee =000()()( )ijjikkiji jixxxxr + reeeee坐标与坐标转换 ; ij

28、ijijije ee e6000()()( )ikkikkiiijjikkiji jixxxxxxx 0r eee =r + reeeee由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式老坐标用新坐标表示的表达式 0( )ii jjixxx0()ji jijxxx坐标与坐标转换6100()()ii jjiji jijxxxxxx坐标转换的矩阵形式坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合设新老坐标原点重合) 11 11 21 3122 12 22 3233 13 23 33xxxxxxxx 或或 11 12

29、 13 11T21 22 23 2231 32 33 33xxxxxxxx或或坐标与坐标转换62 坐标转换的一般定义坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和和 是同一空间点是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换正转换。其逆变换为其逆变换为对对(*)式微分式微分ixjx ( ,1,2,3)jjixxxi j ( ,1,2,3)iijxxxi j(*)ddiijjxxxx 坐标与坐标转换63处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用处

30、处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定唯一确定其系数行列式其系数行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) )111123222123333123ijxxxxxxxxxxJxxxxxxxxxxdixdjx坐标与坐标转换64 容许转换容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且由单值、一阶偏导数连续、且 J 处处处处不为零的转换函数所实现的坐标转换不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系处处为正，把右手系转换右手系 反常转换反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系处处为负，把右手系转换成左手系坐标与坐标转换65目 录Appendix A 引言 张

31、量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分66 张量的分量转换规律 张量张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切其分量的值则与坐标选择密切相关相关。 所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其律，以保证其坐标不变性坐标不变性。张量的分量转换规律67 标量分量转换规律标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为设一个标量在

32、新、老坐标系中的值为t 和和t ，则，则 矢量分量转换规律矢量分量转换规律 张量的分量转换规律tt , ii jjji jiaaaa68 张量分量转换规律张量分量转换规律以三维空间的二阶张量为例，其分解式是以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：其中，其中，Tij 为为张量分量张量分量，eiej称为称为基矢量基矢量，就是把两个，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。张量的分量转换规律69张量的分量表示法张量的分量表示法张量的实体表示法张量的实体表示法（并矢表示法）（并矢表示法） 张量分量转换规律张量分量转换规律即即ijijT

33、Te emnm in jijTT ji jieeijm imn jnTeem in jijmnT e e mni mj nijTT张量的分量转换规律70高阶张量的分量满足如下转换规律高阶张量的分量满足如下转换规律KKKKijki rj sk trstrsti rj sk tijkTTTT 张量的分量转换规律71注：在一个表示全部张量分量集合的指标符号在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，自由指标的数目等于张量的阶数中，自由指标的数目等于张量的阶数 K，每个自，每个自由指标的取值范围等于张量的维数由指标的取值范围等于张量的维数 n，各指标在其，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张

34、量的取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以一个分量，所以 n 维维 K 阶张量共有阶张量共有 nK 个分量。个分量。ijkT张量的分量转换规律72 张量方程 定义定义 每项都由张量组成的方程称为每项都由张量组成的方程称为张量方程张量方程。 特性特性 具有与具有与坐标选择无关坐标选择无关的重要性质，可用于的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。 or : ijijklklCC, 0 or ij jif0f 张量的分量转换规律73目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换

35、规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分74张量代数 & 商判则 相相 等等若两个张量若两个张量 和和 相等相等则对应分量相等则对应分量相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。ijijTTe eijijSSe eTSijijTS75 和、差和、差两个同阶张量两个同阶张量 与与 之和之和( (或差或差) )是另一个同阶张量是另一个同阶张量其分量关系为其分量关系为ijijAAe eijijBBe eijijTTe eTABijijij

36、TAB张量代数 & 商判则76 数数 积积张量张量A和一个数和一个数 (或标量函数或标量函数) 相乘得另一同相乘得另一同维同阶张量维同阶张量T其分量关系为其分量关系为=TAijijTA张量代数 & 商判则77 并并 积积两个同维不同阶（或同阶）张量两个同维不同阶（或同阶）张量 A 和和 B 的并积的并积 T是一个阶数等于是一个阶数等于 A、B 阶数之和的高阶张量。阶数之和的高阶张量。设设则则其分量关系为其分量关系为ijkijkAAe e elmlmBBe eijklmijklmTTAB =e e e e eijklmijklmTA BAB BA注意：注意：张量代数 & 商判则78 缩缩 并并若

37、对基张量中的任意两个基矢量求点积，在若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。张量将缩并为低二阶的新张量。 其分量关系为其分量关系为ijijTS张量代数 & 商判则ijkijkijkikjijijjjTTTSSe e eeee79ijkijkiikkkkRTTRe e eee若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若果也不同。例如若RSjiijRTjijiST张量代数 & 商判则 缩缩 并并ijkijkijijjjTTSSe e eee80 内内 积积并积加缩并运算称为内积。例如并积加缩并运算称为内积。例如 和和

38、 的一种内积是的一种内积是其分量关系为其分量关系为ijkijkAAe e eiklijkljSA BlmlmBB =e e张量代数 & 商判则ijkijklmlmijkljiklikliklABA BSSe e ee ee e ee e e81 点点 积积前张量前张量 A 的最后基矢量与后张量的最后基矢量与后张量 B 的第一基的第一基矢量缩并的结果，记为矢量缩并的结果，记为 ，是最常用的，是最常用的一种内积。一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。A B=ijklmijklmijkkmijmijmijkA BA BRRA Be e ee ee e ee e

39、 eijmijkkmRA B张量代数 & 商判则82对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：果称为双点积，共有两种： 并双点积并双点积 串双点积串双点积:ijkjkiiiA BTTA B =eeijkkjiiiSA BSA B =eeiijkjkTA B=iijkkjSA B=张量代数 & 商判则 双点积双点积83 并并 矢矢把把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个们的并积是一个 K 阶张量。阶张量。iijjkkijkijk= abcab cTabceeee e eijkijkT

40、ab c矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。张量代数 & 商判则84和任意矢量的内积（包括点积）为和任意矢量的内积（包括点积）为 K-1 阶张阶张量的量一定是个量的量一定是个 K 阶张量。阶张量。一个一个 K 阶张量连续地和阶张量连续地和 n 个任意矢量求内积，个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个其缩并的结果是一个 K-n 阶张量。阶张量。张量代数 & 商判则 商判则商判则85OperationNumber of order并并 积积差差 乘乘 -1点点 乘乘 -2双点乘双点乘 -486目 录 引言 张量的基本概念

41、，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分87特殊张量，主方向与主分量u 常用特殊张量 零零 张张 量量 则：则： 0T0, 0ijijTT 88 单位张量单位张量 笛卡尔坐标系中分量为笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量的二阶张量 I，即，即1 1223 3ijijIe ee ee ee e ijijijijII 且且单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：I aa， I AA特殊张量，主方向与主分量89SI特殊张量，主方向与主分量ijijS

42、 球形张量球形张量主对角分量为主对角分量为 ，其余分量为零的二阶张量。它其余分量为零的二阶张量。它是数是数 与单位张量的数积。即与单位张量的数积。即90 转置张量转置张量对于二阶张量对于二阶张量 ，由对换分量指标而基，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量称为张量 T 的转置张量。的转置张量。ijijTTe eTjiijijjiTTTe ee e特殊张量，主方向与主分量91 对称张量对称张量 反对称张量反对称张量T ; ijjiTTTTT ; ijjiTT TT特殊张量，主方向与主分量92转置张量等于其负张量的张量。即满足转置张量等于其负张量的张

43、量。即满足反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。称张量的独立分量只有三个。n 维二阶对称张量有维二阶对称张量有 个独立分量。个独立分量。T ; ijjiTT TT112n n特殊张量，主方向与主分量 反对称张量反对称张量93任意二阶张量任意二阶张量 T 均可分解为对称张量均可分解为对称张量 S 和反对称张量和反对称张量 A 之和：之和：TSAT12S =TTT12A=TT特殊张量，主方向与主分量 加法分解加法分解94任意二阶对称张量任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量均可分解为球形张量 P 和偏和偏斜张量斜张量 D 之

44、和：之和： SPD13iiS ijijP ijijijijijDSPS其中其中 =0 iiiiiiDS特殊张量，主方向与主分量 偏斜张量偏斜张量 95偏斜张量为偏斜张量为偏斜张量三个对角分量之和为零偏斜张量三个对角分量之和为零：;ijijijDSPDSP 1303iiiiiiDSS 1 313iiijijkkijSPS特殊张量，主方向与主分量 偏斜张量偏斜张量 96笛卡尔系中以笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称为分量的三阶张量，又称排列张量排列张量rstrsteee e e特殊张量，主方向与主分量 置换张量置换张量 97所有分量均不因坐标转换而改变的张量。所有分量均不因坐标转换而改变的

45、张量。例如：单位张量例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。同性的。特殊张量，主方向与主分量 各向同性张量各向同性张量98u 主方向与主分量二阶张量可定义为一种由矢量二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量到矢量 b 的线的线性变换，即性变换，即一般说，矢量一般说，矢量 a 与与 b 并不同向。对于给定的任并不同向。对于给定的任意二阶张量意二阶张量 T 能否找到某个矢量能否找到某个矢量 ，它在线性变，它在线性变换后能保持方向不变，即换后能保持方向不变，即 或或; ijjiT abT

46、 a = b ; ijjiTT= 0ijijjT特殊张量，主方向与主分量99(1,2,3)0 ijijjiT其中其中是标量。上式是求是标量。上式是求 j 的线性齐次代数方程组，的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零是系数行列式为零1112132122233132330TTTTTTTTT321230III特殊张量，主方向与主分量100这是关于这是关于的特征方程；其中的特征方程；其中是是Tij的主对角分量之和，称为张量的主对角分量之和，称为张量 T 的迹，记作的迹，记作trT是矩阵是矩阵Tij的二阶主子式之和。的二阶主子式之和。 1112233iiI

47、TTTT22231113111223233313321221()2iijjijjiTTTTTTIT TT TTTTTTT特殊张量，主方向与主分量321230III101是矩阵的行列式，记作是矩阵的行列式，记作detT。 特征方程的三个特征根称为张量特征方程的三个特征根称为张量T 的的主分量主分量。当。当T是实对称张量时，存在三个实特征根是实对称张量时，存在三个实特征根 1112133212223123313233ijkijkTTTITTTe T T TTTT( )(1,2,3)kk。321230III特殊张量，主方向与主分量102(1,2,3)0 ijijjiT由特征方程求特征根：由特征方程求

48、特征根：( )()0ijkijiT 321230III由每个由每个(k) 分别求特征方向：分别求特征方向：方向矢量方向矢量 j(k) ()ijij特殊张量，主方向与主分量103由上述方法求得的三个单位矢量由上述方法求得的三个单位矢量 (k)j(k)ej 称为称为张量张量 T 的主方向。的主方向。注： 若若(1) , (2) , (3)互不相等，则互不相等，则 (1), (2), (3)互相垂直。互相垂直。 对于二重根情况，例如对于二重根情况，例如(1)(2)，则垂直于，则垂直于 (3)的任何方向都的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为作为 (1

49、)和和 (2)。 对于三重根情况，例如对于三重根情况，例如(1)(2) (3)，则任何方向都是主方则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为向，可任选三个互相垂直的方向作为 (1), (2)和和 (3) 。特殊张量，主方向与主分量104u 主坐标系沿主方向沿主方向 (1), (2), (3)的正交坐标系称为张量的正交坐标系称为张量 T 的的主坐标系。在主坐标系中，有主坐标系。在主坐标系中，有(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)Te ee ee e当当T 为应力张量时，为应力张量时，(k) 就是三个主应力就是三个主应力1, 2和和3特殊张量，主方向与主分量105特征方程

50、是一个与坐标选择无关的普遍方程，它特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数的三个系数I1, I2和和I3分别称为张量分别称为张量T的第一、第二的第一、第二和第三不变量。和第三不变量。 特征方程的根特征方程的根(k)也是三个不变量，相应的主方向也是三个不变量，相应的主方向 (k)也与坐标无关。也与坐标无关。 11222, (), d etiiiijjijjiITIT TT TIT特殊张量，主方向与主分量u 不变量106目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分107张量函数及其微积分在空间所论域内在空间所论域内, , 每点定义的同阶张量每点定义的同阶张量, , 构构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。从张量代数的领域进入张量分析的领域。这里简要介绍这里简