第13章轴对称2等腰三角形

1、第13章 轴对称13.2等腰三角形归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。基本方法归纳：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°等腰三角形的

2、底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=180°2B，B=C=注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题。【例1】已知等腰ABC的两边长分别为2和3，则等腰ABC的周长为（）A7 B8 C6或8 D7或8归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于

3、60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。【例2】如图，直线ab，ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 基础训练一选择题（共2小题）1如图，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D

4、到AB的距离为（）A5cmB3cmC2cmD不能确定2如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3二填空题（共1小题）3如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则DEF的面积与ABC的面积之比等于_三解答题（共15小题）4在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180°，求证DE=DF5在ABC中，

5、ABC、ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC6已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断ABC是什么三角形？并说明理由7如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？为什么？8如图，在ABC中，ACB=90°，CD是AB边上的高，A=30°求证：AB=4BD9如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F求证：DF=EF10已知等腰直角

6、三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE11（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30°，A

7、BC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_点P到AB边的距离PE=_12数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC

8、于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）13已知：如图，AF平分BAC，BCAF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由14如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD的度数15如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F为AB延长线上一点，点

9、E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF16 已知：如图，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由17（2006郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两

10、腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明能力提升1（2015南宁）如图，在ABC中，AB=AD=DC，B=70°，则C的度数为（）A35° B40° C45° D50°2（2015内江）如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若E=35°，则BAC的度数为（）A40° B45° C60° D70°3（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长

11、分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A8或10 B8 C10 D6或124（2015广州）已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A10 B14 C10或14 D8或105（2015丹东）如图，在ABC中，AB=AC，A=30°，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15° B17.5° C20° D22.5°6（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）A160 B161 C162 D1

12、637（2015南通）如图，ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，BAC=102°，则ADC= 度8（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 9（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 10（2014·江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A40°B50°C60°D70°11.（2014·桂林）下列命题中，是真命题的是（ ）A等腰三角形都相似 B等边三角形都相似 C锐角三

13、角形都相似 D直角三角形都相似12.（2014贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A7或8 B6或1O C6或7 D7或10A4 B C .8 D. 13.（2014吉林）如图，ABC中，C=45°，点D在AB上，点E在BC上若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）AB2CD等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1如图，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A5cmB3cmC2cmD不能确定考点：角平分线的性质141

14、8944分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解解答：解：C=90°，AD平分BAC交BC于DD到AB的距离即为CD长CD=53=2故选C2如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质1418944分析：由ACD和BCE是等边三角形，根据SAS易证得ACEDCB，即

15、可得正确；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN是等边三角形，即可证得正确解答：解：ACD和BCE是等边三角形，ACD=BCE=60°，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60°，DCE=60°，ACD=MCN=60°，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正确；又MCN=180°MCANCB=180°60°

16、60°=60°，CMN是等边三角形，NMC=ACD=60°，MNAB，故正确故选D二填空题（共1小题）3如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则DEF的面积与ABC的面积之比等于1：3考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质1418944分析：首先根据题意求得：DFE=FED=EDF=60°，即可证得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果

17、解答：解：ABC是正三角形，B=C=A=60°，DEAC，EFAB，FDBC，AFE=CED=BDF=90°，BFD=CDE=AEF=30°，DFE=FED=EDF=60°，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，÷，=，DF：AB=1：，DEF的面积与ABC的面积之比等于1：3故答案为：1：3三解答题（共15小题）4在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180°，求证DE=DF考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义1418944分析：过D作DMAB，于M

18、，DNAC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED=CFD，根据全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答：证明：过D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90°，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），DME=DNF=90°，EAF+EDF=180°，MED+AFD=360°180°=180°，AFD+NFD=180°，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND，DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，

19、分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1418944分析：根据OB和OC分别平分ABC和ACB，和DEBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在ABC中，OB和OC分别平分ABC和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断ABC是什么三角形？并说明理由考点：等腰三角形的判定；全

20、等三角形的判定与性质1418944分析：用（HL）证明EBDFCD，从而得出EBD=FCD，即可证明ABC是等腰三角形解答：ABC是等腰三角形证明：连接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90°，且DE=DF，D是ABC的BC边上的中点，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL），EBD=FCD，ABC是等腰三角形7如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析：（1）由题意可推出ACB=60°，E=CDE，然后根据三角形外角

21、的性质可知：ACB=E+CDE，即可推出E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是ABC的角平分线，即得：DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出DBE是等腰三角形解答：解：（1）ABC是等边三角形，ACB=60°，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，（2）ABC是等边三角形，BDAC，ABC=60°，E=30°，DBC=E，DBE是等腰三角形8如图，在ABC中，ACB=90°，CD是AB边上的高，A=30°求证：AB=4BD考点：含30度角的直角三角形1418944分析：由ABC中，

22、ACB=90°，A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明解答：解：ACB=90°，A=30°，AB=2BC，B=60°又CDAB，DCB=30°，BC=2BDAB=2BC=4BD9如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F求证：DF=EF考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：过D点作DGAE交BC于G点，由平行线的性质得1=2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得B=2，则B=1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得DF

23、GEFC，即可得到结论解答：证明：过D点作DGAE交BC于G点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而BD=CE，DG=CE，在DFG和EFC中，DFGEFC，DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE考点：全等三角形的判定与性质1418944分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得BFE全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点FBEEC，FEB=CEB=90°，

24、BE平分ABC，FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE （ASA）FE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90°，ABD+ADB=90°，ADB=EDC，ABD+EDC=90°又DEC=90°，EDC+ECD=90°，FCA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+S

25、ACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30°，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7点P到AB边的距离PE=4或10考点：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：（1）连接AP先根据三角形的面积公式分别表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由A

26、BC的面积为49，求出CH=7，由于CHPF，则可分两种情况进行讨论：P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答：解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30°，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P为

27、BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“”，“”或“=”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，

28、设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30°，求出DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E作EFBC交AC于F，求出等边三角形AEF，证DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1解答

29、：解：（1）故答案为：=（2）过E作EFBC交AC于F，等边三角形ABC，ABC=ACB=A=60°，AB=AC=BC，AEF=ABC=60°，AFE=ACB=60°，即AEF=AFE=A=60°，AEF是等边三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60°，DBE=EFC=120°，D+BED=FCE+ECD=60°，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB和ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：如图1过A作AMBC于M，过E作EN

30、BC于N，则AMEM，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如图2，作AMBC于M，过E作ENBC于N，则AMEM，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=113已知：如图，AF平分BAC，BCAF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由考点：全等

31、三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM和PMF中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90°，在ACE和ABE中，ACEABE（ASA）AB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分线，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA

32、，MPF=CDM，MPF=CDM（等角的补角相等），DCM+CMD+CDM=180°，F+MPF+PMF=180°，又PMF=BMA=CMD，MCD=F14如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD的度数考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质1418944分析：（1）根据等边三角形的性质可知BAC=C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明ABECAD，从而证得结论；（2）根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD

33、=BAC=60°解答：（1）证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60°，AB=CA在ABE和CAD中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°15如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF考点：全等三角形的判定与性质1418944分析：根据已知利用SAS即可判定ABECBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF解答：证明：ABC=90°，ABE=CBF=90°，又AB=BC，BE=BF，ABECBF（SAS）AE=CF16已知：如图，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1418944分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到AE