断裂力学讲义(第二章)

1、1第二章第二章 应力强度因子的计算应力强度因子的计算 2计算 值的几种方法 K1.数学分析法:复变函数法、积分变换；2.近似计算法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.32-1 2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算三种基本裂纹应力强度因子的计算一一. .无限大板无限大板型裂纹应力强度因子的计算型裂纹应力强度因子的计算 0lim2KZ计算 的基本公式 K1.在“无限大”平板中具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,距离 处各作用一对集中力P P 2axb ReImxZyZReImyZyZRexyyZ 选取复变解析函数： 22222()pz abZzb4边

2、界条件：边界条件：,0 xyxyz,za 除去 处裂纹为自由 表面上 zb 0,0yxy如切出 坐标系内的第一象限的薄平板，在 轴所在截面上内力总和为P P xyx以新坐标表示 22222 ()()(2 )paabZaba 2202lim2( )()p aKZab52.在无限大平板中,具有长度为 的穿透板厚的裂纹表面上,在距离 的范围内受均布载荷q作用 2a1xa 利用叠加原理 集中力 qdx222()q adKdxax2202()aq aKdxax令 22coscosxaaxacosdxad 6111sin()10cos22sin ()cosaaaaaaaKqdqa当整个表面受均布载荷时 1

3、2sin ( )aaaKqqa3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 轴上有一系列长度为 ,间距为 的裂纹 x2a2b单个裂纹时 22zZza7边界条件边界条件是周期的:,yxz0,22yaxaabxab 0,0yxy22sin2(sin)(sin)22zbZzabb8采用新坐标: za22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb 当 时，0sin,cos1222bbbsin()sincoscossin22222aaabbbbbcossin222aabbb 2222sin()() cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb22sin()(sin)2cos

4、sin22222aaaabbbbb90sin22cossin222abZaabbb0sin2lim22 tan21cossin222aabKZbbaabbb2tan2baaab 2tan2wbaMab取 -修正系数修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 的影响 K 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ ）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算. 2125ab10二二. .无限大平板无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算型裂纹问题应力强度因子的计算1.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板): 0lim( ) 2KZ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用. 22

5、sin2( )(sin)(sin)22zbZ zzabb22sin()2( )sin()(sin)22abZaabb1102lim2( )tan2baKZaab 3.型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):0lim2( )KZ4.型周期性裂纹: 2tan2baKaab 123-2 3-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算深埋裂纹的应力强度因子的计算 1950年,格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变得到椭圆表面上任意点,沿 方向的张开位移为 y1222022(1)xzyyac其中: 202(1) ayE 第二类椭圆积分 131222220sin( ) cosadc 1

6、962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子 原裂纹面 11cos,sinzx222222221111221xzc xa za cac2222sincosacca14假设:椭圆形裂纹扩展时rf1f2222sincosrrfcaac边缘上任一点 有 ( ,)p x z1()sin(1) sin(1)xrff x 1()cos(1)zrf z 11( ,), ( ,)p x zp x z均在 的平面内 0y 222242222(1)c xa zfa ca c 15新的裂纹面仍为椭圆 长轴 (1)cf c 短轴 (1)af a 22002(1)2(1) (1)(1)af ayf y

7、EE 原有裂纹面: 222220()1xzyacy扩展后裂纹面: 222220()1xzyacy以 ， 代入 1xx 1zz 原有裂纹面的边缘 向位移 yy162222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc 2222221111112222221 (1 2 )(1 2 )12 ()xzxzxzfffacacac 2 f2222200022 (1)2yfyffyfy2222sincosrfcaac22222202sincosryycaac 17设各边缘的法向平面为平面应变,有:3(21)sinsin4222KrvkG34k当 时， 24(1)2rvKE22222222

8、02216(1)sincos2IryrcaKacE2222222021E()sincos4 1IKycaac18202(1) ayE 14122222( ) (sincos)IaKcac 在椭圆的短轴方向上，即 ，有 2IImaxKK -椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当 时， 2ac2IKa-圆片状深埋裂纹应力强度因子圆片状深埋裂纹应力强度因子 193-3 3-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面线裂纹的应力强度因子一、表面线裂纹的应力强度因子 欧文假设： 半椭圆片状表面线裂纹 与深埋椭圆裂纹的 之比等于边裂纹平板 与中心

9、裂纹平板的 值之比 IKIKIKIKIIIIKKKK表边埋中1220.1sin(1)tanIIAKWAKW边中又有 裂纹长度 板宽度 20当 时， 1AW22sinAAWWtanAAWW 1.21.1IIKK边中1.1IIKK表埋1.161.1IIaKK埋表-椭圆片状表面裂纹椭圆片状表面裂纹A A处的处的 值值 IK21二、表面深裂纹的应力强度因子二、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面 使裂纹尖端的弹性约束减少 裂纹容易扩展 增大 IK()IIKMe K表面（埋藏）弹性修正系数，由实验确定 一般情况下 12MeMM前自由表面的修正系数 后自由表面的修正系数 221.巴里斯和薛

10、0ac时， 接近于单边切口试样 11.12M 1ac时， 接近于半圆形的表面裂纹 11M 利用线性内插法 110.12(1)aMc 利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数1222(tan)2BaMaB板厚 裂纹深度 浅裂纹不考后自由表面的影响 232.柯巴亚希.沙.莫斯2110.12(1)2aMc 1222(tan)2BaMaB表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处） IaKMe 242-4 2-4 其他问题应力强度因子的计算其他问题应力强度因子的计算一、一、.型复合问题应力强度因子的计算型复合问题应力强度因子的计算 复变数： iyxziyxz取复变解析函数： ( )x zpiq11( ) zp

11、iq取应力函数 2( )( )( )( )zzzx zzx zRe ( )( )zzx z或 满足双调和方程 25分析第一应力不变量 22224Re ( )xyx zxy对于.型复合裂纹型： ReImxIIZyZReImyIIZyZ| |0| |0| |0()2Re2Re2IxyIIKZ 型： 2ImRexIIIIZyZReyIIyZ 000() |2Im|2Im|2xyKZ26、型复合裂纹在裂纹前端处的不变量 000()|2Re|2Im|22xyKK012Re()|2KiK取复数形式的应力强度因子 KKiK00()|2Re()|2xyK()4Re ( )xyx Z又 0lim2 2( )Kx

12、 Z27若采用 2 2lim( )zaZaKZax Z选择 满足具体问题的应力边界条件 ( )x z1144( )( )( )( )fF ZF ZZF ZZF Z-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式 或复变应力函数为普遍形式或复变应力函数为普遍形式 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.28二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算 实际情况应看成有限宽计算.必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法. 方法:边界配置法,有限单元法等. 边界

13、配置法边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,担不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 值. K边界配置法:只限于讨论直边界问题.291.威廉氏(Williams)应力函数和应力公式 Williams应力函数 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjjjrCrj 满足双调和方程 边界条件边界条件:裂纹上、下表面 2 yxy , 均为零 在边界上的边界条件的满足如下确定:在有限宽板的边界上选取足够的点,使这一点的边界条件满足. 30为了计算方便引入无量纲量

14、2jjjDC BWp试件厚度 试件宽度 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjpWrjjrDjBW 221( , )yjjjpD A rxBW122( 1) )cos(1)(1)cos(3) 22222jjjrjjjjjAW 221( , )xjjjpD B ryBW21( , )xyjjjpD E rx yBW 312. 的计算 K针对型裂纹 3cos(1 sinsin)2222xKr3cos(1 sinsin)2222yKr当 时, 02yxKr0r 00lim2|yrKr 当 时, ,当 =1时,在乘 后与 无关.而当 =2,3时,在乘 之后与 有关,当

15、 都为零 0j2 rcos1j2 rrr0r 321210111lim()(2 1) 1 (1) 1222rprKDBWW 12pDB W 3.借用无裂纹体内的边界条件求系数 jD 取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的. 取 个点分析,以 有限级数代替无限级数精度足够. m2m33对于不同的点有 2111myjjyjpD ABW12111mxyjjxyjpD EBW()paKFBWW1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()aaaaaaFWWWWWW其中 标准试件 4sW343-5 3-5 确定应力强度因子的有限元法

16、确定应力强度因子的有限元法 不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的.一些实验方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与 密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.K一一. .位移法求应力强度因子位移法求应力强度因子型: 3( , )(21)coscos4222Kru rkG3( , )(21)sinsin4222Krv rkG35有限元法 裂纹尖端位移 22( , )1GKv rkr外推法 二二. .应力法求应力强度因子应力法求应力强度因子型: ( , )( )2iyiyKrfr有限元法 ( ,0)2yyr

17、Kr 利用刚度法求应力时,应力场比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数).36三三. .间接法求应力强度因子间接法求应力强度因子( (应变能释放率法应变能释放率法) )KGE四四. . 积分法积分法 J:围绕裂纹尖端的闭合曲线 T:积分边界上的力 u:边界上的位移 uJWdyTdsx12iyiyW 应变能密度 线弹性问题: KJGE372-6 2-6 叠加原理及其应用叠加原理及其应用一一. . 的叠加原理及其应用的叠加原理及其应用 K 线弹性叠加原理线弹性叠加原理:当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和. 叠加原理

18、适用于 K证明证明: : 00lim2|yrKr 1T(1)(1)(1)000,|lim2|yyrKr 2T(2)(2)(2)000,|lim2|yyrKr 由叠加原理有 (1)(2)000|yyy(1)(2)KKK38实例实例:铆钉孔边双耳裂纹 叠加原理: ( )( )( )( )( )( )( )1()2abcdabcKKKKKKK其中: ( )()2baKaD 圆孔直径 板有宽度: ()secaaFWW- 板宽的修正 392fDaa有效裂纹长度 ( )()2()sec2bDaaKaDW 确定 :无限板宽中心贯穿裂纹受集中力 作用 ( )cKppKa1(2 )2pKDa有限板宽: (2 )

19、()sec2aDaFWW( )(2)(2 )secsec22()()22cpaDWDaKWWDDaa( )(2 )sec()22()22aDaaWKaDWDa40二二. .应力场叠加原理及其应用应力场叠加原理及其应用0T:无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场 应力场叠加原理:在复杂的外界约束作用下,裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束,但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应力 所致的应力强度因子. 0T41实例实例:旋转叶轮(或轴)内孔端裂纹 421.求解无裂纹时,旋转体在无裂纹部位的内应力 由弹性力学有 22222112222223(1)8rRRrfRRrR2

20、22221122222231 3(1)83RRrfRRrRf为叶轮密度 为角速度 1R为叶轮内径 2R为叶轮外径 r为计算点的位置 平面应力 1 平面应变 一般情况下: 12111050RR212()1RR 22210223(1)8RTfRr432.根据类比原则 比较两种情况:内孔半径一致,裂纹大小及组态一样,裂纹面上下受力一致,外边界无约束,唯一不同的是一个是有限体,一个是无限体,由于边界是自由的 ( )dKK(b)44 带中心孔的无限大板,受双向拉应力 时,孔边附近的应力(注意无裂纹时),由弹性力学知 220238fR21002(1)RTr( )dKK(c)( )01()caKKa fR(

21、a)3.根据叠加原理452.7 2.7 实际裂纹的近似处理实际裂纹的近似处理 利用断裂力学进行安全评价时,首先确定缺陷的大小,部位和形状,偏于安全考虑:夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹 裂纹应针对实际问题进行分析 一一. .缺陷群的相互作用缺陷群的相互作用 1.垂直外应力的并列裂纹 并列裂纹的作用使下降 ,工程上偏安全考虑 K 并列裂纹作为单个裂纹考虑; 对于密集的缺陷群,假定它们在空间规则排列,并可把 空间裂纹简化成平面裂纹.462.与外应力垂直的面内共线裂纹 如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上,可做为单个裂纹处理,否则必须考虑修正. 二二. .裂纹形状的影响裂纹形状的影响 通过探伤手段 裂纹形

22、状的影响 1.探伤结果是面积当缺陷的面积相同时, 的椭圆裂纹 最大 12acK以 的椭圆裂纹分析是偏于安全的 12ac472.探伤的结果是最大线尺寸 当最大直径相同时,圆裂纹的 比椭圆裂纹大 K以圆裂纹估算偏于安全 当缺陷长度一样时,贯穿裂纹 比其它裂纹的大 K以贯穿裂纹估算偏于安全 48 2.8 2.8 塑性区及其修正塑性区及其修正小范围屈服:屈服区较小时(远远小于裂纹尺寸) 线弹性断裂力学仍可用 一一. .塑性区的形状和大小塑性区的形状和大小 1.屈服条件的一般形式 屈服条件屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件. 单向拉压: 12薄壁圆筒扭转: s复杂情况: (,)xyzxyxz

23、yzfc 123(,)fc 492.根据屈服条件确定塑性区形状大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服条件 当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服,即 2222122331()()()2s对于型裂纹的应力公式 122()22xyxyxy12cos1 sin222Kr30平面应力 502222cos1 3sin222sKr-平面应力下,型裂纹前端屈服区域的边界方程 当 时, 0201()2sKr 312()z 平面应变 22222cos(1 2 )3sin222sKr-平面应变下, 型裂纹前端屈服区的边界方程 当 时, 0210.16()(0.3)2s

24、Kr 221(12 )()2sK 51b.利用Tresca(屈雷斯加)屈服条件 在复杂受力下,当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力,材料即屈服. 比较发现:平面应变塑性区尺寸小,平面应变处于三向拉伸状态不易屈服.平面应变的有效屈服应力 比 高 yss塑性区中的最大应力 1ys平面应变 13yss32 2ys平面应力 1yss523.应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛 应力松弛 依据:单位厚含裂纹平板,在外力作用下发生局部屈服后,其净截面的内力应当与外界平衡. 塑性区尺寸增大0|2yKr(图中虚线所示) 此曲线下的面积为1( )yFx dx=外力 53应力松弛后: 2yFdx=外力 屈服区内的最大应力称为有效屈服应力 2 2()()syss平面应变平面应力21()2ysysKr ( )yyx dxdx又BD与CE下的面积应相等 00( )2ysysrr