常见分布二项分布和正态分布

1、第三节 二项分布与正态分布 一 二项分布 1 二项分布的定义 定义 在一定条件下做试验，若对该试验中的每一个试验结果（即样本点或基 本事件） ，都唯一地对应着一个确定 的实数 则称 为随机变量，简 记为 简言之，随机变量即为试验结果的函数。 ),(X)(XX 例1 设有产品100件，其中有10件次品，现从中任取5件，问：抽得的次品数是多少？ 例2 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一个目标射击，直到第一次射中为止，则射击次数X是一个随机变量，且X=1,2,3, 。 随机变量的概念在概率统计中既基本又重要，在实际问题中随机变量比比皆是。如在工业生产中，随便取一产品，问它的质量指标（

2、强度、硬度、光洁度、纤维长度， ）是多少，这个质量指标就可以看作是一个随机变量。我们要学会把随机变量概念与实际工作中的具体问题自然地联系起来。 定义 若随机变量X仅取有限多个或可数无穷多个值，则称X为离散型随机变量。 显然，例1、例2中的随机变量X均为离散型的。 定义 设离散型随机变量X的取值为 （有限多个或可数无穷多个），则称 为X的概率分布或分布列。 概率分布表：,21kxxx), 2 , 1)(kxXPpkkkkpppPxxxX2121 概率分布的性质： （1） （2） ), 2 , 1(0kpk1kkp 不难计算出例1、例2中的概率分布： 对例1中的X，有 对例2中的X，有 ).5 ,

3、 4 , 3 , 2 , 1 , 0(/)(510059010kCCCkXPkk)., 3 , 2 , 1(8 . 02 . 0)(1kkXPk 定义 若随机变量X的概率分布为 则称X服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,p)。其中，0p1, q=1 p 。), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn 显然，若XB(n,p)，则X取n+1个值： 由二项式定理 不难得知，二项分布满足前述概率分布的两条性质。n, 2 , 1 , 0knkknnknbaCba0)( 例3 设在单次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X满足 其中 ), 2

4、, 1 , 0()(nkqpCkXPknkknpq1 例3中所述的概率模型称为独立试验序列概型，也称为贝努里概型，其中的XB(n,p)。由此可解决一些实际问题。 例如，设有n个电子元件，每个发生故障的概率都是p，则发生故障的元件个数XB(n,p)。等等。 2 二项分布的平均值 定义 设X的概率分布为 则称 为随机变量X的数学期望、期望或平均值、均值，也记作M(X), 3 ,2, 1)(kxXPpkkkkkkkpxpxpxpxXE2211)( E(X)是描述X取值的平均情况的。关于此定义的合理性，我们举例说明如下。 例4 设随机变量X的概率分布表为 X 100 200 P 0.01 0.99 由

5、于X仅取100与200两个值，可能有人认为，X的平均值为100与200的算术平均值150)200100(21 但另一方面，从直觉看来，这个150并不真正体现X取值的平均，它是将100与200一视同仁的结果。从概率的角度分析，X几乎只取200为值（因0.99 1），而取100为值的可能性微乎其微（0.01 0）。因此我们断言， 这个平均值应该非常接近200，而不是150。究竟怎样算呢？ 由概率的统计定义，假设进行了1000次（独立重复）试验，则大约有10次使X取100为值，而大约有990次使X取200为值。我们认为X的平均值应为这10个“100”与这990个“200”的算术平均值：19999.

6、020001. 0100100020020020010010010099010个个 这个199就是X的真正的平均值，而它恰是经过“X的取值乘以相应的概率后再累加”后而得到的（加权平均）。此即前述定义中的E(X) 例5 设XB(n ,p)，则E(X)=np 3 二项分布的标准差 定义 设X为随机变量，则称 为X的方差，称 为X的标准差。 解释：D(X)是刻划随机变量取值的分散程度的一个数量指标。)()(2XEXEXD)(XD 为什么呢？容易想象：既然E(X)为X的平均值， 则可以E(X)为基准，而用 刻划随机波 动（分散）程度。为了消除随机性在人们头脑中形成的不太确切的印象，可考虑所谓平均波 动程度 （注意： 也是 随机变量）。这样做原则上是可以的，但绝对值参与运算往往不方便。为了理论上的合理和 运算上的方便，通常用 来刻划随 机波动程度。这样，总的（平均）波动程度就 变成 ，这就是方差D(X)。)(XEX )(XEXE)(XEX 2)(XEX )(2XEXE 标准差的概率意义与方差是类似的，只不过大小不一定相等而已。 显然，方差（标准差）越大，波动就越大（稳定性越差）；方差（标准差）越小，波动就越小（稳定性越