第二题 指派问题

1、Page 1将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。表示。例例4.10 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项五项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人数，考虑任务数，考虑任务E必须完成，其他必须完成，其他4项中可任选项中可任选3项完成。试确定最项完成。试确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。优分配方案，使完成任务的总时间最少。 任务任务人员人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙34272840

2、32丁丁2442362345Page 2解解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。法求解。2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作作E必须完成，故设戊完成必须完成，故设戊完成E的时间为的时间为M（M为非常大的数），其为非常大的数），其余效率系数为余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：，则标准型的效率矩阵表示为： 任务任务人员人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙3427284032丁丁2442362345戊戊

3、0000MPage 3用匈牙利法求出最优指派方案为：用匈牙利法求出最优指派方案为： 0010000001100000100000010即甲即甲B，乙，乙D，丙，丙E，丁，丁A, 任务任务C放弃。放弃。最少时间为最少时间为105。Page 4例例4.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？如何分派任务，可使总时间

4、最少？ 任务任务人员人员ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982Page 5解：解：1）变换系数矩阵，增加变换系数矩阵，增加0元素。元素。2142 289541013895421176)( ijc 06733902451009545 01733402401004542）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素）找到找到 3 个独立零元素个独立零元素 但但 m = 3 n = 4Page 63）作最少的直线覆盖所有作最少的直线覆盖所有0元素元素独立零元素的个数独立零元素的个数m等于最少等于最少直线数直线数l，即，即lm=3

5、n=4；4）没有被直线通过的元素中选择最小值为）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派步进行试指派Page 7 6244251343000 0 00试指派试指派 6244251343 得到得到4个独立零元素，个独立零元素， 所以最优解矩阵为：所以最优解矩阵为： 0100001000011000即完成即完成4个任务的总时间最少个任务的总时间最少为：为：241+8=1

6、5Page 8例例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。分配方案。 任务任务人员人员ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119Page 9解：解：1）变换系数矩阵，增加变换系数矩阵，增加0元素。元素。79429118713161491514410413152 2424104750111006211130 00102350960607130 00102350960607130 2）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素） 独立独立0元素的个数为元素的个数为4 , 指派问题的最优指指派问题的

7、最优指派方案即为甲负责派方案即为甲负责D工作，乙负责工作，乙负责B工作，工作，丙负责丙负责A工作，丁负责工作，丁负责C工作。这样安排工作。这样安排能使总的工作时间最少，为能使总的工作时间最少，为4491128。Page 10例例4.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。配方案。 任务任务人员人员ABCDE甲甲759811乙乙9127119丙丙85468丁丁73696戊戊467511Page 114347511576469637964589117129118957 7132036304520142405263402-1 -2解：解：1

8、）变换系数矩阵，增加）变换系数矩阵，增加0元素。元素。Page 12 5032015304310140305242402 5032015304310140305242402 2）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素） 独立独立0元素的个数元素的个数l45，故画直线调整矩阵。，故画直线调整矩阵。Page 13 5032015304310140305242402 选择直线外的最小元素选择直线外的最小元素为为1；直线外元素减；直线外元素减1，直线交点元素加直线交点元素加1，其，其他保持不变。他保持不变。Page 14 5033004203310240306231301 l =m=4 n=5选择

9、直线外最小元素为选择直线外最小元素为1，直线外元素减直线外元素减1，直线交，直线交点元素加点元素加1，其他保持不，其他保持不变，得到新的系数矩阵。变，得到新的系数矩阵。Page 15 6044003202300230206130300 总费用为总费用为=5+7+6+6+4=28=5+7+6+6+4=28注：此问题有多个最优解注：此问题有多个最优解Page 16 6044003202300230206130300 总费用为总费用为=7+9+4+3+5=28=7+9+4+3+5=28Page 17 6044003202300230206130300 总费用为总费用为=8+9+4+3+4=28=8+

10、9+4+3+4=28Page 18课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。79 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 163821038729764275842359106910练习练习1：练习练习2：Page 1979 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 1638210387297642758423591069104848 21 21答案：答案：Page 20匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij0。当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将

11、当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。Page 21处理方法：设处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。中最大元素。令矩阵令矩阵B（m-cij）nn则以则以B为系数矩阵的最小化指派问题和为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。原问题有相同的最优解。例例4.9 某人事部门拟招聘某人事部门拟招聘4人任职人任职4项工作，对他们综合考评的项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。分），如何安排工作使总分最多。 888

12、09086907983829578879590739285丁丁丙丙乙乙甲甲CPage 22解解: M95，令，令)95(ijcC 71559516121301780522310C用匈牙利法求解用匈牙利法求解C，最优解为：，最优解为： 0100100000010010X即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项第三项, 最高总分最高总分Z92959080357Page 23 当人数当人数m大于工作数大于工作数n时，加上时，加上mn项虚拟工作，项虚拟工作，例如：例如： 1235461714836111095 00000000001235461714836111095 当人数当人数m小于工作数小于工作数n时，加上时，加上nm个人，个人，例如例如 1716131074569102015 000017161310