数字电路与数字逻辑第一章

1、第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础1.2 1.2 记数体制记数体制1.3 1.3 常用编码常用编码 1.4 1.4 逻辑代数基础逻辑代数基础 1.1 1.1 二进制系统二进制系统1.5 逻辑门逻辑门多余输入端的处理多余输入端的处理1.6 混合逻辑中逻辑符号的变换混合逻辑中逻辑符号的变换 1.7 基本逻辑门电路的等效符号基本逻辑门电路的等效符号1.1 二进制系统二进制系统1.1.1 模拟量与数字量模拟量与数字量电子电路分为：电子电路分为： 模拟电子电路模拟电子电路和和数字电子电路数字电子电路 两大类。两大类。模拟电子电路中：模拟电子电路中： 数值的度量采用直流电压或电流的连续值，通常数值的度

2、量采用直流电压或电流的连续值，通常称为模拟量。模拟量的特点是数值由连续量来表示，称为模拟量。模拟量的特点是数值由连续量来表示，其运算过程也是连续的。其运算过程也是连续的。数字电子电路中：数字电子电路中： 数值的度量采用数字量。数字量的特点是数值是数值的度量采用数字量。数字量的特点是数值是离散量，运算结果也是离散量。离散量，运算结果也是离散量。1. 模拟量（连续量）模拟量（连续量）时间连续，数值也连续的信号。时间连续，数值也连续的信号。 如大多数物理量：温度、压力、流量、液面等。如大多数物理量：温度、压力、流量、液面等。1.1.1 模拟量与数字量模拟量与数字量2. 数字量（离散量）数字量（离散量

3、） 在时间上和数值上均是离散的信号。在时间上和数值上均是离散的信号。 离散性，按时间点采样。离散性，按时间点采样。数字量具有精数字量具有精度高、传输高度高、传输高效、易存储、效、易存储、易处理等优点。易处理等优点。1.1.1 模拟量与数字量模拟量与数字量1.1.2 开关量开关量1. 开关量定义开关量定义自然界存在二状态的物理元件：自然界存在二状态的物理元件： 晶体管的导通和截止；机械开关的开启和关闭；晶体管的导通和截止；机械开关的开启和关闭； 磁性材料的两种不同的剩磁状态；磁性材料的两种不同的剩磁状态；这两种不同的状态可用两种不同的电平来表示：这两种不同的状态可用两种不同的电平来表示： 高电平

4、（高电平（H），低电平（），低电平（L）这种二状态系统称为二进制系统：这种二状态系统称为二进制系统： 通常高电平通常高电平H表示表示“1”，低电平，低电平L表示表示“0”二进制系统的两个数字二进制系统的两个数字1和和0是一个开关量，常称为比特是一个开关量，常称为比特（bit，位）。，位）。用于表示数字用于表示数字1和和0的电平称为逻辑电平。的电平称为逻辑电平。理想情况下，一个电压表示理想情况下，一个电压表示H，另一个电压表示，另一个电压表示L实际上，用一个范围表示实际上，用一个范围表示H和和L。2. 逻辑电平逻辑电平1.1.2 开关量开关量有两种逻辑体制：有两种逻辑体制： 正逻辑体制正逻辑体制

5、规定：高电平为逻辑规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑，低电平为逻辑0。 负逻辑体制负逻辑体制规定：低电平为逻辑规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑，高电平为逻辑0。 下图为采用正、负逻辑体制所表示的逻辑信号：下图为采用正、负逻辑体制所表示的逻辑信号：3. 正逻辑与负逻辑正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑和逻辑0）。）。逻辑逻辑0 逻辑逻辑0 逻辑逻辑0 逻辑逻辑1 逻辑逻辑1 逻辑逻辑1 逻辑逻辑1 逻辑逻辑1 逻辑逻辑0 逻辑逻辑0 1.1.2 开关

6、量开关量1.1.3 数字波形数字波形 数字系统所处理的二进制信息可用波形的形式表示，波形数字系统所处理的二进制信息可用波形的形式表示，波形代表了比特序列。代表了比特序列。 当波形处于高电平时代表比特当波形处于高电平时代表比特1，处于低电平时代表比特，处于低电平时代表比特0。16位（比特）数据的图形表示位（比特）数据的图形表示 (周期性波形）周期性波形） 数字波形由高电平数字波形由高电平H或低电平或低电平L及其维持时间形成的脉冲及其维持时间形成的脉冲序列组成，它反映了数字电路工作中开关量的动态变化。序列组成，它反映了数字电路工作中开关量的动态变化。 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1

7、 1 0 1 01.1.3 数字波形数字波形在周期性脉冲波形中，三个重要参数：在周期性脉冲波形中，三个重要参数：D、T和和f 脉冲频率脉冲频率 f= 1/T 脉冲周期脉冲周期 T=1/f 占空比（占空系数，频宽比）：占空比（占空系数，频宽比）： D=(tw/T)100% （脉冲宽度和脉冲周期之比）（脉冲宽度和脉冲周期之比） 1.1.3 数字波形数字波形T = 10 sf = 1/（10*10-6）= 105 = 100000 HzD = 1 / 10 = 10%1.1.3 数字波形数字波形 数是用来表示物理量多少的。常用多位数表示。数是用来表示物理量多少的。常用多位数表示。 通常，通常，把数的

8、组成和由低位向高位进位的规则称把数的组成和由低位向高位进位的规则称为数制。为数制。 在数字系统中，常用的数制包括：在数字系统中，常用的数制包括： 十进制数十进制数(decimal) 二进制数二进制数(binary) 八进制数八进制数(octal) 十六进制数十六进制数(hexadecimal)1.2 1.2 记数体制记数体制 实际就十进制和实际就十进制和二进制两种，八进二进制两种，八进制和十六进制是二制和十六进制是二进制的书写形式。进制的书写形式。 组成：组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 进位规则：逢十进一。进位规则：逢十进一。 不同位置数的权不同，可用不同位置数的权不同，可用10

9、i表示。表示。 10称为基数称为基数(radix 或或base)。 n为十进制数的整数位位数，为十进制数的整数位位数， m为小数位位数，为小数位位数， i在在(n-1)至至-m间取值。间取值。1.2.1 1.2.1 十进制数十进制数143.75143.7521012105107103104101 例：例：= =位置计数法位置计数法 Positional Notation多项式表示法多项式表示法 Polynomial Notation 任意一个十进制数都可以写成：任意一个十进制数都可以写成：n是整数位位数是整数位位数m是小数位位数是小数位位数10i是第是第i位的权，位的权，10是基数。是基数。1

10、i1010nmiiaMai是第是第i位系数位系数1.2.1 1.2.1 十进制数十进制数按权展开式按权展开式（101.11101.11）2 2 = =210122121212021 = =（5.755.75）1010 组成：组成：0、1 进位规则：逢二进一进位规则：逢二进一 权值：权值：2i 基数：基数：2 一个二进制数一个二进制数M2可以写成：可以写成：122nmiiiaM1.2.2 1.2.2 二进制数二进制数 LSB(Least Significant Bit) 二进制数的最右边一位称为最低有效位二进制数的最右边一位称为最低有效位 MSB(Most Significant Bit) 最左

11、边一位称为最高有效位最左边一位称为最高有效位1.2.2 1.2.2 二进制数二进制数例：试标出二进制数例：试标出二进制数11011.011的的LSB，MSB位，写位，写出各位的权和按权展开式，求出其等值的十进制数。出各位的权和按权展开式，求出其等值的十进制数。 M2=11011.0112=124+123+022+121+120+02-1+12-2+12-3=27.375101 1 0 1 1 . 0 1 124232221202-12-22-3MSBLSB1.2.2 1.2.2 二进制数二进制数1.2.3 1.2.3 八进制和十六进制数八进制和十六进制数 八进制数八进制数 组成：组成：0、1、

12、2、3、4、5、6、7 进位规则：逢八进一进位规则：逢八进一 权值：权值：8i 基数：基数：8 八进制数按权展开式：八进制数按权展开式：188nmiiiaM 十六进制数十六进制数 组成：组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 其中其中AF的等值十进制数分别为的等值十进制数分别为10、11、12、13、14、15 进位规则：逢十六进一进位规则：逢十六进一 权值：权值：16i 基数：基数：16 十六进制数按权展开式：十六进制数按权展开式：11616nmiiiaM1.2.3 1.2.3 八进制和十六进制数八进制和十六进制数例例1 ：求八进制数：求八进制数6668的等值十

13、进制数。的等值十进制数。解：解： 6668=682+681+680=384+48+6=43810例：一个十六进制数例：一个十六进制数2AF16的等值十进制数是多少？的等值十进制数是多少？解：解： 2AF16=2162+A161+F160 =2162+10161+15160=687101.2.3 1.2.3 八进制和十六进制数八进制和十六进制数 任意进制数的按权展开式任意进制数的按权展开式1nmiiiRRaMR为基数为基数ai为为0(R1)中任中任意一个数字符号意一个数字符号Ri为第为第i位的权值。位的权值。 总结：总结： 任意进制数的按权展开式任意进制数的按权展开式1.2.4 1.2.4 数制

14、转换数制转换 十进制数十进制数M10转换为二进制数，转换为二进制数，一般采用将一般采用将M10的的整数部分和小数部分分别转换整数部分和小数部分分别转换，然后把其结果相加。，然后把其结果相加。（1 1）整数部分转换）整数部分转换 设设M10的整数部分转换成的二进制数为的整数部分转换成的二进制数为 an-1an-2a1a0 可列成下列等式：可列成下列等式： M10=an-12n-1+an-22n-2+a121+a020 2. 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数1. 其它进制数转换成十进制数其它进制数转换成十进制数 按权展开按权展开基数乘除法基数乘除法 M10=an-12n-1+an-22

15、n-2+a121+a020 将上式两边同除以将上式两边同除以2，两边的商和余数相等。所得，两边的商和余数相等。所得商为商为an-12n-2+an-22n-3+a221+a1，余数为，余数为a0，经整理经整理后有：后有：11232210102222aaaaaMnnnn 再将上式两边同时除以再将上式两边同时除以2，可得余数，可得余数a1，依次类推，依次类推，便可求出每一位系数便可求出每一位系数an-1、a1、a0。 在转换中除以在转换中除以2一直进行到商数为一直进行到商数为0止。止。1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换除基取余法除基取余法(Radix Divide Method)。2. 十进制

16、数转换成二进制数十进制数转换成二进制数（1）整数部分转换）整数部分转换 例：将十进制数例：将十进制数2510转换为二进制数。转换为二进制数。 2510=110012 252623212余余1a00122余余0a1余余0a2余余1a3余余1a41.2.4 1.2.4 数制转换数制转换2. 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数（1）整数部分转换）整数部分转换（2）小数部分转换）小数部分转换 设设M10的小数部分转换成二进制数为的小数部分转换成二进制数为 a-1a-2a-m 可写成等式：可写成等式： M10=a-12-1+a-22-2+a-m2-m 将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以2得得

17、 2M10=a-120+a-22-1+a-m2-m+1 上式中乘积的整数部分就是系数上式中乘积的整数部分就是系数a-1，而乘积的小数而乘积的小数部分为：部分为： 2M10 - a-1= a-22-1+a-m2-m+1 1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换2. 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数 2M10 - a-1= a-22-1+a-m2-m+1 对上式两边再同乘以对上式两边再同乘以2，则积的整数部分为系数，则积的整数部分为系数 a-2，依次类推，便可求出二进制数的小数部分的，依次类推，便可求出二进制数的小数部分的每一位系数每一位系数 a-1 、 a-2 、 a-m 在转换过程

18、中，乘在转换过程中，乘2过程一直继续到所需位数或达过程一直继续到所需位数或达到小数部分为到小数部分为0止。止。 1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换乘基取整法乘基取整法 (Radix Multiply Method)。2. 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数（2）小数部分转换）小数部分转换1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换 0.8125 2 1.6250整数部分整数部分 1=a-1 0.6250 2 1.2500整数部分整数部分 1=a-2 0.2500 2 0.5000整数部分整数部分 0=a-3 0.5000 2 1.0000整数部分整数部分 1=a-4(0.8125)

19、10 = (0.1101)2例例. 将将(0.8125)10化化为二进制小数为二进制小数由上两例可得由上两例可得(25.8125)10 = (11001.1101)22. 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数（2）小数部分转换）小数部分转换1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换3. 十进制数转换成八进制数和十六进制十进制数转换成八进制数和十六进制基数乘除法适合于十进制转换成任一种进制。基数乘除法适合于十进制转换成任一种进制。例例1： (725)10 = ( ? )16 72516 216 0余余 5 a0 4516余余 13a1余余 2 a2(725)10 = ( 2D5 )161.

20、2.4 1.2.4 数制转换数制转换3. 十进制数转换成八进制数和十六进制十进制数转换成八进制数和十六进制基数乘除法适合于十进制转换成任一种进制。基数乘除法适合于十进制转换成任一种进制。例例2： (0.7875)10 = ( ? )8 0.7875 8 6.3000整数部分整数部分 6=a-1 0.3000 8 2.4000整数部分整数部分 2=a-2 0.4000 8 3.2000整数部分整数部分 3=a-3(0.7875)10 = (0.623)8 三位二进制数恰好等于一位八进制数，三位二进制数恰好等于一位八进制数，8=23。 对于二进制数，从小数点处开始，分别向左、右对于二进制数，从小数

21、点处开始，分别向左、右按三位分为一组，每组就对应一位八进制数，组按三位分为一组，每组就对应一位八进制数，组合后即得到转换的八进制数。合后即得到转换的八进制数。 将八进制数转换为二进制数时，把每位八进制数将八进制数转换为二进制数时，把每位八进制数写成等值的二进制数，再连接起来，即得到二进写成等值的二进制数，再连接起来，即得到二进制数。制数。 1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换4. 二进制数和八进制数之间的转换二进制数和八进制数之间的转换例：将八进制数例：将八进制数2748转换成二进制数。转换成二进制数。解：解： 2748=1011110022 7 4010 111 1001.2.4 1.2

22、.4 数制转换数制转换4. 二进制数和八进制数之间的转换二进制数和八进制数之间的转换 因为因为16=24，所以，所以4位二进制数代表一位十六进制位二进制数代表一位十六进制数。数。 对二进制数，将二进制数从小数点处开始，分别对二进制数，将二进制数从小数点处开始，分别向左、右按每四位分为一组，每组用相应的十六向左、右按每四位分为一组，每组用相应的十六进制数表示，组合后可得到相应的十六进制数。进制数表示，组合后可得到相应的十六进制数。 将十六进制数转换为二进制数时，把每位十六进将十六进制数转换为二进制数时，把每位十六进制数写成等值的二进制数，再连接起来，即得到制数写成等值的二进制数，再连接起来，即得

23、到二进制数。二进制数。 1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换5. 二进制数和十六进制数之间的转换二进制数和十六进制数之间的转换例：将例：将10101111.00010110112转换成十六进制数。转换成十六进制数。 解：解： 1.2.4 1.2.4 数制转换数制转换5. 二进制数和十六进制数之间的转换二进制数和十六进制数之间的转换 10101111.00010110112=AF.16C161010 1111 . 0001 0110 1100 A F . 1 6 C几种数制之间的关系对照表几种数制之间的关系对照表0123456700000101001110010111011101234567

24、八进制八进制二进制二进制十进制十进制十六进制十六进制二进制二进制十进制十进制0123456789ABCDEF000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111101234567891011121314151.2.4 1.2.4 数制转换数制转换几种数制之间的关系对照表几种数制之间的关系对照表0123456789A十六进制十六进制012345671011120000000001000100001100100001010011000111010000100101010012345678910八进制八进制二进制二进制十进制十

25、进制十六进制十六进制八进制八进制二进制二进制十进制十进制BCDEF10111213141314151617202122232401011011000110101110011111000010001100101001110100111213141516171819201.2.4 1.2.4 数制转换数制转换1.3 1.3 常用编码常用编码编码：编码： 用数码或符号来表示某种信息。用数码或符号来表示某种信息。 这里的这里的“信息信息”通常为数值、文字、操作、状态等。通常为数值、文字、操作、状态等。 数字逻辑中，用数字逻辑中，用0和和1作为基本符号。多个作为基本符号。多个0和和1按不按不同的次序排列

26、，可表达不同的信息内容。同的次序排列，可表达不同的信息内容。常用编码：常用编码： BCD码码 格雷码格雷码 ASCII码码 1.3.1 二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码） Binary Code for Decimal numbers 二二十进编码是用四位二进制代码表示一位十进制数的十进编码是用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方式。编码方式。 BCD码的本质是十进制，其表现形式为二进制代码。码的本质是十进制，其表现形式为二进制代码。 四位二进制代码有四位二进制代码有16种组合，如果用其中的种组合，如果用其中的10 种组合种组合表示十进制数表示十进制数09， 并按不同的次序排列，则可

27、得到多并按不同的次序排列，则可得到多种不同的编码。种不同的编码。101016109 .2)!1016(!16A表表1-1 常用的几种常用的几种BCD码码无权码无权码542124212421无权码无权码8421权权00100110011101010100110011011111111010100000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100000001001000110100010101100111111011110011010001010110011110001001101010

28、11110000000001001000110100010101100111100010010123456789余余3循环码循环码5421码码2421码码(B)2421码码(A)余余3码码8421码码十进制十进制种类种类1.3.1 二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码） 8421 码码 8421码是最常用的一种码是最常用的一种BCD（Binary Coded Decimal）码，舍去四位自然二进制码的最后六个）码，舍去四位自然二进制码的最后六个码，十位数和其二进制数有对应关系，为有权码。码，十位数和其二进制数有对应关系，为有权码。 a3a2 a1a0 a3-a0四位二进制数，其权分别为四位

29、二进制数，其权分别为8、4、2、1 多位十进制数，需用多位多位十进制数，需用多位8421 BCD码表示。码表示。 例如例如36910= 0011 0110 10018421。 余余3码码 特点：特点：(1) 每个余每个余3码所表示的二进制数要比它对码所表示的二进制数要比它对 应的十进制数多应的十进制数多3； (2) 也是一种对也是一种对 9自补代码自补代码，这种互补性有，这种互补性有 利于减法运算。利于减法运算。 2421和和5421码码 二者均为有权码。二者均为有权码。2421码有码有A、B两种。两种。 1.3.1 二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码） 任何相邻的两组代码中，任何相邻的

30、两组代码中，仅有一位数码不同，因而仅有一位数码不同，因而又叫又叫单位距离码单位距离码。 每一位代码从上到下的排每一位代码从上到下的排列顺序都是以固定的周期列顺序都是以固定的周期进行循环的。进行循环的。1.3.2 格雷码（格雷码（Gray，也称循环码），也称循环码） 0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0Gray 码码0123456789101112131415十进制数十进制数 二进制数二进制数0 0 0 00

31、0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 11.3.2 格雷码（格雷码（Gray，也称循环码），也称循环码） 0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0Gray 码码0123456789101112131415十进制数十进制数 二进制数二进制数0 0 0

32、00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 具有反射特性具有反射特性，即按表中，即按表中所示的对称轴为界，除最所示的对称轴为界，除最高位互补反射外，其余低高位互补反射外，其余低位数沿对称轴位数沿对称轴镜像对称镜像对称。一位反射对称轴一位反射对称轴二位反射对称轴二位反射对称轴三位反射对称轴三位反射对称轴四位反射对称轴四位反射对称轴 循环码和二进制码之间保循环码和二进制码之间保持确定关系，即已知一组持确定关系，即已知一组二进制码，

33、便可求出一组二进制码，便可求出一组对应的循环码，反之亦然。对应的循环码，反之亦然。 设二进制码为设二进制码为B=B3B2B1B0 循环码为循环码为G=G3G2G1G0 则则 Gi=Bi+1 Bi （最高位不变）（最高位不变） 格雷码属于可靠性编码，格雷码属于可靠性编码，是一种错误最小化的编码是一种错误最小化的编码方式。方式。 无权码。无权码。1.3.2 格雷码（格雷码（Gray，也称循环码），也称循环码） 0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0

34、1 11 0 0 11 0 0 0Gray 码码0123456789101112131415十进制数十进制数 二进制数二进制数0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 11.3.3 ASCII码码 ASCII是是American National Standard Code for Information Interchange美国国家信息交换标准代美国国家信息交换标准代码的简称。常用于通讯设备和计算机中。码的简称。

35、常用于通讯设备和计算机中。 它是一组八位二进制代码，用它是一组八位二进制代码，用17这七位二进制这七位二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位作奇偶校验位（在机中常为八位作奇偶校验位（在机中常为0）。）。ASCII码表码表DELo_O?/USSI1111nN.RSSO1110mM=-GSCR1101|lL,FSFF1100kK;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(line feed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNAC

36、K0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001pP0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001000b4b3b2b1b7b6b5 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 789ABCDEF逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！ 18471847年年, ,英国数学家乔治英国数学家乔治布尔布尔(G.Boole)(G.Boole)提出了用数学分提出了用数学分

37、析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的数演算，从而诞生了著名的“布尔代数布尔代数”，又叫开关代数，逻，又叫开关代数，逻辑代数。辑代数。19381938年年，信息论的创始人克劳德，信息论的创始人克劳德香农香农(C.E.Shannon)(C.E.Shannon)将将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数开关代数”。用用0 0，1 1分别代表电路的开、关状态或高、低电平；命题为真，分别代表电路的开、关状态或高、低电平；命题为真，线路建立连结；命题为假，

38、线路断开连结。电路串联相当于线路建立连结；命题为假，线路断开连结。电路串联相当于“与与”，电路并联连相当于，电路并联连相当于“或或”，架起了布尔代数与电路实，架起了布尔代数与电路实现的桥梁，奠定了数字电路的理论基础。现的桥梁，奠定了数字电路的理论基础。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫做点开关，故人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。逻辑代数。1.4 1.4 逻辑代数基础逻辑代数基础1. 数字电路特点：数字电路特点： 数字电路是一种开关电路。开关的两种状态常用数字电路是一种开关电路。开关的两种状态

39、常用晶体管的导通与截止来实现，并用二元变量晶体管的导通与截止来实现，并用二元变量0和和1表示；表示；另一方面，数字电路的输入、输出量一般用高低电平另一方面，数字电路的输入、输出量一般用高低电平来表示，而高低电平也可用二元变量来表示。来表示，而高低电平也可用二元变量来表示。 数字电路的输入量和输出量之间的关系，可以用数字电路的输入量和输出量之间的关系，可以用逻辑函数来描述，因此，逻辑函数来描述，因此，数字电路也称为逻辑电路。数字电路也称为逻辑电路。1.4.1 1.4.1 逻辑变量和逻辑函数逻辑变量和逻辑函数3. 逻辑函数的定义：逻辑函数的定义：F F= =f f(A,B,C,)(A,B,C,)其

40、中：其中： A,B,C,A,B,C, 为输入逻辑变量，取值为输入逻辑变量，取值0 0或或1 1 F F 为输出逻辑变量，取值为输出逻辑变量，取值0 0或或1 1 F F 通常称为通常称为A,B,C,A,B,C,的逻辑函数。的逻辑函数。2. 逻辑变量：逻辑变量： 具有逻辑属性的变量。取值为：具有逻辑属性的变量。取值为：0、1，通常称为，通常称为逻辑逻辑0，逻辑，逻辑1。1.4.1 1.4.1 逻辑变量和逻辑函数逻辑变量和逻辑函数逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点： (1)逻辑变量和逻辑函数只能取两个值逻辑变量和逻辑函数只能取两个

41、值0和和1 (2)函数和变量之间的关系由函数和变量之间的关系由“与与” “或或” “非非”三种基本运三种基本运算决定算决定 基本逻辑运算包括：基本逻辑运算包括： 逻辑与、逻辑或、逻辑非逻辑与、逻辑或、逻辑非 实现这三种逻辑运算的电路，称作实现这三种逻辑运算的电路，称作基本逻辑门基本逻辑门 1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门设：开关闭合设：开关闭合= =“1 1” 开关不闭合开关不闭合= =“0 0” 灯亮，灯亮，F=1F=1 灯不亮，灯不亮，F=0F=0 1.1.与运算与运算BAF与逻辑表达式：与逻辑表达式：AB灯灯F不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭

42、合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不亮不亮不亮不亮不亮不亮亮亮0101BFA0011输输 入入0001输出输出与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑电路与逻辑电路VBFA与逻辑符号与逻辑符号A&F=ABB 与与逻辑逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。这种因果关系为件事情才会发生。这种因果关系为“逻辑与逻辑与”或或“逻辑乘逻辑乘”。1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门逻辑与的逻辑关系表达式写成：逻辑与的逻辑关系表达式写成： F=AB=AB与逻辑功能可记成：与逻辑功能可记成：“有有0为为0，全，全1

43、为为1”与运算规则：与运算规则：00=0； 01=0； 10=0； 11=1 A0=0； A1=A； 0A=0； 1A=A常用的与逻辑符号常用的与逻辑符号FAB(b)AB(a)FFAB&(c)1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门1.1.与运算与运算或逻辑表达式或逻辑表达式 FA+B 或逻辑或逻辑当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。以上条件具备，这件事情就发生。 “逻辑或逻辑或”或或“逻辑加逻辑加”。AB灯灯F不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭

44、合闭合闭合不亮不亮亮亮亮亮亮亮0101BFA0011输输 入入0111输出输出 或逻辑真值表或逻辑真值表2.2.或运算或运算FBVA或逻辑电路或逻辑电路或逻辑符号或逻辑符号F=A+BA1B1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门逻辑或的逻辑关系表达式：逻辑或的逻辑关系表达式： F=A+B或逻辑功能可记成：或逻辑功能可记成：“有有1为为1，全，全0为为0”。或运算规则：或运算规则：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1 A+0=A；A+1=1；A+A=A。或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，可见它和算或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，可见它和算术加有很大

45、区别。在逻辑加中术加有很大区别。在逻辑加中1+1=1，1+1+1=1。2.2.或运算或运算ABF(c)1ABF(a)+ABF(b)常用或逻辑符号常用或逻辑符号1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门3.3.非运算非运算 非逻辑非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。事情才发生。A灯灯F闭合闭合不闭合不闭合不亮不亮亮亮FA0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑电路非逻辑电路AFRV非逻辑符号非逻辑符号F=

46、A1A非逻辑表达式：非逻辑表达式： F = A1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门逻辑非的逻辑表达式写成：逻辑非的逻辑表达式写成： AF 3.3.非运算非运算非运算规则：非运算规则：1 AA0AA01 10 1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门4.4.几种复合逻辑运算几种复合逻辑运算“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑关系，是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以它们为基础表示。任何其它的逻辑关系都可以它们为基础表示。与非运算：与非运算： 条件条件A A、B B、C C全全为为1 1，则，则F F才为才为0

47、0。&ABCCBAF 或非或非：条件条件A A、B B、C C任一为任一为1 1，则则F F等于等于0 0 。 1ABCFCBAF F1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门4.4.几种复合逻辑运算几种复合逻辑运算BABABAF 异或：异或：A A、B B不同不同时，输出时，输出F F为为1 1；反之，反之，F F等于等于0 0。=AB与或非：与或非：ABAB或或CD CD 任一组为任一组为1 1，则则F F等于等于0 0 。CDABF 1ABCFDF同或：同或：A A、B B相同相同时，时，F F等于等于1 1； A A、B B不同时，不同时，F F等于等于0

48、 0。AB=1FF = A B + A B=A B&1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门ABF BAFABFABFFABCDABFABFABF&ABF11FABCD&ABFABF=1=ABFAB+ABCABFABF FFDBABABAF=A B BABAFCDABF国标国标符号符号惯用惯用符号符号国外国外常用常用符号符号4.4.几种复合逻辑运算几种复合逻辑运算1.4.2 1.4.2 基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算及基本逻辑门1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数逻辑代数F F是一个封闭的代数系统，它由

49、一个逻辑是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集变量集K K，常量，常量0 0和和1 1以及以及“或或”、“与与”、“非非”三种三种基本运算所构成，记为基本运算所构成，记为 F=K,+,F=K,+, ,0,1,0,1。 基本公式基本公式 10AAAA互补律互补律 1100AA0-1律律自等律自等律 AAAA01 AAAAAA 重叠律重叠律普通代数不普通代数不适用适用!1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式基本公式 ABBAABBA交换律交换律 CBACBACBACBA)()()()(结合律结合律 )()()(CABACBACABACBA分配律

50、分配律1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式基本公式 _BABABABA 反演律反演律(德德摩根定律摩根定律)AA 还原律还原律求反律求反律10 01 AA 1 BABAAABAAABAA)(吸收律吸收律1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式AA100 A0 AAAAAABBAABAA)(AA )()(CBACBAACABCBA)(BABA)(CABABCA01AA011A1 AAAAAABBAAABA)()(CBACBABABA10AA01 AA0 AAABBA)()(CBACBAACABCBA )

51、(BABAABAA1=A B=自等律自等律说明说明逻辑代数基本公式逻辑代数基本公式求反律求反律反演律反演律分配律分配律结合律结合律还原律还原律吸收律吸收律交换律交换律重迭律重迭律互补律互补律01律律BABAABABABABAAB 可将变量：可将变量：A、B的各种取值组合分别代入等式，其的各种取值组合分别代入等式，其结果如表所示，等号两边的逻辑值完全对应相等，则结果如表所示，等号两边的逻辑值完全对应相等，则说明该公式成立。说明该公式成立。1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式基本公式例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律BABA 1000

52、AB1110AB1110A B10000 00 11 01 1A BA B 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 代入规则代入规则： 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个逻辑出现某一变量的地方，都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。函数，则等式仍然成立。例：例： AB = A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：利用反演律利用反演律n 21n 21n 21n 21AKAAAAAAKA

53、AA A AKK 反演规则反演规则： 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理：1)1)若把式中的运算符若把式中的运算符“ ”换成换成“+ +”, , “+ +” 换成换成“ ”; ;2)2)常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；3)3)原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式。CDCBAF1 CDC

54、)BA(F1 例：例：F(AF(A、B B、C)C)CBAB )C A(BA 其反函数为其反函数为)CBA(BCA)BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 反演规则反演规则例：例：注：注：保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号先与后或，必要时适当地加入括号不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 长长非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将长非号去掉，而非号下

55、的函数式保留不变将长非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：用反演规则证明德例：用反演规则证明德摩根定律。摩根定律。 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 反演规则反演规则BAFBAFBAF 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“ ”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对

56、偶函数，也称对偶函数 对偶规则对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若即若F F1 1=F=F2 2 则则 F F1 1= F= F2 2。使公式的数目增加一倍。使公式的数目增加一倍。 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式B1CAABF 其对偶式其对偶式)B 0() CA ()BA(F 求对偶式时运算顺序不变，且它求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和只变换运算符和常量，其变量是不变常量，其变量是不变的。的。注：注： 函数式中有函数式中有“ ”

57、和和“”运算符，求反函数及运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成“”， “”换成换成“ ”。 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 对偶规则对偶规则例：例：例：证明例：证明 分配率分配率 A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：(1) 先写出等式两边的对偶式先写出等式两边的对偶式 A(B+C) = AB+AC (2) 根据分配律根据分配律 A(B+C)=AB+AC 知对偶式相等知对偶式相等 (3) 由对偶规则知由对偶规则知 A+BC=(A+B)(A+C) 逻辑代数的三条规则

58、逻辑代数的三条规则 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 对偶规则对偶规则为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有时证明对偶式相等更容易。相等来完成，因为有时证明对偶式相等更容易。 若干常用公式若干常用公式 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式可直接运用这些可直接运用这些公化简函数式公化简函数式ABAABBABAAAABACAABBCDCAABBAABBABABA = A B),.0 , 1 (),.,(zxfzxxxf),.1 ,

59、0 (),.0 , 1 (),.,(zf xzxfzxxfCAABBCCAAB证明：证明： ABAABAABBABAAB1)( 若干常用公式若干常用公式 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式A+AB=ABABAABAABABAABA)AA(BA证明：证明：证明：证明：证明：证明：用前述基本公用前述基本公式证明式证明A+AB=A(1+B)=A1=A 若干常用公式若干常用公式 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式证明：证明：CAABBCACABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB)1 ()1 ()(

60、CAABBCCAABCAABBCDCAAB推论：推论：证明：证明： BAABBABA证明：证明：证明：证明： 若干常用公式若干常用公式 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式BAABBABABABABABA)(证明：证明： 1.4.3 1.4.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式),.0, 1(),.,(zxfzxxxf 若干常用公式若干常用公式 变量变量x和含有变量和含有变量x的逻辑函数相乘时，函数的逻辑函数相乘时，函数f中的中的x用用1代替，代替， 用用0代替，依据是代替，依据是 xx = x = x1；x = 0 =x0。