应力与应变10

1、第二章第二章 应力与应变应力与应变部分矿山岩体变形、破坏形式部分矿山岩体变形、破坏形式底臌底臌变形变形冒落冒落突出突出沉陷沉陷2.2 体力和面力体力和面力 体力：体力： 分布在物体体积内的力。分布在物体体积内的力。 例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。2.2 2.2 体力和面力体力和面力 为了表明物体在xyz 坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素V, 如图所示 。设V 的体力合力为F，则P点的体力平均集度为： 令微小体积元素V 趋近于0，则可以定义一点P的体力为 ：0limbVFV FbFVF 一般来讲，物体内部各点处的体力

2、是不相同的。一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。 物体内任一点的体力用物体内任一点的体力用Fb表示，称为体力矢量，其方向由该表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。点的体力合力方向确定。 体力沿三个坐标轴的分量用体力沿三个坐标轴的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者或者Fbx,Fby,Fbz表示，称为体力分量。表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。致为正，反之为负。 在弹性力学中，体力是指单位体积的力。它们的因次是在弹性力学中，体力是指单位体积的力。它们的因次是 -3力 长度2.2 2.2 体力和面力体力和面

3、力2.2 体力和面力体力和面力 面力：面力： 分布在物体表面上的力称面力。分布在物体表面上的力称面力。 例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。 0limsSFS F-2力 长度2.2 体力和面力体力和面力 内力内力：物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，间将产生相互作用，物体内部相互作用力称为内力物体内部相互作用力称为内力。 内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡截为两部分，将希望计算内力的

4、截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力关系计算截面内力F。 应力应力：指指单位面积的内力。单位面积的内力。2.2 2.2 体力和面力体力和面力 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点意一点M的内力，在截面上选取一个包含的内力，在截面上选取一个包含M的的微面积单元微面积单元S，如图所示。则可认为微，如图所示。则可认为微面积上的内力主矢面积上的内力主矢F的分布是均匀的。设的分布是均匀的。设S 的法线方向为的法线方向为n，则定义：，则定义： 上式中上式中pn为微面积为微面积S 上的平均应力。如果上的平均应力。如果令令S 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可逐渐减小

5、，并且趋近于零，取极限可得得 ： pn是通过任意点是通过任意点M，法线方向为，法线方向为n的微分面的微分面上的应力矢量。上的应力矢量。0limnSFpS nFpS-2力长 度102.2 2.2 体力和面力体力和面力 正应力正应力：应力在其作用截面的法线方应力在其作用截面的法线方向的分量，称正应力。向的分量，称正应力。 切应力切应力：应力在其作用截面的切线方应力在其作用截面的切线方向的分量，称切应力。向的分量，称切应力。 弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。式。 由于微

6、分面法线由于微分面法线 n 的方向只有一个，因此说明的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力截面方位就确定了正应力 n的方向。但是平行的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力于微分面的方向有无穷多，因此切应力n n不仅不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。需要确定截面方位，还必须指明方向。2.2 2.2 体力和面力体力和面力 为表达物体内部任意一点为表达物体内部任意一点M 的应力状态，利用三个与坐标轴的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过方向一致的微分面，通过M点截取一个微小的正平行六面体点截取一个微小的正平行六面体单元单元2.2.2 2 体力与面力体力与面力 正面

7、：正面：外法线沿着坐标轴的正方向的外法线沿着坐标轴的正方向的截面。截面。 正面上应力正负规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标正面上应力正负规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。轴负向为负。 负面：负面：外法线是沿着坐标轴的负方向的截面。外法线是沿着坐标轴的负方向的截面。 负面上应力正负规定：沿坐标轴正向为负，沿坐标负面上应力正负规定：沿坐标轴正向为负，沿坐标轴负向为正。轴负向为正。 切切应应力互等性：力互等性：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的，即大小相等，正负号相同。两面交线的切应力是互等的，即大小相等，正负号相同。2.2.2 2

8、体力与面力体力与面力一点的应力状态：一点的应力状态：6个独立应力分量定义。个独立应力分量定义。zyzxzyzyxyxzxyx 例题：例题：2-1 应力和面力的符号规定有应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的和负面上的正的应力和正的面力方向。面力方向。2-2 试比较（岩石）弹性力学试比较（岩石）弹性力学和材料力学中关于切应力的和材料力学中关于切应力的符号规定。符号规定。O zyxxyO z例题例题2-2-3 3：知：矩形板边缘上均布着给知：矩形板边缘上均布着给定的荷载。板厚定的荷载。板厚b=b=50mm, 边边AB=500mm, BC=40

9、0mm。求求:(1:(1) ) 确定确定BCBC、DADA边上为保边上为保持板平衡必须作用的剪力。持板平衡必须作用的剪力。 (2 (2) ) 相对于相对于x, yx, y参考轴，参考轴，确定板内任一点确定板内任一点P P的应力状态。的应力状态。解：解：（1）已知）已知AB、DC边上的剪力为边上的剪力为TAB=TDC = 250 kN，对应的对应的剪应力：剪应力： yx= TAB/（b AB） = 250/（1000 0.05 0.5）= 10 MPa； 根据根据据剪应力的互等性，可得据剪应力的互等性，可得BC、DA边上的剪应力也为边上的剪应力也为 xy= 10 MPa； 于是，可以计算出于是，

10、可以计算出BC、DA边上的剪力：边上的剪力： TBC=TDA = xy b BC= 10 1000 0.05 0.4= 200 kN。 其中，其中，BC边上的剪力方向朝下，边上的剪力方向朝下，DA边上的剪力方向朝上。边上的剪力方向朝上。解：解：（2）相对于相对于x、y参考轴：参考轴： x= PBC/（b BC） =300/（1000 0.05 0.4）= 15 MPa； y= PAB/（b AB） = 400/（1000 0.05 0.5）= 16 MPa； xy= TAB/（b AB） = 250/（1000 0.05 0.5）= 10 MPa。2.2.3 3 应力变换应力变换问：已知在（问

11、：已知在（X，Y，Z）坐标系下一点的坐标系下一点的6个应力分量，个应力分量， 如何求得该点在（如何求得该点在（l，m，n）坐标系下的坐标系下的6个应力分量？个应力分量？zxyCABPabmnllnmPyxz2.2.3 3 应力变换应力变换旧坐标系（旧坐标系（x，y，z）新坐标系（新坐标系（l，m，n）其中，其中，l，m，n轴相对于旧坐标的方轴相对于旧坐标的方向余弦分别为：向余弦分别为： （lx，ly，lz） （mx，my，mz） （nx，ny，nz） 一点应力状态，对于旧坐标系一点应力状态，对于旧坐标系 ，对于新坐标系，对于新坐标系 *如何用如何用 和和 l，m，n轴相对于旧坐标轴的方轴相对于

12、旧坐标轴的方向余弦表示向余弦表示 *？zyzxzyzyxyxzxyxnmnmnmlmlmllnln*ztPxabcoyzxyCABPabzzOP：abc面的外法线，其方向余弦（面的外法线，其方向余弦（ X， Y， Z）。）。 t：切去部分在切去部分在abc面的平衡应力。面的平衡应力。ZXZYXXZXYYYZYXYYXYZXXYXZZZYZXo2.2.3 3 应力变换应力变换2.3.1 从一般空间应力状态求任意斜截面上从一般空间应力状态求任意斜截面上的应力的应力假设假设abcabc面的外法线面的外法线OPOP由用方向余弦（由用方向余弦（ x x、 y y、 z z）的行矢量定义。的行矢量定义。如

13、果的面积为如果的面积为A A，abcabc在其法线分别为在其法线分别为x x、y y、z z轴的各平面上的投影面积由下式轴的各平面上的投影面积由下式给出：给出：OacOac面面= =A Ax x=A=A x x，OabOab面面= =A Ay y=A=A y y，Obc面面=A Az z=A=A z z假定牵引力矢量假定牵引力矢量t t的分量为的分量为t tx x、t ty y、t tz z。 第二章第二章 应力与应变应力与应变ztPxabcoy2.3.1 从一般空间应力状态求任意斜截面上从一般空间应力状态求任意斜截面上的应力的应力利用利用x x方向的静力平衡条件得出：方向的静力平衡条件得出：

14、t tx xA - A - xA A x x - - xyxyA A y y - - zxzxA A z z=0=0即：即： t tx x= =x x x + + xyxy y y + + zxzx z z同理可推出：对于同理可推出：对于y y、z z方向对应的关方向对应的关于于t ty y、 t tz z的表达式：的表达式：t ty y= = xyxy x x + + y y y y + + yzyz z zt tz z= = xzxz x x + + yzyz y y + + z z z z第二章第二章 应力与应变应力与应变ztPxabcoy2.3.1 从一般空间应力状态求任意斜截面上从一

15、般空间应力状态求任意斜截面上的应力的应力所以，所以，abcabc面上的牵引力分量与面上的牵引力分量与x x、y y、z z坐标系坐标系下的应力矩下的应力矩阵和阵和abcabc面外法线的方向余弦的关系表达式为：面外法线的方向余弦的关系表达式为：第二章第二章 应力与应变应力与应变zyxzyzxzyzyxyxzxyxzyxttt或 t2.3.1 从一般空间应力状态求任意斜截面上从一般空间应力状态求任意斜截面上的应力的应力同理，同理，abcabc面上的牵引力分量与面上的牵引力分量与l l、m m、n n坐标系坐标系下的应力矩下的应力矩阵和阵和abcabc面外法线的方向余弦的关系表达式为：面外法线的方向

16、余弦的关系表达式为：第二章第二章 应力与应变应力与应变nmlnmnmnmlmlmlnmltttlnln或 *t2.3.2 坐标变换对应的应力变换方程坐标变换对应的应力变换方程根据矢量分析，矢量根据矢量分析，矢量 VV按照如下变换方程从一组正交参按照如下变换方程从一组正交参考坐标考坐标x x、y y、z z变换到另一组参考坐标变换到另一组参考坐标l l、m m、n n。第二章第二章 应力与应变应力与应变zyxzyxzyxzyxnmlvvvnnnmmmlllvvv或 VRV*上式中，上式中， RR为旋转矩阵，该矩阵的行可看作是由新轴相对于为旋转矩阵，该矩阵的行可看作是由新轴相对于旧轴的方向余弦的行

17、矢量组成的。该旋转矩阵的唯一性性质旧轴的方向余弦的行矢量组成的。该旋转矩阵的唯一性性质是其逆阵等于它的转置，即：是其逆阵等于它的转置，即： TRR12.3.2 坐标变换对应的应力变换方程坐标变换对应的应力变换方程利用上述旋转矩阵的性质，再看利用上述旋转矩阵的性质，再看 tt和和 t t* * 、 和和 * * 之之间的关系式：间的关系式： t t* *=Rt =Rt 或或 t=Rt=RT T t t* * * *=R=R 或或 =R=RT T * * 则：则： t t* *=Rt =R=Rt =R = R = R RRT T * * 由于：由于： t t* *= = * * * * 于是：于是

18、： * *=R=R RRT T（应力变换方程）应力变换方程）第二章第二章 应力与应变应力与应变2.3.2 坐标变换对应的应力变换方程坐标变换对应的应力变换方程应力变换方程扩展式：应力变换方程扩展式：第二章第二章 应力与应变应力与应变zzzyyyxxxzyzxzyzyxyxzxyxzyxzyxzyxnmnmnmlmlmlnmlnmlnmlnnnmmmllllnln坐标变换情况下应力分量的显式表达：坐标变换情况下应力分量的显式表达： l=lx2 x+ ly2 y +lz2 z+2（lxly xy+ lylz yz+ lxlz xz） lm=lxmx x+ lymy y+ lzmz z+（ lxmy

19、+ lymx） xy+ +（ lymz+ lzmy） yz+（ lzmx+ lxmz） xz 2.3.2 坐标变换对应的应力变换方程坐标变换对应的应力变换方程第二章第二章 应力与应变应力与应变坐标变换情况下应力分量的显式表达：坐标变换情况下应力分量的显式表达： m=mx2 x+ my2 y +mz2 z+2（mxmy xy+ mymz yz+ mxmz xz） mn=mxnx x+ myny y+ mznz z+（mxny+ mynx） xy+ +（ mynz+ mzny） yz+（ mznx+ mxnz） xz n=nx2 x+ ny2 y +nz2 z+2（nxny xy+ nynz yz

20、+ nxnz xz） ln=lxnx x+ lyny y+ lznz z+（lxny+ lynx） xy+ +（ lynz+ lzny） yz+（ lznx+ lxnz） xz 2.4 2.4 应力不变量应力不变量第二章第二章 应力与应变应力与应变 主平面：指剪应力分量为零的平面。主平面：指剪应力分量为零的平面。 主应力：作用在主平面上的正应力。主应力：作用在主平面上的正应力。 主应力轴方向：主平面的外法线方向。主应力轴方向：主平面的外法线方向。 对于任何一点的应力状态，都可以找到三对相互垂直对于任何一点的应力状态，都可以找到三对相互垂直的主应力轴，三个主应力：的主应力轴，三个主应力： 1（最

21、大主应力，（最大主应力，major principal stress） 2（中间主应力（中间主应力, intermediate principal stress ） 3（最小主应力（最小主应力, minor principal stress ） 按照代数值的大小排列为：按照代数值的大小排列为： 1 2 3 2.4 2.4 应力不变量应力不变量第二章第二章 应力与应变应力与应变设图设图2-4(2)切割面正是一个主平面：切割面正是一个主平面：牵引力牵引力 t=t= p；外法线（外法线（ x x， y y， z z）牵引力分量：牵引力分量：图图2-4(2) 确定应力变换方程、确定应力变换方程、主应力

22、及其方向的割离体图主应力及其方向的割离体图zyxpzyxttttPxabcoyz2.4 2.4 应力不变量应力不变量0pzyzxzyzpyxyxzxypx第二章第二章 应力与应变应力与应变三个联立齐次线性方程组：根据高等数学中有关线性组三个联立齐次线性方程组：根据高等数学中有关线性组的理论，该方程组有非零解的必要与充分条件是这个方的理论，该方程组有非零解的必要与充分条件是这个方程组的系数行列式程组的系数行列式 =0。2.4 2.4 应力不变量应力不变量032213IIIppp)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII第二章第二章 应力与

23、应变应力与应变2.4 2.4 应力不变量应力不变量2122212122212122211111/,/,/CBACCBABCBAACBAzyxyzxzyxyzyzyzxyzyzyzy第二章第二章 应力与应变应力与应变I1、I2、I3分别称为第一、第二、第三应力不变分别称为第一、第二、第三应力不变量，它们由下式定义：量，它们由下式定义：2.4 2.4 应力不变量应力不变量0212121zzyyxx主应力的方向余弦：主应力的方向余弦：第二章第二章 应力与应变应力与应变2.4 2.4 应力不变量应力不变量主应力轴之间正交：主应力轴之间正交： 检验正交性的条件是方向余弦矢量的三个点积的每一个检验正交性的

24、条件是方向余弦矢量的三个点积的每一个必须为零，即：必须为零，即：0323232zzyyxx0313131zzyyxx131,000000Immmmm2.4 2.4 应力不变量应力不变量球形（静水）分量与偏斜分量：mzyzxzyzmyxyxzxymxSmmmSSS321332312213211)2(31)2(31)2(31偏斜主应力：偏斜主应力：)()(271)()()(610321323222121zyzxyzyxxzxyJJJ2.4 2.4 应力不变量应力不变量应力偏量不变量：mmmSSS321332312213211)2(31)2(31)2(31)sin2-(21cos2sin2-)cos

25、2-(21-)(21sin2)cos2-(21)(21yxxylmxyyxyxmxyyxyxl：平面问题应力变换方程2.2.5 5 平面问题和双轴应力平面问题和双轴应力 平面应力问题平面应力问题 特点：特点：（1） z=0， zx=0， zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函数，不随的函数，不随z而变化。而变化。2.2.5 5 平面问题和双轴应力平面问题和双轴应力 平面应变问题平面应变问题 特点：特点：（1） z=0， zx=0， zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函数，不随的函数，不随z而变化。而变化。2.2.5 5 平面问题和双轴应力平面问题和双轴

26、应力xyxp2xy2,21-arctan2)21算公式：平面问题主应力方向计（算公式：平面问题主应力大小计yxyx2.2.5 5 平面问题和双轴应力平面问题和双轴应力34. 1234. 11)10(2)16(152)1615(22)(22222 , 1 xyyxyx例题例题2-2-3 3：知知矩形板边缘矩形板边缘上均布着给定的荷载。板厚上均布着给定的荷载。板厚50mm, 长长500mm, 长长400mm。第二章第二章 应力与应变应力与应变求：求：(3(3) ) 对于所示的对于所示的l, ml, m轴，确定应力分量。轴，确定应力分量。(4(4) ) 确定最大主应力值和最大主应力轴相对确定最大主应

27、力值和最大主应力轴相对x x轴的方向。轴的方向。(5(5) ) 对于对于GHGH面，其外法线对轴的倾角为面，其外法线对轴的倾角为 。确定作用在该面上。确定作用在该面上的的 x x、 y y、 xyxy和和 的函数表达式，并分别给出的函数表达式，并分别给出 =0=0 、6060 、9090 时的值。给出时的值。给出 =60=60 时的平面合应力。时的平面合应力。解解:（3）l轴的方向余弦： lx=cos30=0.866 ly=cos60=0.5 m轴的方向余弦： mx=cos120= 0.5 my=cos30=0.866 所以, l=lx2 x+ ly2 y +lz2 z+2（lxly xy+

28、lylz yz+ lxlz xz） =0.8662 15+ 0.52 （ 16）+2 0.866 0.5 （ 10） =11.24934 4 8.66 = 1.41（MPa）第二章第二章 应力与应变应力与应变 x= 15 MPa y= 16 MPa xy= 10 MPa解解:（3） m=mx2 x+my2 y +mz2 z+2（mxmy xy+ mymz yz+ mxmz xz） =（-0.5）2 15+ 0.8662 （-16）+2 （-0.5 ） 0.866 （-10） =3.75 11.9993+8.66 = 0.41（MPa） lm=lxmx x+ lymy y+ lzmz z+（ l

29、xmy+ lymx） xy+ +（ lymz+ lzmy） yz+（ lzmx+ lxmz） xz =0.866 (-0.5) 15+0.5 0.866 (-16)+0.866 0.866+0.5 (-0.5) (-10) =-6.495-6.928-4.99956= 18.42第二章第二章 应力与应变应力与应变解解:（4）最大主应力：）最大主应力：366. 0101534.11tan11xyx最大主应力方向最大主应力方向(相对相对x轴轴): 1=20.1)442.0,771.0,457.0(),()490.0,219.0,844.0(),()751.0,597.0,281.0(),(zyxz

30、yxzyxnnnmmmlll第二章第二章 应力与应变应力与应变解解:（5）当）当 =0时时: x x=1=1， y y=0=0， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y + + zxzx z z=15=15（MPaMPa） t ty y= = xyxy x x + + y y y y + + yzyz z z=-10=-10（MPaMPa） 当当 =60时时: x x=0.5=0.5， y y=0.866=0.866， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y=15=15 0.5 10 0.866= 1.16（MPaMPa） t t

31、y y= = xyxy x x + + y y y y=-10=-10 0.5 16 0.866=-18.856（MPaMPa） t=（ t tx x2 2+t+tx x2 2）1/21/2=18.89=18.89（MPaMPa）第二章第二章 应力与应变应力与应变解解:（5）当）当 =90时时: x x=0=0， y y=1=1， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y= = 1010（MPaMPa） t ty y= = xyxy x x + + y y y y=-16=-16（MPaMPa） 第二章第二章 应力与应变应力与应变作业1： 如图如图中所示的单位割离

32、体，在正六中所示的单位割离体，在正六面体的可见面上，作用有平行于给定面体的可见面上，作用有平行于给定参考轴方向的应力分量。参考轴方向的应力分量。（1）填写所需的应力分量使割离体填写所需的应力分量使割离体图形完整，确定图形完整，确定x x，y y，z z坐标系中的坐标系中的六个应力分量。六个应力分量。（2）l，m，n参照轴相对于参照轴相对于x x，y y，z z的的方向余弦由下式确定：方向余弦由下式确定：dzzudyyudxxududuuudzzudyyudxxududuuudzzudyyudxxududuuuzzzzzz*zyyyyyy*yxxxxxx*x，式中，式中，式中作业1：（续）（2

33、2）试写出）试写出 m m， nlnl相对于相对于x x，y y，z z的应力的应力分量和方向余弦的表达式，并计算它们分量和方向余弦的表达式，并计算它们各自的值。各自的值。（3）根据上面根据上面（1）中建立的应力分量，中建立的应力分量，计算应力不变量计算应力不变量I I1 1、I I2 2、I I3 3 ，写出应力，写出应力矩阵的特征方程。并求出各主应力值和矩阵的特征方程。并求出各主应力值和相对于相对于x x，y y，z z轴的方向角。轴的方向角。（4 4）证明主应力方向形成一组相互正交的）证明主应力方向形成一组相互正交的轴。轴。第二章前第二章前5节内容节内容基本概念基本概念基本原理基本原理基

34、本公式基本公式体力体力剪应力互等性剪应力互等性应力分量坐标变换应力分量坐标变换面力面力静力平衡静力平衡主应力不变量主应力不变量内力内力主应力方向主应力方向正应力正应力最大偏斜主应力最大偏斜主应力剪剪/切应力切应力平面主应力平面主应力正面正面平面主应力方向平面主应力方向负面负面主平面主平面主应力主应力静水静水/球形分量球形分量偏斜分量偏斜分量偏斜主应力偏斜主应力2.2.6 6 位移和应变位移和应变第二章第二章 应力与应变应力与应变2.2.6 6 位移和应变位移和应变第二章第二章 应力与应变应力与应变xxxxyyyyzzzzuuuxyzd ud xuuud ud yxyzd zd uuuuxyz2

35、.2.6 6 位移和应变位移和应变 d D d rxzyyzzzyxdudydzdudxdzdudxdy位移增量的矩阵表示：位移增量的矩阵表示：第二章第二章 应力与应变应力与应变相对位移的组成：相对位移的组成： 刚体旋转刚体旋转 + 单元变形单元变形2.2.6 6 位移和应变位移和应变（1）刚体旋转）刚体旋转 绕绕x轴发生刚体转动轴发生刚体转动 x，对对应的应的Q相对于相对于P的相对位移的相对位移分量为：分量为： duy= xdz； duz= xdy。第二章第二章 应力与应变应力与应变2.7 2.7 位移和应变位移和应变（1）刚体旋转）刚体旋转 x： duy= xdz；duz= xdy y：

36、duz= ydx；dux= ydz z： dux= zdy；duy= zdx000 xzyyzxyxzdudxdudydzdu 第二章第二章 应力与应变应力与应变2.7 2.7 位移和应变位移和应变（1）刚体旋转）刚体旋转000 xzyyzxyxzdudxdudydzdu ddr 22xy第二章第二章 应力与应变应力与应变2.7 2.7 位移和应变位移和应变（2）单元变形）单元变形（伸缩和畸变）（伸缩和畸变）NoImage第二章第二章 应力与应变应力与应变dxdudyduxyyxyx2121（2）单元变形）单元变形（伸缩）（伸缩） 假定假定dx长度的单元发生均匀长度的单元发生均匀拉伸（或压缩）

37、应变，因此，拉伸（或压缩）应变，因此，正应变分量用下式计算：正应变分量用下式计算： x=dux/dx 所以，由于正应变引起的相所以，由于正应变引起的相对位移分量为：对位移分量为：2.7 2.7 位移和应变位移和应变第二章第二章 应力与应变应力与应变2.2.6 6 位移和应变位移和应变（2）单元变形）单元变形（畸变）（畸变） 在在x、y平面内平面内，由于由于 角小，单角小，单元的纯剪应变导致的位移分量可元的纯剪应变导致的位移分量可表为：表为： dux= dy；duy= dx 由于剪应变大小由下式确定：由于剪应变大小由下式确定： 所以，所以， NoImagedydudzduyzzyzy2121dzdudxduxzxxzz2121第二章第二章 应力与应变应力与应变2.2.6 6 位移和应变位移和应变（2）单元变形）单元变形（畸变）（畸变） 在在y、z平面内平面内： 在在z、x平面内平面内：第二章第二章 应力与应变应力与应变112211221122xxxxyzxyxyyyyzzzxyzzzdudxdydzdudxdydzdudxdydz112211221122xxxyzxxyxyyyyzzzxyzzzd ud xd ud yd zd u 2.2.6 6 位移和应变位