二维随机向量的联合分布（精）

1、第三章 随机向量及其概率分布二维随机变量的联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性n维随机向量简介随机向量函数的分布二维随机变量及其分布定义3.1：设 是随机试验 E 的样本空间，X和Y是定义在 上的随机变量，由它们构成的二维向量X，Y称为 E 的一个二维随机变量。3.1 多维随机变量及其分布定义3.2：设X，Y是二维随机变量，对一切(x,y)，称二元函数 为X，Y的联合分布函数，或称为X,Y的分布函数。联合分布函数的性质：（1）（2） 对 x、y 分别是单调不减的。（4）对任意的点（3） 关于 x 右连续，关于 y 右连续性质 4 正是一维随机变量与二维随机变量的不同之处。也就是说，一个函数

2、 仅满足了前三条性质，仍未必是二维随机变量的分布函数。就是不满足性质（ 4 ）。例如：定义3.3：如果，二维随机向量X，Y的一切可取值为有限多对，或可列多对，那么称X，Y为二维离散型随机向量。定义3.4：设二维离散型随机向量（X，Y）所有可能取得值为（xi ，yj），i，j1，2，则称：、二维离散型随机向量为X，Y的联合分布律，或称为X，Y的分布律。X，Y的分布律也可以用如下的表格表示：YX例1二维01分布设一个袋中有2个黑球，3个白球，从中任取2个球，X 表示第一次取出的白球个数，Y 表示第二次取出的白球个数，分别求出1有放回抽取，2不放回抽取时,X，Y的联合分布律。解：直接用表格表示为：（

3、1）YX（2）YX例2、抛一枚硬币3次，令X表示头两次出现正面的次数，Y表示3次总共出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布律。例3、把5个球任意的放到3个盒子中，令X表示落在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个盒子中球的个数，求(X,Y)的联合分布律。解： X,Y=i , j 其中i , j= 0,1,5；i+j5分布律的性质：（1）（2）3.1.3 二维连续型随机向量定义3.5：设 是二维随机向量（X，Y）的分布函数，若存在着非负可积函数 ，使对一切的 有那么称X，Y是二维连续型随机向量，函数 称为二维连续型随机向量X，Y的联合概率密度函数。密度函数 有如下性质：123假设 在点 处连续，那么

4、有：（4）设 G 是 xy 平面上的一个区域,向量落在G内的概率为：其中1，2为联合密度函数的根本性质。例2、设二维随机向量X，Y具有概率密度求：1常数A2分布函数 3概率二维均匀分布： 设G是xy平面上的区域，S是G的面积，假设二维随机向量X，Y具有概率密度那么称X，Y在G上服从均匀分布。 假设区域 是G内的面积为 的子区域，那么有二维正态分布：设对给定的常数定义函数：可以证明 是一个概率密度函数。3.2 边缘分布3.2.1 边缘分布函数定义：设 是（X，Y）的联合分布函数，称 分别为（X,Y）关于X，Y的边缘分布函数。定理：3.2.2. 边缘分布律命题：设（X,Y）是二维离散型随机向量，其

5、联合分布律为：例1：在3-1例1中，分别求出X，Y关于 X 和 Y的边缘分布。 (1) 有放回抽取时：YXpjpi（2）不放回抽取时：YXpjpi例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为 p，令 X 表示首次击中目标所需的射击次数，Y 表示第二次击中目标所需的射击次数，求X，Y的联合分布律和边缘分布律。显然，（X，Y）可能取的一切值为设每次击中目标记为事件 A，由于射击是独立的，所以第 i 个第 j 个（令 ）我们再求其边缘分布律：3.2.3 边缘概率密度函数由式书上及定义3.4知：而由分布函数的定义知：例2：在 0 , 1 区间上任意取两点，令 X 和 Y 分别表示这两点的坐标设 X

6、Y，求X，Y的联合概率密度及X，Y关于X和Y 的边缘概率密度。 所以：解：由题意可知， 其面积为 S，则 另一方面，X、Y 是任取得两点，所以（X，Y）在 G 上服从二维均匀分布 ，故其联合概率密度为 Go11 yx那么，边缘密度为：定义：设 X、Y 是两个随机变量，若有 ， 对任意的 ，称为在 Xx 下，Y 的条件分布函数，记为：，同样可以定义：（3.3.1）3.3.1 条件分布函数3.3 条件分布但当 X 是连续型随机变量时，由于 式(3.3.1)无意义，因此，在一般情况下，若下列极限存在，则称此极限为在 Xx 下，Y 的条件分布函数，记为 。同理可定义 。3.3.2 离散型随机变量的条件

7、分布律设（X，Y）的联合分布律为其边缘分布律为 pi 和 p j ，称为在 条件下随机变量 X 的条件分布律。并称为在 条件下随机变量 Y 的条件分布律。求条件分布律P(Y=j |X=1)书上例例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为 p，令 X 表示首次击中目标所需的射击次数，Y 表示第二次击中目标所需的射击次数，求X，Y的条件分布律。解：由前面的解题过程可知，联合分布律为：（令 ）其边缘分布律：由条件分布律的定义得：3.3.3 连续型随机变量的条件密度设（X，Y）是二维连续型随机变量，其联合分布密度为 ，边缘概率密度分别为 、 ，若对固定的 , , 则在条件 Yy 下的随机变量 X

8、 的分布函数为：同理可得：而：由上可知：例2、设二维随机变量（X，Y）在区域 上服从均匀分布，求条件概率密度 。解：因为X，Y服从均匀分布，且圆面积为。所以，联合概率密度为：边缘密度函数为：所以，当 时，条件密度函数为：例3、设（X，Y）的联合密度为求：解：即从而所以定义3.7：设 及 分别是二维随机变量（X，Y）的联合分布和边缘分布函数，若对一切的 ，有 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。3.4 随机变量的独立性例1、一电子仪器由两部分构成，以 X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知 X 和 Y 的联合分布函数为（1）问 X 和 Y 是否独立；（2）求两部件的寿命都超过1

9、00小时的概率。由知，X 与 Y 相互独立。（2）解（1）两个随机变量相互独立的判定定理：定理3.2：设（X，Y）是二维离散型随机变量，则：例1、盒中有2个黑球，3个白球，从中分不放回和有放回两种方式抽取2个球，令X表示第一次取到的白球个数，Y表示第二次取到的白球个数，判断X，Y的独立性。 (1) 有放回抽取时：YXpjpi（2）不放回抽取时：YXpjpi定理3.3：设（X，Y）是二维连续型随机变量，则：例2、设X，Y服从二维正态分布 讨论X，Y的独立性。3.5 n维随机向量简介一、 n维联合分布定义1 设(X1, Xn)为n维随机向量，对任意的n个实数x1, x2, xn，称n元函数为n维随

10、机变量(X1, Xn)的联合分布函数。定义2 如果(X1,Xn)只取有限多组或可列无穷多组数值，那么称(X1,Xn)为n维离散型随机变量，称为(X1,Xn)的联合分布律。联合分布律具有如下性质：12定义3 如果存在非负可积函数 f(x1,xn) , 使 得 (X1,Xn) 的 分 布 函 数对一切实数 x1,xn成立,则称(X1,Xn)为n维连续型变量。称f(x1,xn)为(X1,Xn)的联合概率密度。3对n维连续型变量(X1,Xn)，落在n维空间某区域G内的概率为二、 k维边缘分布及条件分布定义4 称(X1,Xn)中任意k个分量所构成的k维随机向量的分布为(X1,Xn)的k维边缘分布。例如，

11、称 (X1,X2,X3)的分布函数为(X1,Xn)关于(X1,X2,X3)的三维边缘分布函数.三、 n维随机向量的独立性1. 定义5 设(X1,Xn)的分布函数为F(x1, xn),一维边缘分布函数为 FXi(xi)(i=1,2,n),若对所有实数x1,xn, 有 则称X1,Xn相互独立。2. 性质：1假设n个随机变量X1,Xn相互独立，那么其中任意k( )个随机变量 也相互独立。23.6 随机向量函数的分布问题： Z = g(X,Y) 以及 (X,Y) 的联合分布，如何求出Z的分布？1、 (X,Y)为二维离散型随机向量 设X，Y是二维离散型随机向量，其联合分布律为 求 的分布律，根据离散型随

12、机变量分布律的定义，首先找出 可能取的一切值，假设Z可能取的一切值为 ，那么2、 二维连续型随机变量的函数的分布思路：设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y),显然Z是一维随机变量，其分布函数为如果设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),那么利用Z的分布函数与Z概率密度之间的关系，可以最终求出Z=g(X,Y)的概率密度。例2、设(X,Y)的联合概率密度函数为 求 的概率密度。 设 是 的分布函数，记区域： 根据连续型随机变量在平面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率密度在这个区域上的二重积分。有xyoGG*uyz此时的积分区域就是右图的G*交换积分次序有两边对 z 求导得显然，由对称性也可写成特别，若X、Y 相互独立，其概率密度分别为，所以有卷积公式例3、设 X、Y 是两个相互独立同服从标准正态分布的随机变量，求 的概率密度函数。解：X、Y 的密度为由卷积公式得：由 的密度可见，更一般的结论，见教材P109 。定义：X ，即X的概率密度函数为例5、X，Y的联合概率密度为求Z=Y-2X的密度。例6、设X,Y是相互独立的随机变量，X服从均匀分布U(0,2), Y服从均匀分布U(0,1), 求Z=XY的密度函数。例7、设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度为求 的密度。例8、设 X1,X2,Xn 相互独立,分布