工程地震与结构抗震(06)-场地影响2

1、1一维土层地震反应一维土层地震反应2关于波动我们了解什么？关于波动我们了解什么？ 水波，纵波，横波水波，纵波，横波 剪切波、剪切波、 波速、波速、 正弦波正弦波 振动（振动（Vibration）和波动（）和波动（Wave）什么是振动？什么是振动？ 质点在平衡位置附近作往复运动。质点在平衡位置附近作往复运动。什么是波动？什么是波动？ 质点振动在介质中的传播。质点振动在介质中的传播。3基本概念基本概念41. 频域分析频域分析 频域分析包括频谱分析和综合，是研究频域分析包括频谱分析和综合，是研究工程中大量工程中大量线性波动问题线性波动问题最基本和最重要的最基本和最重要的方法。频域分析建立在方法。频域

2、分析建立在简谐波简谐波概念的基础之概念的基础之上，下面先讨论这一概念，然后讨论频域分上，下面先讨论这一概念，然后讨论频域分析的基本数学物理知识。析的基本数学物理知识。5 简谐波简谐波 简谐波是一种理想化的行波，就一维波动而言，简谐波是一种理想化的行波，就一维波动而言，它的波形随空间坐标成简谐变化，同时在空间给定点它的波形随空间坐标成简谐变化，同时在空间给定点随时间的振动也具有简谐形式。简谐波由下列表达式随时间的振动也具有简谐形式。简谐波由下列表达式定义定义cxtiUuexp复数通常只在数学运算过程中出现，虚数部分复数通常只在数学运算过程中出现，虚数部分则在从频域返回时域时自行消去。则在从频域返

3、回时域时自行消去。 6描述振动的主要参数描述振动的主要参数： 振幅振幅 频率频率 初始相位初始相位)()(tsinUtu7简谐波用简谐波用两个独立的两个独立的运动学参数描述。例如，用运动学参数描述。例如，用表示质点振动特征的圆频率表示质点振动特征的圆频率和描述波和描述波传播特征传播特征的波的波速速c c。描述描述振动特征振动特征的另外两个常用的参数是质点振的另外两个常用的参数是质点振动周期动周期T和频率和频率f 。描述简谐波描述简谐波传播特征传播特征的另外两个的另外两个常用的参数是波长常用的参数是波长和波数和波数 kf2Tf1cT2k8 描述振动与波动的参数：描述振动与波动的参数：93. 频域

4、分析的基本知识频域分析的基本知识 频域分析的数学基础是频域分析的数学基础是傅立叶变换傅立叶变换，依据，依据这一变换，这一变换，暂态波动暂态波动可以表示成简谐波的叠加。可以表示成简谐波的叠加。频域分析包含频域分析包含谐波分析谐波分析和和谐波综合谐波综合两项内容。谐两项内容。谐波分析是依据力学模型研究简谐波的频率和波数波分析是依据力学模型研究简谐波的频率和波数的关系，及对简谐波振幅的分析。谐波综合是一的关系，及对简谐波振幅的分析。谐波综合是一个计算方法问题。个计算方法问题。10一维标准波动方程一维标准波动方程 22222xuctuctxgctxftxu,上式的一般解可以用初等方法求出上式的一般解可

5、以用初等方法求出 f 和和 g 是两个任意函数是两个任意函数 ，文献中称上式为波动方程，文献中称上式为波动方程的达朗贝尔的达朗贝尔(DAlembert)解。函数和的特定形式需解。函数和的特定形式需要由边界条件和初始条件确定要由边界条件和初始条件确定 。 11直接对上式做傅立叶变换，并定义直接对上式做傅立叶变换，并定义 dtetgEdtetfFdtetxuxUtititi2121,21,则利用傅立叶变换的则利用傅立叶变换的延迟性质延迟性质得到得到（作业：推导）（作业：推导） xikFxikxExUexpexp,ckdexUuti,124. 波的反射与透射波的反射与透射 波阻抗波阻抗 波动传播的物

6、理量既可以是运动学参数，波动传播的物理量既可以是运动学参数，如位移、速度和加速度，也可以是其他物如位移、速度和加速度，也可以是其他物理量，如应力、能量等。理量，如应力、能量等。sc介质的密度和波速的乘积称为波阻抗介质的密度和波速的乘积称为波阻抗 13波的反射与透射波的反射与透射 与界面性质有关与界面性质有关 1 ) 刚性边界刚性边界 2 )自由边界自由边界 3 ) 一般边界一般边界14上行平面波遇到刚性界面，刚性边界条上行平面波遇到刚性界面，刚性边界条件是什么？件是什么？15上行平面波遇到刚性界面，刚性边界条上行平面波遇到刚性界面，刚性边界条件：位移为件：位移为0 0。16用垂直于波阵面（平面

7、）的波矢来表示用垂直于波阵面（平面）的波矢来表示平面波。平面波。17X刚性边界刚性边界上行入射波上行入射波18X刚性边界刚性边界上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波19X刚性边界刚性边界上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF20刚性边界刚性边界X上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF在边界上（在边界上（x x0 0处），处），E EI IF FI I0,0, 即振幅相同，符号相反即振幅相同，符号相反IIEF21 自由边界的边界条件应如何表示？自由边界的边界条件应如何表示？ 表面的应力

8、为表面的应力为0 0！X上行入射波上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF自由边界自由边界22在边界在边界x0处，处，上行入射波的应力：上行入射波的应力：)cos( tGEkxfGIII 0FI下行入射波的应力：下行入射波的应力：)cos( tGFkxfGIIF由由 得到得到IIEF 自由表面的振幅为入射波的两倍自由表面的振幅为入射波的两倍23对于对于固定边界固定边界，入射波与反射波的，入射波与反射波的合成位移在边界处为零，因此，反合成位移在边界处为零，因此，反射波位移应当与入射波位移大小相射波位移应当与入射波位移大小相同，符号相反，而反射的应力波与同

9、，符号相反，而反射的应力波与入射入射应力波应力波互成互成镜面映象镜面映象。因此，。因此，两个波叠加的结果使固定边界处的两个波叠加的结果使固定边界处的应力较入射波应力大一倍应力较入射波应力大一倍(图图2(a)。对于对于自由边界自由边界，情形恰恰相反，满，情形恰恰相反，满足应力为零的自由边界条件足应力为零的自由边界条件,相应相应位位移波形移波形则互为则互为镜面映象镜面映象。因此，自。因此，自由边界处的位移较入射波的位移大由边界处的位移较入射波的位移大一倍一倍(图图2(b)。 在分界面上的反射与透射在分界面上的反射与透射(1) 自由端与固定端的反射自由端与固定端的反射24X一般边界一般边界上行入射波

10、上行入射波下行反射波下行反射波)sin(xktEfIII)sin(xktFfIIF上行透射波上行透射波)sin(xktEfTTT一般边界情形一般边界情形25 有两个未知数，反射波和透射波的振有两个未知数，反射波和透射波的振幅，需要两个边界条件来定：位移和应力幅，需要两个边界条件来定：位移和应力连续！连续！ 注意！注意！上下介质不同，因此刚度上下介质不同，因此刚度G G和和密度不同，因而波速也不同。密度不同，因而波速也不同。26在边界在边界x0处，处，位移连续：位移连续：TIIEFE 应力连续：应力连续：TTTIIIEkGFEGk)(由由TTTIIIIEvFEv)(vk/2Gv 27联立解得：联

11、立解得：ITEE12 IIEF11下下上上vvvvIITT波阻抗波阻抗28物理意义物理意义 当波传到两个介质界面上，一部当波传到两个介质界面上，一部分反射，一部分透射，反射和透射波振分反射，一部分透射，反射和透射波振幅大小与两介质波阻抗有关，波阻抗越幅大小与两介质波阻抗有关，波阻抗越大，反射越多，透射越少。大，反射越多，透射越少。 29 上下介质相同上下介质相同 则：则：FI 0， ET EI 刚性边界刚性边界则：则：FI EI1自由边界自由边界则：则：FI EI030山顶山顶陡壁或挖方陡壁或挖方填方或盆地填方或盆地沉积土层沉积土层倾斜基岩面或断层倾斜基岩面或断层31波在土层中的传播波在土层中

12、的传播 1 )1 )单复盖层单复盖层32HN土土岩岩石石XXNNC,11,NNC波在土层中的传播波在土层中的传播 1 )1 )单复盖层单复盖层33土土岩石岩石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX34土土岩石岩石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX35土土岩石岩石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX)sin(xktFNN36土土岩石岩石)sin(xktENN)sin(11xktFNN)sin(11xktENNX)sin(xktFNN37 一种求解思路是跟踪波的行进过程，每次碰到

13、一种求解思路是跟踪波的行进过程，每次碰到边界，就计算一次反射和折射，直到无穷多次，幸边界，就计算一次反射和折射，直到无穷多次，幸好，得到一个无穷级数是收敛的，可以得到级数和好，得到一个无穷级数是收敛的，可以得到级数和的解。的解。 另一种求解思路是利用上行波和下行波在边界另一种求解思路是利用上行波和下行波在边界上上位移和应力连续条件位移和应力连续条件，得到上下介质，得到上下介质波幅之间的波幅之间的关系关系，可直接求解。，可直接求解。 为求解方便，改用复数表示为求解方便，改用复数表示38土土岩石岩石XikNNeEXxikNNeFXikNNeE11xikNNeF11HN 为求解方便，改用复数表示为求

14、解方便，改用复数表示39 在土和岩石界面上（埋伏基岩面），有在土和岩石界面上（埋伏基岩面），有4 4个振幅个振幅，只有只有两个边界条件两个边界条件，所以只能得到两个振幅与另两个，所以只能得到两个振幅与另两个振幅之间的表示关系，合理的选择是土中两个与岩石振幅之间的表示关系，合理的选择是土中两个与岩石中两个之间的转换关系。中两个之间的转换关系。 注意注意坐标系坐标系的取法，没有用一个统一的坐标系，的取法，没有用一个统一的坐标系，而是每层有自己的坐标系，原点在上界面，这是为了而是每层有自己的坐标系，原点在上界面，这是为了推导多层介质公式方便，用一个坐标系的结果一样。推导多层介质公式方便，用一个坐标系

15、的结果一样。40 这样，对土层来说，在岩石界面上，上下行波相这样，对土层来说，在岩石界面上，上下行波相对于自由表面（坐标系原点）都传播了距离对于自由表面（坐标系原点）都传播了距离H H，表达式，表达式为：为：上行波：上行波：下行波：下行波：NNHikNeENNHikNeF对岩石，在界面上，上下行波的表达式中的对岩石，在界面上，上下行波的表达式中的x x0 0。41在基岩界面上位移连续在基岩界面上位移连续11NNHikNHikNFEeFeENNNN在基岩界面上应力连续在基岩界面上应力连续)()(1111NNNNHikNHikNNNFECieFeECiNNNN42 解联立方程，得到用解联立方程，得

16、到用EN FN表示表示EN+1 FN+1的转换关系，写成的转换关系，写成矩阵形式，引入土与岩石的波矩阵形式，引入土与岩石的波阻抗比：阻抗比：11NNNNNCC43NNHikNHikNHikNHikNNNFEeeeeFENNNNNNNN2121212111或写成：或写成：NNNNNFETFE11TN 称为称为层间转换矩阵层间转换矩阵44 我们的任务是用我们的任务是用EN来求其他来求其他三个波的振幅，需要三个波的振幅，需要补充一个补充一个边界条件边界条件，那就是自由表面应，那就是自由表面应力为力为0的条件，由前面已知，这的条件，由前面已知，这意味着意味着NNFE45NNHikNHikNHikNHi

17、kNNNEEeeeeFENNNNNNNN2121212111NHikNNHikNNEeEeENNNN2121146NNNNHikNHikNNNeeEE21211/1我们感兴趣的是自由表面振幅我们感兴趣的是自由表面振幅与基岩振幅之比，那是与基岩振幅之比，那是放大倍放大倍数！数！ 正是我们想知道的土层对正是我们想知道的土层对地震动的放大影响。地震动的放大影响。47NNNNHikNHikNee212112地表放大倍数改写是它的模（绝对放大倍数改写是它的模（绝对值），地表振幅是值），地表振幅是EN的的2倍，倍，所以地表振幅的放大倍数为：所以地表振幅的放大倍数为：48)/(sin)/(cos2222NN

18、NNNCHCH地表进一步求得进一步求得其中其中HN 是土层厚度，是土层厚度， CN是土是土层波速，还有一个波阻抗比。层波速，还有一个波阻抗比。49)/(sin)/(cos2222NNNNNCHCH地表最大值是最大值是sin取取1，cos为为0，则，则)/4()2/()/(1)/(sin2NNNNNNCHnTnCHCH此时放大倍数为此时放大倍数为N/250做出图像：做出图像：T24H/c3(4H/c)5(4H/c)地表N/251物理意义丰富：物理意义丰富：1 ) 土层有选择地放大基岩地震土层有选择地放大基岩地震 动，好似滤波放大器。动，好似滤波放大器。2 ) 最大放大倍数对应的周期叫最大放大倍数

19、对应的周期叫 卓越周期卓越周期，它与土层厚度成，它与土层厚度成 正比，与波速成反比。正比，与波速成反比。52h1，Vs1，1h2，Vs2，2h3，Vs3，3h4，Vs4，4h5，Vs5，5 Vs6，6地表地表假想假想基岩面基岩面Sa(t)t0人造地震波 对于局部场地条对于局部场地条件较为均匀简单的情件较为均匀简单的情况，场地介质模型可况，场地介质模型可简化为水平成层模型。简化为水平成层模型。由于模型参数与地震由于模型参数与地震反应参数的空间变化反应参数的空间变化仅取决于一个沿深度仅取决于一个沿深度的坐标，故称其为一的坐标，故称其为一维问题。维问题。土层一维地震反应分析方法土层一维地震反应分析方

20、法53土层一维地震反应分析方法土层一维地震反应分析方法设基岩半空间的位移入射地震波为设基岩半空间的位移入射地震波为的振幅分别为上行波和下行波和其中nFnE第第n层土体地震波位移的频域一般解可以表示成层土体地震波位移的频域一般解可以表示成 )exp()exp()(zikFzikEzUnnnnn)zikexp(E)z(UNNN5455 56美国规范美国规范5758 土层反应分析的等效线性化方法 591 1、土的非线性特性、土的非线性特性 本构关系本构关系 介质（材介质（材料）受力后变形，变形随受料）受力后变形，变形随受力变化的关系。力变化的关系。 力学语言：应力应变力学语言：应力应变关系。关系。6

21、01 1、土的非线性特性、土的非线性特性 滞回曲线滞回曲线 土一类的介质土一类的介质（材料）变形时应变随应力变化（材料）变形时应变随应力变化不成正比（线性）关系。不成正比（线性）关系。在应力应变变化曲线上呈复杂在应力应变变化曲线上呈复杂的曲线，并包容一定的面积。的曲线，并包容一定的面积。6162小应变近似线性小应变近似线性631 1、土的非线性特性、土的非线性特性 刚度（滞回曲线的斜率）随刚度（滞回曲线的斜率）随应变变化，比例不是常数。应变变化，比例不是常数。 与应变历史有关。与应变历史有关。 离散性也很大。离散性也很大。 小应变下近似线性关系。小应变下近似线性关系。64MAXGG/1.00.

22、01%土的剪切刚度和阻尼比随应变的变化土的剪切刚度和阻尼比随应变的变化曲线示意图曲线示意图652 2、土的非线性处理方法、土的非线性处理方法 2 21 1 直接积分法直接积分法 在知道应力应变关系在知道应力应变关系（滞回曲线）时，可以严格按（滞回曲线）时，可以严格按照实际本构关系去计算，每一照实际本构关系去计算，每一小段计算时刻，刚度、阻尼在小段计算时刻，刚度、阻尼在变化。实际上都用近似模型。变化。实际上都用近似模型。662 2、土的非线性处理方法、土的非线性处理方法 2 22 2等效线性化分法等效线性化分法 通过一定的原则或要求，选通过一定的原则或要求，选择一个平均意义上的线性关系，择一个平

23、均意义上的线性关系，实际计算时，对同一土层，就实际计算时，对同一土层，就用一个刚度和阻尼，那么线性用一个刚度和阻尼，那么线性叠加原理成立，付氏分析可用。叠加原理成立，付氏分析可用。67选择等效滞回曲线的过程是通选择等效滞回曲线的过程是通过迭代来完成的。过迭代来完成的。首先，通过首先，通过动三轴或共振柱动三轴或共振柱等等实验设备，对土样作室内实验，实验设备，对土样作室内实验，测定土的剪切刚度和阻尼随应测定土的剪切刚度和阻尼随应变的变化关系。变的变化关系。68MAXGG/1.00.01%土的剪切刚度和阻尼比随应变的变化土的剪切刚度和阻尼比随应变的变化曲线示意图曲线示意图69其次，选择一个初始的刚度

24、和阻尼其次，选择一个初始的刚度和阻尼比进行计算，得到每层反应，计算比进行计算，得到每层反应，计算反应中最大剪切应变，按经验取最反应中最大剪切应变，按经验取最大剪切应变的大剪切应变的0.650.65作为等效剪应变，作为等效剪应变，在实验曲线上查得新的刚度和阻尼在实验曲线上查得新的刚度和阻尼比，如果新的值与原来计算用值小比，如果新的值与原来计算用值小于给定小值（于给定小值（5%5%），则迭代结束，），则迭代结束，否则用新的值继续计算，直到满足否则用新的值继续计算，直到满足为止为止. .70MAXGG/1.00.01%1271迭代收敛在非线性问题的等效线迭代收敛在非线性问题的等效线性化处理中常用，并

25、不严格，但性化处理中常用，并不严格，但很实用。关键看结果是否能在合很实用。关键看结果是否能在合理的范围内接受。虽然对等效线理的范围内接受。虽然对等效线性化方法提出一些问题，但现在性化方法提出一些问题，但现在还在使用，原因之一是简单方便，还在使用，原因之一是简单方便，得到的结果可以接受。得到的结果可以接受。72非线性的影响：非线性的影响：1 ) 1 ) 因为大应变下刚度减少，因为大应变下刚度减少， 土变软，所以放大倍数增土变软，所以放大倍数增 加。加。73非线性的影响：非线性的影响：1 ) 1 ) 因为大应变下刚度减少，土因为大应变下刚度减少，土 变软，所以放大倍数增加。变软，所以放大倍数增加。2 ) 2 ) 由于阻尼比增大，消耗能由于阻尼比增大，消耗能 量，所以放大倍数减小。量，所以放大倍数减小。3 ) 3 ) 卓越周期向长周期移动。卓越周期向长周期移动。743 ) 3 ) 基岩输入地震动时程。（人基岩输入地震动时程。（人 造地震动时程，实际纪录调整造地震动时程，实际纪录调整 等）等） 注意利用基岩表面