物理有限元基本原理学习教案

1、会计学1物理物理(wl)有限元基本原理有限元基本原理第一页，共130页。21.1 有限单元有限单元(dnyun)法的概念法的概念1.2 有限单元有限单元(dnyun)法基本步骤法基本步骤第1页/共130页第二页，共130页。31.1 有限单元有限单元(dnyun)法的概念法的概念基本思想基本思想:借助于数学和力学知识借助于数学和力学知识(zh shi)，利，利用计算机技术而解决工程技术问题。用计算机技术而解决工程技术问题。Finite Element Method -_FEMFinite Element Analysis 第2页/共130页第三页，共130页。4三大类型三大类型(按其推导方法分

2、按其推导方法分):(1) 直接刚度法直接刚度法(简称直接法简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。元性质方程。 (2) 变分法变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种(y zhn)计算方法。计算方法。 (3) 加权余量法加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种(y zhn)近似解法。近似解法。 第3页/共130页第四页，共130页

3、。51.2 有限单元有限单元(dnyun)法基本步骤法基本步骤(1) 待求解域离散化待求解域离散化(2) 选择插值函数选择插值函数(3) 形成单元性质的矩阵方程形成单元性质的矩阵方程(4) 形成整体系统的矩阵方程形成整体系统的矩阵方程(5) 约束处理，求解系统方程约束处理，求解系统方程(6) 其它参数其它参数(cnsh)计算计算第4页/共130页第五页，共130页。6图1-2 工程问题有限(yuxin)单元法分析流程 第5页/共130页第六页，共130页。72.1 结构结构(jigu)几何构造的必要性几何构造的必要性 2.2 结构结构(jigu)计算基本知识计算基本知识2.3 结构几何构造分析

4、的自由度与约束结构几何构造分析的自由度与约束2.4 自由度计算公式自由度计算公式 第6页/共130页第七页，共130页。82.1 结构几何结构几何(j h)构造的必要性构造的必要性 结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造可变结构不能

5、承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析分析(fnx)也是能够对工程结构作有限单元法分析也是能够对工程结构作有限单元法分析(fnx)的必要条件。的必要条件。 第7页/共130页第八页，共130页。9 (a) 结构(jigu)本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构(jigu) 第8页/共130页第九页，共130页。102.2 结构结构(jigu)计算基本知识计算基本知识2.2.1 结构结构(jigu)计算计算简图简图 实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化

6、，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。结构计算所常用的结点和支座的简化形式: （1）结点： 铰结点； 刚结点； 混合结点。 （2）支座： 活动(hu dng)铰支座； 固定铰支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第9页/共130页第十页，共130页。112.2.2 结构结构(jigu)的分类与基本特的分类与基本特征征 (1) 按结构在空间的位置分(2) 结构可分为平面结构和空间结构两大类(3) (2) 按结构元件的几何特征分(4) 杆系结构：(5) 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。(6) 板壳

7、结构(7) 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很(8) 大，具有(jyu)同一量级。 (9) 混合结构 第10页/共130页第十一页，共130页。12(3) 按结构自由度分 静定结构自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡(pnghng)方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡(pnghng)时，则其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡(

8、pnghng)力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。 第11页/共130页第十二页，共130页。13 超静定结构自由度大于零的几何不变结构。其特性： a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。 b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和截面尺寸有关。 c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会

9、受到多余(duy)约束的限制，结构内必将产生内力。 d. 超静定结构中的多余(duy)约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构遭受破坏。 e. 超静定结构由于具有多余(duy)的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。 第12页/共130页第十三页，共130页。14(1) 具有奇数(j sh)跨的刚架 正对称载荷作用 2.2.3 结构对称结构对称(duchn)性的利用性的利用 对称对称(duchn)结构在正对称结构在正对称(duchn)载荷下，对称载荷下，对称(duchn)轴截面上只能产生

10、正对称轴截面上只能产生正对称(duchn)的位移，反对称的位移，反对称(duchn)的位移为零；对称的位移为零；对称(duchn)结构在反对称结构在反对称(duchn)载荷下，对称载荷下，对称(duchn)轴截面上只有反对称轴截面上只有反对称(duchn)的位移，正对称的位移，正对称(duchn)的位移为零。的位移为零。 (a) 对称刚架 （b) 变形状态分析 (c) 对称性利用 图2-22对称性利用示意图 第13页/共130页第十四页，共130页。15 对称刚架承受反对称载荷(zi h)作用 (a) 对称刚架 (b) 变形状态分析 (c) 反对称性利用 图2-23 反对称性利用示意图 第14

11、页/共130页第十五页，共130页。16 (a) 变形状态分析 (b) 对称性利用 图2-24对称性利用示意图(2) 具有偶数跨的刚架 正对称载荷(zi h)作用 第15页/共130页第十六页，共130页。17 反对称载荷(zi h)作用 (b) 反对称性状态分析 (a) 变形状态分析 (c) 反对称性受力分析 (d) 反对称性利用 图2-25对称性利用示意图第16页/共130页第十七页，共130页。18 2.3 结构几何结构几何(j h)构造分析的自由度与约束构造分析的自由度与约束 (1) 自由度指结构在所在空间(kngjin)运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需

12、的独立参数的数目。(2) 约束 指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动的装置。 a. 支座链杆的约束 b. 铰的约束: 单铰； 复铰； 完全铰与不完全铰。第17页/共130页第十八页，共130页。19(1)桁架(hngji)自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能： a. W0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何(j h)可变体系。 b. W=0 表明结构具有保证几何(j h)不变所需的最少的约束数。 c. W0 表明结构具有多余约束。 2.4 自由度计算公式自由度计算公式zgjW 2zgjW 3平面桁架 空间桁架 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支

13、座链杆数为z，则桁架的自由度W 为(2) 平面混合结构的自由度计算公式平面混合结构的自由度计算公式第18页/共130页第十九页，共130页。20 3.1 结构结构(jigu)离散与向量表示离散与向量表示 第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限单静力分析的有限单元法元法3.2 位移函数及单元位移函数及单元(dnyun)的刚度矩阵的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解约束处理及求解 3.6 计算示例计算示例 第19页/共130页第二十页，共130页。213.1 结构离散结构离散(lsn)与向量表示

14、与向量表示 工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以(ky)归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。 杆系结构可以(ky)由杆单元、梁单元组成。 (a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机(c) 钢结构桥梁(qioling) (d) 埃菲尔铁塔 图3-1 杆系结构第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第20页/共130页第二十一页，共130页。223.1.1 结构结构(jigu)离散化离散化 由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故

15、离散化比较简单，一般将杆件或者(huzh)杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下： a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。 b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。 第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限单静力分析的有限单元法元法第21页/共130页第二十二页，共130页。23 c. 变截面杆件可分段处理(chl)成多个单元，取各段中点处的截面近似作为

16、该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。 d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章第三章 杆系结构静力分析的有限杆系结构静力分析的有限(yuxin)单单元法元法(a) 结点载荷(zi h)处理方式 (b) 等效结点载荷(zi h)处理方式图3-2杆系结构离散化示意图 第22页/共130页第二十三页，共130页。243.1.2 坐标系坐标系 图3-3 坐标系示意图 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个

17、单元都适用(shyng)的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限杆系结构静力分析的有限(yuxin)(yuxin)单元法单元法第23页/共130页第二十四页，共130页。253.1.3 向量向量(xingling)表示表示 在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则(fz)定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。 (a)刚架结构示意图 (b) 结点位移(wiy)和结点力分向量(b) 图3-4 平面刚架分析示意图 第三章第

18、三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第24页/共130页第二十五页，共130页。26 Tiiiivu Tjjjjvu结点位移(wiy)列向量为 单元(dnyun)e结点位移列向量为 Tjjjiiijieuu 结点(ji din)力向量为 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF 单元e结点力列向量为 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第25页/共130页第二十六页，共130页。273.2 位移函数位移函数(hnsh)及单元的刚度矩阵及单元的刚度矩阵 3.2.1 轴向拉压杆单元的位移轴

19、向拉压杆单元的位移(wiy)的函的函数数 有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足(mnz)下列要求: a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第26页/共130页第二十七页，共130页。28 由单元结点位移，确定待定系数项 当

20、时， 当 时， 所以 用结点位移表示 其中 、 分别表示当 ， 时； ， 时的单元内的轴向位移状态(zhungti)，故称为轴向位移形函数。0 xlx iuu juu iu1jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限单元的有限单元法法 b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续(linx)，以及相邻单元之间的位移协调性。 第27页/共130页第二十八页，共130页。29 3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 梁

21、单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量 ， ， ， ，由材料力学知，由材料力学知,各截面的转角各截面的转角: 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数包含四个待定系数(xsh) ， ， ， 的多项的多项式式 单元结点位移条件单元结点位移条件 当当 时时 ， 当当 时时 ，iijjxv1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv234232112213第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限单的有限单元法元法第28页/共13

22、0页第二十九页，共130页。3032233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiijuiuNNNNNNvu000000 eNf称为形函数(hnsh)矩阵。 N第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)(jigu)静力分析的有限单静力分析的有限单元法元法第29页/共130页第三十页，共130页。313.2.3 单元的应力应变单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分(

23、b fen)组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为轴向应变为 弯曲应变为弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴轴)的距离。的距离。 得出平面刚架单元应变得出平面刚架单元应变 xulx22xvybx图3-5 弯曲应变计算(j sun)示意图 22xvyxubxlxx exB则 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面刚架梁(ji lin)单元的应变转换矩阵。 B exxBEE第三章第三章 杆系结构静力分析的有

24、限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第30页/共130页第三十一页，共130页。323.2.4 平面刚架梁平面刚架梁(ji lin)单元的刚单元的刚度矩阵度矩阵 梁单元的梁单元的i，j结点发生虚位移为结点发生虚位移为 T*jjjiiieuu 单元内相应(xingyng)的虚应变应为 exB*由虚功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于(yuy)结点虚位移 的任意性，故上式可写成 e eeevekdxdydzBEBFT 上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第31页/

25、共130页第三十二页，共130页。33 dxdydzBEBkveT 横截面积A 横截面对形心轴z的静矩S 横截面对主惯性轴z的惯性矩I 得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁(ji lin)单元的单元刚度矩阵。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限静力分析的有限单元法单

26、元法第32页/共130页第三十三页，共130页。34 平面(pngmin)桁架的单元刚度矩阵为 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空间桁架单元每个结点(ji din)有3个位移分量，其单元结点(ji din)位移列向量 Tjjjiiijiewuwu 空间桁架局部坐标下的单元(dnyun)刚度矩阵是66的 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第33页/共130页第三十四页，共130页。35 空间(kngjin)刚

27、架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空间(kngjin)刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是1212的。 (a) 杆单元i端产生单位位移 (b) 杆单元j端产生单位位移图3-6 平面桁架单元刚度系数(xsh)的物理意义 (a) 梁单元i端产生单位位移 (b) 梁单元j端产生单位位移 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第34页/共130页第三十五页，共130页。36(c) 梁单元i端产生单位角位移 (d) 梁单元j端产生单位角位移图3-7 平面刚架单元刚度(n d)系数的物理意义 3.2.5

28、单元的刚度矩阵的性质单元的刚度矩阵的性质 a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯、惯性矩性矩I、单元长度、单元长度l、单元的弹性模量、单元的弹性模量E有关。有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个(lin )元素数值相等，即，根据是反力互元素数值相等，即，根据是反力互等定理。等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表单元刚度

29、矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。示。具有确定的物理意义。第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限单静力分析的有限单元法元法第35页/共130页第三十六页，共130页。373.3 坐标坐标(zubio)变换及单元刚度矩阵变换及单元刚度矩阵 3.3.1 坐标变换坐标变换 在整体坐标系中单元结点在整体坐标系中单元结点(ji din)力向量和结点力向量和结点(ji din)位移列向量位移列向量 可分别表示成可分别表示成 Tjjjiiiejeievuvu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量转换(zhunhun)分析 (b) 向量转换(zhunhun)图3

30、-8 向量转换(zhunhun)示意图 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第36页/共130页第三十七页，共130页。38iiiiiivuvu1000cossin0sincos对于(duy)梁单元如图3-8(b)所示，则有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可简写(jinxi)为 eeT第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)(jigu)静力分析的有限静力分析的有限单元法单元法第37页/共130页

31、第三十八页，共130页。39 同理 eeFTF式中 平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体(zhngt)坐标系的转换矩阵。 T 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT3.3.2 整体坐标系下的单元整体坐标系下的单元(dnyun)刚度矩阵刚度矩阵 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中 整体坐标下的单元刚度(n d)矩阵。 ek TTkTkee 和 一样， 为对称阵、奇异阵。 ek ek第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第38页/共130页第三十九页，共130页。403.4 整体整体(zhngt

32、)刚度矩阵刚度矩阵 3.4.1 整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵的建立 整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度体刚度 矩阵，简称总刚。矩阵，简称总刚。 整体刚度矩阵的求整体刚度矩阵的求解解(qi ji)是建立在结构是建立在结构 平衡条件的基础之上平衡条件的基础之上， 因此研究对象以整体坐标系为因此研究对象以整体坐标系为 依据。依据。 图3-9 载荷(zi h)向量示意图 如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3331. 3MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章 杆系结构静力分析

33、的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第39页/共130页第四十页，共130页。41结构载荷(zi h)列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx结点(ji din)位移列向量 T4321 T444333222111vuvuvuvu对于结点对于结点1对于结点对于结点2对于结点对于结点3对于结点对于结点4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPPMYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立(

34、jinl)结点平衡条件方程式如右表。第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第40页/共130页第四十一页，共130页。42用分块矩阵的形式，建立杆端内力用分块矩阵的形式，建立杆端内力(nil)与结点位移的关系式。与结点位移的关系式。对于单元对于单元1有有 简写为简写为 其中单元其中单元1的刚度的刚度矩阵矩阵 关系式展开为关系式展开为 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kkFkkF第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限单元静力分析的有限单元法法

35、第41页/共130页第四十二页，共130页。43对于单元对于单元2有有 简写为简写为 其中单元其中单元2的刚度矩阵的刚度矩阵 关系式展开为关系式展开为 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限单元的有限单元法法第42页/共130页第四十三页，共130页。44对于单元对于单元3有有 简写为简写为 其中单元其中单元3的刚度矩的刚度矩阵阵 关系式展开为关系式展开为 433443433343333433kkkkFF 333kF 34

36、43433343333kkkkk43443343344334333333kkFkkF第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限的有限单元法单元法第43页/共130页第四十四页，共130页。45 单元刚度矩阵由22的子矩阵组成， 每个子矩阵是33的方阵。 的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。 将杆端内力(nil)与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得： eijk43214321344343334333233232223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk简写(jinxi)为 PK称之为结构原始

37、平衡方程(fngchng)。其中 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 为整体刚度矩 阵。 K第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第44页/共130页第四十五页，共130页。463.4.2 整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵的集成 整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成矩阵按照结点编号的顺序组成(z chn)的的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成nn方阵后对号入座叠加得到。方阵后对号入座叠加得到。

38、对于(duy)单元1 0000000000001221211121111kkkkK对于(duy)单元2 0000000000002332322232222kkkkK对于单元3 34434333433330000000000000kkkkK 单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵 34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK结点编号第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第45页/共130页第四十六页，共130页。473.4.3 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵

39、整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块中位于主对角线上的子块 ，称为主子块，其余，称为主子块，其余 为副子块。为副子块。 a. 中主子块中主子块 由结点由结点i的各相关单元的主的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即子块扩展之后叠加求得，即 b. 当结点当结点i、 j为单元为单元e的相关结点时，的相关结点时， 中中副子块副子块 为该单元为该单元e相应的副子块，即相应的副子块，即 。 c. 当结点当结点i、 j为非相关结点时，为非相关结点时， 中副子块中副子块 为零子块，即为零子块，即 。 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性，即仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。等因素有

40、关。 e. 为对称方阵，为对称方阵， f. 为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有立整体刚度矩阵时没有(mi yu)考虑结构的边界考虑结构的边界约束条件。约束条件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限单的有限单元法元法第46页/共130页第四十七页，共130页。48 g. 为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域(qy)的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域(qy)内，称为带状分布规律，见图3

41、-10(a)。在包括对角线元素在内的区域(qy)中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。 图3-10 整体刚度矩阵存储方法 h. 整体刚度矩阵稀疏阵。 故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。 (a) 带状分布(fnb)规律 (b) 带状存储(cn ch) 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系

42、结构静力分析的有限单元法第47页/共130页第四十八页，共130页。493.5 约束处理约束处理(chl)及求解及求解 3.5.1 约束处理的必要性约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式建立结构原始平衡方程式 时，并未时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个成一个(y )自由悬空的、存在刚体位移的几何可变自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第可以参照第 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，

43、即对结构原始平衡方程式条件，即对结构原始平衡方程式 做约束处做约束处理。理。 约束处理后的方程称为基本平衡方程。约束处理后的方程称为基本平衡方程。 统一记为统一记为 PK PK PK3.5.2 约束约束(yush)处理方法处理方法 约束约束(yush)处理常用方法有填处理常用方法有填0置置1法和乘大数法。采法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。分布等特性。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第48页/共130页第四十九页，共130页。50 下面以图3-11所示刚

44、架结构为例，解释如何进行(jnxng)约束处理。对于下图所示刚架结构 设结点位移列向量(xingling)为设结点载荷列向量(xingling)为 T9321T321uuuu T9321T321ppppPPPP(a)固定(gdng)支座 (b) 支座强迫位移已知 (b)图3-11 结构约束第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第49页/共130页第五十页，共130页。51其原始(yunsh)平衡方程式为 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每个结点(ji din)的位移分量将上式展开为98765432198

45、7654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)(fnx

46、)的有限单的有限单元法元法第50页/共130页第五十一页，共130页。52 对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用(ciyng)填0置1法比较适宜。 对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用(ciyng)乘大数法比较适宜。 (1) 填0置1法 如右图所示结点1、3处为固定支座，可知 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1， 相应行和列上的其它元素均改为0。 同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有0987321uuuuuu第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)的有限的有限单元法

47、单元法第51页/共130页第五十二页，共130页。5300000001000000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk则第三章第三章 杆系结构静力分析的有限杆系结构静力分析的有限(yuxin)单元法单元法 也可简便(jinbin)地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉，包括相关的所在行的位

48、移和载荷向量。第52页/共130页第五十三页，共130页。54 处理后得基本平衡方程 (2) 乘大数法 右图所示刚架，结点1为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取 。同时，将相应(xingyng)同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。 22222122Pkk097321uuuuu088uu 15101010N第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限单静力分析的有限单元法元法第53页/共130页第五十四页，共130页。550000088865498765432

49、1999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN得到(d do)由于N 足够(zgu)大，可

50、以近似认为 0921jjuk,则得出(d ch) 01u同时得到09732uuuu088uu 求出位移 之后，即可以求出结构的应力场 。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第54页/共130页第五十五页，共130页。56第三章第三章 杆系结构杆系结构(jigu)静力分析的有限静力分析的有限单元法单元法 用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面(pngmin)刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。3.6 计算示例计算示例 设两杆的杆长和截面尺寸设两杆的杆长和截面尺寸(ch cun)相同

51、，相同， 27kN/m101 . 2 E杆件长 m。 10l图3-12 刚架受力简图第55页/共130页第五十六页，共130页。57(1)结构离散(lsn)化后 (2)将结构划分为4个结点、3个单元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面积 ，惯性矩 (2) 求结点载荷 首先须求局部坐标系中固定(gdng)端内力 eF0 (a) 单元1作为两端(lin dun)固定梁反力示意图 (b) 单元2作为两端(lin dun)固定梁反力示意图图3-13内力示意图 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第56页/共130页第五十七页，共130页。58单元(dny

52、un)1 mKN8012106 . 912kN482106 . 922212101102101glMMglVVo单元(dnyun)2 mKN20081016081KlMMPVV在局部坐标系下单元载荷在局部坐标系下单元载荷(zi h)列向量列向量 单元1 804808048010F单元2 20080020080020F单元3 00000030F第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第57页/共130页第五十八页，共130页。59 为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元(dnyun)得坐标转换矩阵 T单元(dnyun)1、

53、2 00 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T单元(dnyun)3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第58页/共130页第五十九页，共130页。60 求各单元在整体坐标下的等效(dn xio)结点载荷 eP0 102011010

54、1108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章 杆系结构静力分析杆系结构静力分析(fnx)(fnx)的有限的有限单元法单元法第59页/共130页第六十页，共130页。61 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求刚架的等效(dn xio)结点载荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三章 杆系结

55、构静力分析的有限杆系结构静力分析的有限(yuxin)(yuxin)单元法单元法第60页/共130页第六十一页，共130页。62因为无结点(ji din)载荷作用，总结点(ji din)载荷即为等效结点(ji din)载荷。 T0000200800120128080480 PP(3) 求单元刚度矩阵(j zhn)由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故 ek 321kkk梁单元的局部坐标下的刚度梁单元的局部坐标下的刚度(n d)矩阵表达式矩阵表达式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke4602606

56、12061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第61页/共130页第六十二页，共130页。63 2321103500525017505250525105052510500010500001050017505250350052505251050525105000105000010500kkk则（4）求整体(zhngt)坐标系中的 ek单元(dnyun)1 111111T122211211kkkkkIkIk单元(dnyun)2 222222233322322kkkkkkk单元3 33T33Tk

57、Tk第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第62页/共130页第六十三页，共130页。64 33343323222444103500052517500525010500001050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求结构整体刚度(n d)矩阵 K利用刚度利用刚度(n d)集成法集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立(jinl)原始平衡方程式43214321344342223

58、242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第63页/共130页第六十四页，共130页。65（7）引入约束条件解方程组 由于1、3、4为固定端， 修改整体(zhngt)刚度矩阵中的13，612行与列， 以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。 0444333111vuvuvu建立建立(jinl)基本平衡方程基本平衡方程 22222222Pkkk即622210428.1145145.1198465. 2vu得到(d do) （8）求各杆的杆端力 eF 单元3结点位移列向量

59、3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第64页/共130页第六十五页，共130页。66单元1杆端内力(nil)计算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2单元2杆端内力(nil)计算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2单元(dn

60、yun)3杆端力计算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第65页/共130页第六十六页，共130页。67（9）作内力图(lt) （a） 刚架轴力图(lt)（b） 刚架剪力图(lt)（c） 刚架轴弯矩图 图3-14 刚架内力图 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第66页/共130页第六十七页，共130页。684.1 平面应力平面应力(yngl)问题问题 第四章第四章 平面结构问题平面结构问题(wnt)的有限单元法的有限单元