独立增量过程

1、一、独立增量过程一、独立增量过程二、泊松过程二、泊松过程三、维纳过程三、维纳过程四、高斯过程（正态过程）四、高斯过程（正态过程）第十章第十章 随机过程及统计描述（续）随机过程及统计描述（续）一、独立增量过程一、独立增量过程1 1定义定义 设设 X( (t),),t 00为一随机过程为一随机过程, ,对于对于0 0 s t, ,称随机变量称随机变量X( (t)-)-X( (s) )为随机过程在区间为随机过程在区间 s, ,t 上的增量上的增量. . 若对于任意的正整数若对于任意的正整数n n及任意的及任意的0 0 t0 0 t1 1 t2 2 00的的泊松过程泊松过程，若它满足下列条件若它满足下

2、列条件(1) (1) N(0)=0(0)=0；(2) (2) N(t)(t)是独立增量过程；是独立增量过程；(3) (3) 对于任意对于任意的的s,t0, 0, N( (t+s)-)-N( (s) )服从参数为服从参数为 t的泊松的泊松分布分布 , 2 , 1,!)()( kkteksNstNPkt 从条件从条件(3)(3)：泊松过程的均值函数为：泊松过程的均值函数为 ttN )( , ,表示单位时间内质点出现的平均个数表示单位时间内质点出现的平均个数, ,故称故称 为此为此过程的强度过程的强度。 ttNE)(令令N(s,t)=N(t)N(s,t)=N(t)N(s),0st,N(s),0s00

3、的的泊松过程泊松过程, ,若它满足下列条件若它满足下列条件(1) N(0)=0(1) N(0)=0；(2) N(t)(2) N(t)是独立增量过程；是独立增量过程；(3) N(t)(3) N(t)满足满足: : tttttNP 1),( ttttNP 2),(条件条件(3)说明在充分小的时间间隔内说明在充分小的时间间隔内,最多有一个质点出现最多有一个质点出现,而出而出现现2个或个或2个以上的质点的概率很小个以上的质点的概率很小,可以忽略不计。可以忽略不计。 定理定理: : 定义定义2 2与定义与定义3 3是等价的。是等价的。 2 2泊松过程数字特征泊松过程数字特征 3 3泊松过程的定理泊松过程

4、的定理 设设N(t),t0N(t),t0为泊松过程，为泊松过程，N(t)N(t)表示到表示到t t时刻时质点出时刻时质点出现的个数现的个数,W,W1 1，W W2 2，.分别表示第一个，第二个，分别表示第一个，第二个，质点质点出现的时间出现的时间,Tn(n1),Tn(n1)表示从第表示从第n n1 1个质点出现到第个质点出现到第n n个质个质点出现的时间间隔点出现的时间间隔. . T1T2Tk0 W1 W2 Wk-1 Wk t 通常称通常称 WnWn为第为第n n个质点出现的等待时间个质点出现的等待时间,Tn,Tn为第为第n n个时个时间间隔间间隔, ,它们都是随机变量。它们都是随机变量。 定

5、理定理1.1. 设设N(t)N(t)，t0t0是具有参数是具有参数 的泊松过程的泊松过程, ,Tn,n1,2,.Tn,n1,2,.是对应的时间间隔序列是对应的时间间隔序列, ,则随机变量序列则随机变量序列Tn,nTn,n=1,2,.=1,2,.为独立的且均服从参数为为独立的且均服从参数为 的指数分布。的指数分布。证明：证明：(1)(1)先确定先确定T T1 1的分布的分布. . 为此首先注意到事件为此首先注意到事件TT1 1tt发生发生当且仅当在时间间隔当且仅当在时间间隔0,t0,t内没有质点出现内没有质点出现, ,因而因而 tetNPtTP 0)(1所以所以, T, T1 1具有参数为具有参

6、数为 的指数分布。的指数分布。 (2)(2)为求为求T T2 2的分布的分布, ,先求先求T T1 1的条件下的条件下T T2 2的条件分布的条件分布, ,由独立增量由独立增量性有性有 sTtssPsTtTP 112,0内内无无质质点点出出现现在在 内内无无质质点点出出现现在在tssP , tetssNP 0),( 所以所以, ,可得可得T T2 2也是一个具有参数为也是一个具有参数为 的指数分布的随机变的指数分布的随机变量且量且T T2 2独立于独立于T T1 1, ,重复同样的推导可得定理。重复同样的推导可得定理。 下面求等待时间下面求等待时间WnWn的分布，注意到第的分布，注意到第n n

7、个质点出现在时个质点出现在时间间t t或之前的条件是或之前的条件是当且仅当到时间当且仅当到时间t t已出现的质点数至少是已出现的质点数至少是n n， 即即 njjtnjtentNPtWP!)()( 上式对上式对t t求导，得求导，得W Wn n的概率密度是的概率密度是 000!1)(1ttntetfntWn 定理定理2.2.设设WnWn , n=1,2, , n=1,2, 是与泊松过程是与泊松过程N(t),t0N(t),t0对应的一等待时间序列，则对应的一等待时间序列，则WnWn服从参数为服从参数为n n与与 的的 分布，其概率密度为分布，其概率密度为 000!1)(1ttntetfntWn

8、定理定理3.3. 如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为 的泊的泊松过程。松过程。 该定理告诉我们该定理告诉我们确定一个过程是不是确定一个过程是不是泊松过程只要用泊松过程只要用统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领域内它又是构造一类重要噪声域内它又是构造一类重要噪声( (散粒噪声散粒噪声) )的基础的基础。例例

9、. .设设X(t)X(t)是强度为是强度为 的泊松过程，定义的泊松过程，定义Y( (t)=)=X( (t+L)-)-X( (t),),其中其中L00为常数，求为常数，求 Y(t),(t),RY( (s,t).). 解：解： Y(t)=(t)=E Y( (t)=)=E X(t+L)-X(t)= (t+L)- t= L； RY(s,t)=CY(s,t)+ Y(s) Y(t), , 对任意对任意0st0s00的位移的横坐标的位移的横坐标( (同样也可以讨论纵坐标同样也可以讨论纵坐标), ), 且设且设W W(0)=0, (0)=0, 根据爱因斯坦根据爱因斯坦19051905年提出的理论年提出的理论,

10、 , 微粒微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果子的碰撞的结果. . 于是于是, , 粒子在时段粒子在时段( (s s, ,t t 上的位上的位移可以看作是许多微小位移的代数和移可以看作是许多微小位移的代数和. . 则则W W( (t t) )- -W W( (s s) )服从正态分布服从正态分布. . 三、维纳过程三、维纳过程 又称布朗运动又称布朗运动 1 1维纳过程的定义维纳过程的定义 给定过程给定过程W(t),t0W(t),t0，如果它满足，如果它满足(1)(1)具有具有平稳平稳的的独立增量独立增量；(2)(2)对任意的对任

11、意的ts0ts0，W(t)-W(s)W(t)-W(s)服从服从正态分布正态分布N(0,N(0, 2 2(t-s)(t-s)；(3)W(0)=0.(3)W(0)=0. 三、维纳过程三、维纳过程 又称布朗运动又称布朗运动 则称此过程为则称此过程为维纳过程维纳过程，下图展示了它的一条，下图展示了它的一条样本曲线。样本曲线。 维纳过程不只是布朗运动的数学模型维纳过程不只是布朗运动的数学模型, 电子元电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程 。2 2维纳过程的性质维纳过程的性质 (1). (1). 维纳过程维纳过程 W(t) W(t)，t0t0为正态过程为正态过程(

12、 (每一个有限维分每一个有限维分布均为正态分布布均为正态分布) )。 证明证明: : 对于任意正整数对于任意正整数n n和任意时刻和任意时刻t t1 1,t,t2 2, ,tn(0t,tn(0t1 1tt2 2 tntn) )以及任意实数以及任意实数u u1 1，u u2 2，u un n，记，记 则则nkuankiik, 2 , 1, nnnnnnnkkktwatwatwatwatwatwatwatwu 111232212111 nkkkktwtwatwa2111 它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知态分布的性

13、质知(W(t(W(t1 1) )，W(tW(t2 2) )，W(tnW(tn)服从服从n n维正态分布，维正态分布，因此因此W(t)W(t)为正态过程。为正态过程。 (2). (2). 维纳过程的均值函数自协差函数、自相关函数分别为维纳过程的均值函数自协差函数、自相关函数分别为 ),min(),(),(;0)(2tstsCtsRtWWW 方差随时间区间的长度呈线性增加方差随时间区间的长度呈线性增加 。 四四 高斯过程（正态过程）高斯过程（正态过程） 一、定义：一、定义： 设设X(t)X(t)为随机过程，如果对任意的正整数为随机过程，如果对任意的正整数n n及任意及任意t t1 1,t,t2 2

14、, ,tn,tn T T，n n 维随机变量维随机变量(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn)服服从从n n维正态分布，则称维正态分布，则称X(t)X(t)为为正态过程正态过程。 正态过程是二阶矩过程。正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为记其均值函数为X X(t),(t),协方差函数为协方差函数为C CX X(s,t)(s,t)。 二、正态过程的性质：二、正态过程的性质： 对任意的正整数对任意的正整数n n及任意及任意t t1 1,t,t2 2, ,tn,tn T T，n n 维随机变量维随机变量(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(

15、tn,X(tn)的的分布由其相应的均值及协方差矩分布由其相应的均值及协方差矩阵完全确定阵完全确定，所以，所以X X(t)(t)和和C CX X(s,t)(s,t)完全确定了完全确定了X(t)X(t)的有的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：1 1X(t),tX(t),t TT为正态过程，其统计特性由为正态过程，其统计特性由X X(t)(t)和和C CX X(s,t)(s,t)确定。确定。 反之，可以证明，反之，可以证明，T=0,+,T=0,+,给定给定(t)(t)和非负二元函和非负二元函数数C(s,t)C(s,t)，则存在正态过程，则存

16、在正态过程X(t)X(t)，使，使X X(t)=(t)(t)=(t)，C CX X(s,t)=C(s,t)(s,t)=C(s,t)。 定义定义：设随机过程：设随机过程X(t),tX(t),t TT，且对任意正整数，且对任意正整数n n 2 2，任，任意意n n个不同的个不同的t t1 1,t,t2 2, ,tn,tn T T，随机变量，随机变量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn) )相互独立，则称此过程为相互独立，则称此过程为独立随机独立随机过程过程。2 2正态过程正态过程X(t),tX(t),t TT为独立随机过程为独立随机过程正态过程，当任正态过程，当任

17、意意s,t,sts,t,st时，协方差函数时，协方差函数C CX X(s,t)=0.(s,t)=0.证明：证明：“” n n 2,2,因为因为X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn) )相互独立的正态随机相互独立的正态随机变量，而正态随机变量变量，而正态随机变量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn) )相互独立相互独立其两两互不相关，即：其两两互不相关，即：C CX X(s,t)=0, st.(s,t)=0, st. “”因因(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn)为为n n维正态随机过程，维

18、正态随机过程，于是于是X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn) )为正态随机变量，又为正态随机变量，又C CX X(s,t)=0, st(s,t)=0, st，所以，所以X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn,X(tn) )相互独立。相互独立。3 3 X(t) X(t)为正态过程为正态过程它的任意有限多个随机变量它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。的任意线性组合是正态随机变量。 事实上，由正态的性质，事实上，由正态的性质， n n维正态随机变量的充维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，要条件是其任意一维线性