理论力学习题(1)

1、 1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？ 解解：以正午为计时零点，设东向船为A，北向船为B，以灯塔为坐标原点，建立坐标系o-xy，如图所示。在t时刻，两船位置分别为： vtxA5 . 1tvyB22225 . 1ttvyxSBA05 . 15 . 122222ttttvdtds则:05 . 122tt小时75. 0t（即午后45分钟） 将值代入表达式得： 9 .155 . 175. 075. 01522minS（千米） 答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15

2、.9千米。 1.3 曲柄 ，以匀角速 绕定点O转动，此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。设。解解：如图所示建立坐标系oxy，C点的坐标为： rOA ABOAOBaCBAC)2(sin) 1 (coscosayarx在三角形AOB中 )3(sin2sinar由（1）（2）两式消去 得： 222)cos(rxya即： )4(cos22yarx由（2）（3）两式消去 得： )5(sin2ry 由（4）（5）两式消去 得： 22222)(4yaxyr上式化简得轨道方程为： 22222222)3()(4rayxyax对（1）（2）两式取微商得： 对（3）式取微商得： )

3、7(cos)6(sinsinayarxcos2cosar)8(cos2cosar 将（8）代入（6）（7）得： cos21cos2cossinsinryrrx2222)cos21()cos2cossinsin(rrryxv2cos)sin(cossin4cos2rC点的速度为 1.4 细杆OL绕O点以匀角速 转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。 解解：如图建立直角坐标系Oxy，小环在任意时刻的位矢为： yxLABCOdjijirddtgyxOCiirvddxsecddtd222式中用到： 221cossec222ddx 小环的速度的

4、量值为： ddxv22dxtgtgsecdsecddtddtdiiva2222i22222ddxx小环的加速度的量值为： 22222ddxxa 1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明其质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明其速度矢量速度矢量v与加速度矢量与加速度矢量a 正交。正交。证证：（已知）常数2vv vv v上式对时间取微商：上式对时间取微商：02a av v即：即：0a av v所以所以：a av v即即 与与 正交正交。va方法方法1：方法方法2：i iv vv)0(2dtdvvdtdvj jj ji ia a2 2v02j ji ia av vvv所以：所以：a av

5、v证毕证毕。 1.10 一质点沿着抛物线一质点沿着抛物线 运动，其切向加速度的量运动，其切向加速度的量值为法向加速度的值为法向加速度的 倍，如此质点从正焦弦（倍，如此质点从正焦弦（ ）的一）的一端以速度端以速度 u出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。解解：k2pp,2vu uypdxdytgpxy22（由由 得得）pp,2始点：始点：（ ）454100tg),2(pp终点：终点：47421tgpxy22根据题意根据题意：kaan2dtdvdsddtdsvdsdvvadtdvan22kuev故：故：所以所以：dtdkvdtdv2kdvdv202dkvdvv

6、ukuvln积分积分： 1.11 质点沿着半径为质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角速度矢量间的夹角 保持不变。求质点的速度随时间而变保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为化的规律。已知初速度为 。解：按题意画图，如图所示解：按题意画图，如图所示。 0vOiajnaarvadtdvactgaann2ctgrvdtdv2tvvdtrctgvdv020trctgvv011 沿切向与沿切向与 同向，同向， 与与 间夹间夹角角 ，即，即 与与 间夹角为间夹角为 ，为，为常数。则常数。则 :viaaavia 1.15 当一轮船在雨中航行时，

7、它的雨蓬遮着篷的垂直投当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后影后2 2米的甲板，篷高米的甲板，篷高4 4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前部分的分界线却在篷前3 3米，如果雨点的速度为米，如果雨点的速度为8 8米米/ /秒，求秒，求轮船的速率。轮船的速率。解解：选择：选择： 研究对象研究对象雨点雨点 动系动系轮船轮船 静系静系岸边岸边雨对地的速度（绝对速度）为雨对地的速度（绝对速度）为 smv/8雨对船的速度（相对速度）为雨对船的速度（相对速度）为船对地的速度（牵连速度）为船对地的速度（牵连速度）为方向如图所示。方向如图所示。由相对运

8、动速度公式有：由相对运动速度公式有： vvv v0vvABC前后234由图形知：由图形知： 与速度三角形相似，则与速度三角形相似，则： ABC12343220BCABvvsmvv/800v0vvvv 1.16 宽度为宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比，在的河流，其流速与到河岸的距离成正比，在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c ，一小船以，一小船以相对速度相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。岸靠拢的地点。解解：如图所示，取船离岸处为坐标原点，如图所示，取船离

9、岸处为坐标原点， 轴平行于河流方向，轴平行于河流方向， 轴和它垂直。轴和它垂直。 d2du uv0vxycvdykyvdy00220ydcvdck220cyudvutgdxdy20dxcudydyyx002船的轨迹为：船的轨迹为：)20(2dyyudcx船在对岸靠拢点：船在对岸靠拢点：dyd2)(2)(0yddcydkv)(20ydcudvudxdyucddudcxdy4)2(22dxcuddyydydxucd242)()2(222dyducdyudcyucxucducddudcducxdy2222船的轨迹为：船的轨迹为： 1.19 将质量为m 的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方

10、成正比，即 ，如上掷时的速度为 ，试证此质点又落至投掷点时的速度为：证证：1）上抛，选取坐标系，受力分析如图所示。0v22gvmkR 202011vkvv运动微分方程为：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx利用初始条件：00vxx积分得：到达最高点：)1ln(2102022vkgkxxgxkevkxk2220222)1 (12）下落：受力分析如图所示，运动微分方程为：利用初始条件：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx)1ln(2102022vkgkxx积分得：gxkvkxk2202222)1)(1ln(落至投掷点：10vxx1)1)(1 (20222vkxk 落至投

11、掷点的速度为：202011vkvv证毕。 1.21将一质点以初速 抛出， 与水平线所成之角为 ，此质点所受到的空气阻力为其速度 的倍， 为质点的质量， 为比例常数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为 时所需的时间。解解：受力分析如图所示。建立坐标系质点运动微分方程为：0v0vmkmkxyOOg gmR Rxy0v vmgymkymxmkxm sinvycosvxt000利用初始条件：对上式积分得： gegsinkvkyecosvxtdtk001tgecosvgegsinkvkxytktk001根据题意有：ggsinkvetk02整理得：gsinkvlnkt0211所需时间为： 1.22 如

12、向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为 ，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。解解：取电子初速V沿x轴，电场强度E沿y轴，磁感应强度B沿z轴。 )(B Bv vE Ee电子受力： j ji ik kj ji ij jB Bv vE EF F)(00)(BxeeEByeBzyxeeEe设电子的质量为m，则运动微分方程为： )3(0)2() 1 (zmxeBeEymyeBxm 利用初始条件： ，对（3）式积分两次得：000zzt)4(0z利用初始条件： ，对（1）式积分得： 将（5）代入（2）式

13、得： Vxyt00)5(VymeBx)(VymeBeBeEym 整理得： )6(222meBVmeEymBey 特征方程为： meBirmBer02222（6）式齐次方程的通解为： tmeBCtmeBCysincos211（6）式非齐次方程的特解为： eBmVeBmEy22所以方程（6）的通解为： )7(sincos22121eBmVeBmEtmeBCtmeBCyyy（7）式取微商得： 利用初始条件： tmeBmeBCtmeBmeBCycossin210)(00021CBEVeBmCyyt代入（7）得： )8(cos)(2eBmVeBmEtmeBBEVeBmy将（8）代入（5）式得： )9(c

14、os)(BEtmeBBEVx利用初始条件： ，对（9）式积分得：00 xt)10(sin)(tBEtmeBBEVeBmx（4）（8）（10）为电子的运动方程。 1.261.26 一弹性绳上端固定，下端悬有一弹性绳上端固定，下端悬有m及及 两质点。设两质点。设a为绳的固有长为绳的固有长度度, ,b为加为加 m 后的伸长，后的伸长，c为加为加 后的伸长。今将后的伸长。今将 任其脱离而下坠，试任其脱离而下坠，试证质点证质点 m 在任一瞬时离上端在任一瞬时离上端o的距离为：的距离为：证证：研究对象为质点研究对象为质点 ，其受力分析如图所，其受力分析如图所示。示。设坐标原点设坐标原点 在在 处，向下为正

15、，处，向下为正，建立坐标轴建立坐标轴 。 mmmtbgcoscbaba 1omxo1质点平衡时质点平衡时 :mgkb bmgk 质点运动微分方程为质点运动微分方程为kxxbkmgxm 0 xmkx 其解为其解为： 000tbgsinbgAxtbgcosAtcosAx将初始条件将初始条件： 00 xcxt00cA代入得代入得： tbgcoscx故任一时刻离上端故任一时刻离上端o的距离为的距离为： tbgcoscba证毕证毕。 初始条件初始条件： 00 xcxt又解又解：选选 为坐标原点，建立坐为坐标原点，建立坐标标 ，质点运动微分方程为：质点运动微分方程为： 又解又解：选选 为坐标原点，建立坐为

16、坐标原点，建立坐标标 ， 质点运动微分方程为：质点运动微分方程为：2oxo2oxokxmgxm 00 xcbxtgxmkx 即：即：)(axkmgxm 00 xcbaxtmkagxmkx 即即： 1.29 一质量为一质量为m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速的下滑，试证在任的质点自光滑圆滚线的尖端无初速的下滑，试证在任何一点的压力为何一点的压力为 ，式中，式中 为水平线与质点运动方向间的夹角，为水平线与质点运动方向间的夹角，已知圆滚线方程为：已知圆滚线方程为： 证证：受力分析如图所示，质点运动受力分析如图所示，质点运动微分方程为：微分方程为：cos2mg)2cos1 ()2sin2(ayax)2

17、(cos) 1 (sin2mgNvmmgdtdvm（1）式积分）式积分：vygdyvdv00) 3()cos1 (222aggyv(4)ddscos4)()(22addyddx（3）（）（4）代入（）代入（2）得：）得：cos2cos2mgmgvmNcos2mgNP任何一点的压力任何一点的压力： P 方向与方向与 N 方向相反。方向相反。 1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振动很小，故阻力与假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振动很小，故阻力与 成正比，且可写为成正比，且可写为 ，式中，式中 m是摆锤的质量，是摆锤的质量，l 为摆长，为摆长，k 为比为比例系数，试证当例系数，试证当

18、 时，单摆的振动周期为：时，单摆的振动周期为： 证证：选取自然坐标系，受力分析如图所示，选取自然坐标系，受力分析如图所示，切向运动微分方程为：切向运动微分方程为：mklR2lgk2lkgl22) 1 (2sinmklmgdtdvm 很小很小lv sin方程可写为方程可写为：)2(02lgk 特征根为特征根为：lgkkr2当当 时，（时，（2）式的解为：）式的解为：lgk2)cos(2tklgAekt振动周期为振动周期为：lkgl222Rmgdtdvmsin即即： 1.32 光滑楔子以匀加速度光滑楔子以匀加速度a0 沿水平面运动，质量为沿水平面运动，质量为m的质点沿楔子的的质点沿楔子的光滑面滑下

19、，求质点的相对加速度光滑面滑下，求质点的相对加速度 和质点对楔子的压力和质点对楔子的压力 P 。解解：1）a0沿沿 x正向，取楔子为参照系，建立坐正向，取楔子为参照系，建立坐标系标系oxy ，受力分析如图所示。，受力分析如图所示。a acossin0mamgamsincos0mamgNsincoscossin00mamgNpaga所以所以：压力压力 P 与与N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。2） a0 沿沿 x 负向，取楔子为参照系，建立坐负向，取楔子为参照系，建立坐标系标系oxy ，受力分析如图所示。，受力分析如图所示。sincoscossin00mamgNmamgam所以所以：si

20、ncoscossin00mamgNpaga压力压力P 与与N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。 1.33 光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其重为W，如钢丝圈以匀加速度a 沿竖直方向运动，求小环的相对速度vr及圈对小环的反作用力R。解解：以圆圈为参照系，建立坐标系oxy1）a沿y轴正向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：)2(coscos) 1 (sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrrddvrvdsdvvdtdsdsdvdtdvrrrrrr上式代入（1）式后，分离变量积分： 00sin)(dagrdvvrrvvrr（3）代入（2）得：2）a沿y轴

21、负向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：) 3()cos)(cos(20220agrvvrr)4()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)6(coscos)5(sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrr)cos)(cos()(210229agrvvrr综合以上结果： )cos)(cos(20220agrvvrr)cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)8()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr同理解得： ) 7 ()cos)(cos(20220agrvvrr 1.251.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体，

22、当滑轮以匀速转动时，物体以匀速 下降，如将滑轮突然停止，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受 的作用时静伸长量为 。解解：以弹簧原长处为弹性势能零点，以弹簧平衡位置（伸长 时）为坐标原点建立坐标 ，且以 点为重力势能零点，如图所示。由机械能守恒得：0v0WWxxkkvgW202020212121弹簧处于平衡位置时: 代入上式并化简得： 0kW 2202121kxvgWgvkgWvx000弹簧的最大伸长量为 gv000max且最大张力为： gvWgvWkT000000maxmax10oxoOx00v vT TW W又解又解：此过程中，只有保守力做功，机械能守恒，且初始动能全部转化为弹性势能：

23、即：弹簧的最大伸长量为：220)(2121xkvgWgvkgWvx000gv000max且最大张力为： gvWgvWkT000000maxmax1Ox00v vT TW W 1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下，问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。解解：以质点为研究对象，受力分析如图所示。 设质点m滑至与竖直线夹角为 处离开圆柱面，此时 ,则质点的法线方程为： 0N) 1 (2cosmgrvm质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒.)2(212cosmgrmvmgr、两式联立得： 321 cos 1.28 重为W 的小球不受摩擦而沿半长轴为a ，

24、半短轴为b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的，如小球自长轴的端点开始运动时，其初速为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。解解：小球运动过程中，只有保守力做功，机械能守恒。) 1 (212mvmgb 小球到达最低点时，法向方程为：)2(2mgNvm椭圆方程：12222byax2221axabxy2/3222)1 (axaby 曲率半径：)3()1 (202/32bayyx 将（1）（3）代入（2）得：)21 (22abmgN对椭圆的压力：)21 (22abWNPP与N方向相反。 1.39 一质点受一与距离的 3/2 次方成反比的引力作用在一直线上运动，试证此质点自无穷远到达 时的速率和自 静止出发到达 /4 时的速率相同。证证：如图所示，质点受引力作用： , 为比例系数aaa 2/3rkrFk质点运动微分方程为：2/322krdtrdmdrdvvdtdrdrdvdtdvdtrd222/3krdrdvmv即：102/3vadrrkmvdv质点由 到 /4 ： aa2042/3vaadrrkmvdv4124amkv4114amkv21vv 证毕。 质点由无穷远到 ： a1.45 如 及 为质点在远日点及近日点处的速率，试证明： 证证：质点在有心