定积分的概念及应ppt课件

1、mathsoft第六章第六章 定积分的概念及运用定积分的概念及运用第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第三节第三节 体积体积数学分析电子教案 西电科大mathsoft第四节第四节 平面曲线弧长平面曲线弧长第五节第五节 功、水压力和引功、水压力和引力力第六节第六节 平均值平均值习题课习题课数学分析电子教案 西电科大mathsoft例例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积一、问题的提出引例一、问题的提出引例 中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规那么图形面积的计算。边形，梯形等规那么图形面积的计算。

2、那么不规那么图形的面积怎样来求呢?下面将引见任一图形面积的计算方法，例如：第一节 定积分的概念mathsoftXAababA2ab曲边梯形三条直边，一条曲边曲边梯形三条直边，一条曲边0y面积面积 A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形的面积故问题为求出两个曲边梯形的面积如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：1第一节 定积分的概念mathsoft 设一曲边梯形由直线设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线及曲线解：解：step1：分割：分割 在在a,b中恣意插入中恣意插入n-1个分点个分点bxxxxxann 1210把a,b分成n个小区间xi-

3、1,xi (i=1n)区间长度为1 iiixxx(i=1n)0)( xfy所围成，求面积A, 其中f(x)在a,b上延续。step2: 近似近似iiiiiixfAnixx )()1(,1 则step3: 求和求和iniixfA )(1 第一节 定积分的概念mathsoftstep4 : 取极限取极限时，趋近于零长度即小区间的最大当分割无限加细)0(,max ,21 nxxxiniixfA )(lim10 第一节 定积分的概念mathsoft用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积第一

4、节 定积分的概念mathsoft例例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,10TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程. 思绪：把整段时间分割成假设干小段，每小段思绪：把整段时间分割成假设干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后经过对时间的无限便得到路程的近似值，最后经过对时间的无限细分过程求得路程的准确值细分过程求得路程的准确值第一节 定积

5、分的概念mathsoft1分割分割112100TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时辰的速度某时辰的速度2求和求和iinitvs )(1 3取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的准确值路程的准确值第一节 定积分的概念mathsoft上面两例可以看出：上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，采用了同样的计算方法，最终都归结为具有一样构造的和式极限。抛开这些问题的详细意义，在数学上就笼统出定积分的概念。第一节 定积分的概念mathsoft设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论

6、论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若干个分点若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义第一节 定积分的概念mathsoft怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式 积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论

7、在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法， 只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和积分符号积分符号第一节 定积分的概念mathsoft badxxf)( badttf)( baduuf)(留意：留意：由定积分定义，例1，例2分别为： 10)( ,)(TTbadttvSdxxfA1。极限存在指：恣意分割，任一取点，和式。极限存在指：恣意分割，任一取点，和式极限存在且相等。极限存在且相等。2。定积分是个数，与积

8、分变量的符号无关，。定积分是个数，与积分变量的符号无关，即3。规定：。规定： baabbadxxfdxxfbadxxfba)()( 0)( 时时，时时，4。 ninnnixi1 0 01 00 而而错误！为什么？错误！为什么？第一节 定积分的概念mathsoft 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. 则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.三、存在定理三、存在定理且只需有限个延续点且只需有限个延续点 第一类延续点，第一类延续点，第一节 定积分的概

9、念mathsoft, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值xoy1A2A3A4A badxxf)( 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和4 3 2 1AAAA 如图：如图：第一节 定积分的概念mathsoft五、小结练习五、小结练习定积分的本质：特殊和式的极限定积分的本质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求乘积求乘积近似替代近似替代第一节 定积分

10、的概念mathsoft练习练习例例1dxx 2224解： 由几何意义22222214 dxx例例2计算：计算： xdxsin解：如图0sin xdx第一节 定积分的概念mathsoft例例3 利用定义计算dxex 10解：解：1。将。将0，1n等分，等分， n1i 1 ,1 inxinxii则2。 ninixii1 取3。求和。求和nexfninniii1.)( ).(121nnnneeen nneeen11111 4。nnnnnneneeeen11)1(111lim)1(11.nlim 1lim)1(1lim)1(0)00(0 exxeexexxx即dxex 101 e第一节 定积分的概念m

11、athsoft写成定积分。将 11lim 1 ninnin例例4解：解： 10,1)( 11.1lim11lim1011，区间这里取xxfdxxnnininninnin 21 ,)( 11lim 211，区间取或xxfdxxninnin 第一节 定积分的概念mathsoft一一. 直角坐标系情况直角坐标系情况)()( )(),( 1221xfxfxfyxfy 求由曲线所围图形面积，如图:解解: 1。画图，求出交点；。画图，求出交点；2。选积分变量，。选积分变量，;, bax 如如3。, dxxx 取微区间dxxfxfdA)()(12 4。 babadxxfxf)( )()( A12面积特别的特

12、别的:dxxfAxfyba )( 0)(21时时，曲边梯形面积曲边梯形面积第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第二节 平面图形的面积mathsoft例例1.所围成的面积。及计算由 32 2 xyxy解解: 画图，求得交点画图，求得交点(-1,1)及及(3,9) 312332)32( dxxxA由公式例例2.所围成的面积。及计算由 42 2 xyxy解解: 画图，求得交点画图，求得交点(2,-2)及及(8,4)选为积分变量，那么18)214(422 dyyyA问问:假设选假设选x为积分变量如何？为积分变量如何？第二节 平面图形的面积mathsoft二二.参数方程情况参数方程情况例例3.所围

13、成的面积。求椭圆 sin,cos tbytax 解解: 由对称性由对称性 aydxA04)cos(sin4 02tadtb 换元 202sin4 abtdtab普通的，普通的，), 0)( )(baxxfxfy 若曲边梯形的曲边batytx )(,)()()(: 给出，由参数方程 badtttdxxfA )()()( :则则第二节 平面图形的面积mathsoft例例4.轴所围成的图形面积的一拱与求摆线xayax )cos1()sin(解解: 20 ：显然参数 aydxA 20面积daa)cos1()cos1(20 2022)cos1(dada 2022)coscos21(23 a 第二节 平面

14、图形的面积mathsoft三三.极坐标情况极坐标情况.,)(所围图形的面积及射线求由曲线 r解解: 1。;, 选取变量2。;, d 取微区间3。 212dA面积第二节 平面图形的面积mathsoft例例5.)0( )cos1(所围图形面积）计算心形线（或心脏线 aar 解解: 20202222023 42sin2sin2)coscos21(cos1212 , 0aadadaA 对称性另解另解: 20242200422223cos8cos4)cos1( atdtadadaAt令第二节 平面图形的面积mathsoft一一.旋转体的体积旋转体的体积 定义定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周由

15、一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，叫旋转体。而成的立体，叫旋转体。hrV2 圆柱hrRV2)( 环形圆柱hrV231 圆锥)(.31 22rRrRhV 圆台第三节第三节 体积体积第三节 体积mathsoft 以上旋转体的体积在中学曾经会计算，下面讨论普通的旋转体的体积。例例1.1, 0)(体积轴旋转一周而成的立体）绕平面图形（图轴所围及直线求由连续曲线xxbxaxxfy 解解: 1。,bax 选积分变量2。dxxfdVdxxx)(,2 则取微区间3。 )(2 badxxfV 体积下面将结论推行下面将结论推行:第三节 体积mathsoft如图: badxxgxfV)()(22 类似

16、的，假设旋转体是曲边梯形绕类似的，假设旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的轴旋转而成的 dcdyy VdyydVdc :22 则)(yx y=f(x)y=g(x)第三节 体积mathsoft例例2.。轴旋转而成的立体体积轴，所围图形分别绕计算由椭圆yxbyax1 2222 解解: (1) 绕绕x轴轴22222234)(, ,abdxxaabVaaxxaabyaax (2)绕绕y轴轴badyybbaVbbyybbaxbby22222234)(, , 第三节 体积mathsoft例例3.旋转成的立体体积。轴及轴，所围图形分别绕的第一拱与计算由摆线ayyxytayttax20)cos1(),sin( 解

17、解: (1) 绕绕x轴旋转轴旋转dttadttatadxyVax 20632022022sin8)cos1()cos1(换元330635224613516sin162aaduuatu 令第三节 体积mathsoft(2) 绕绕y轴旋转轴旋转332030222202120226sin)sin(sin)sin( sin)sin(atdtttatdtattatdtattadyxdyxVaay 0)2(,2)(, 0)0(: yayy注第三节 体积mathsoft(2) 绕绕y=2a旋转旋转 dxyaaaVaa22022222 所求体积即是中间喇叭状的体积 3232033332023202333202

18、233322033320233322033744sin38sin4cossin8)cossin(sin8)cos1( )cos1(8)cos1()cos1(8cos1cos28aataadttadtttaadttttaadtttaadtttaadttataaaa 第三节 体积mathsoft二二.平行截面面积为知的立体体积平行截面面积为知的立体体积如图，求立体的体积。是已知的连续函数截面面积)(,xAbax 解解: 1。, bax 选积分变量2。dxxAdVdxxx)( , 则取微区间3。b)(a )( badxxAV体积第三节 体积mathsoft例例4.体的体积。求平面截圆柱体所得立交成并

19、与底面的圆柱体的底面中心，一平面经过半径为),20( R解解: 建立坐标如图，建立坐标如图，222 Ryx 则底面方程为截面面积则为积分变量，选取, RRxx tan)(21tan21)(22xRyyxA tan32tan)(21)(322RdxxRdxxAVRRRR 第三节 体积mathsoft 定积分概念的出现和开展都是由实践问题引起和推进的。因此定级分得运用页非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实践问题的运用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。根本思想：根本思想：实践问题所求量实践问题所求量Q转化为求求Q= badxxf)( (积分模型积分模型)转化方法：转化方

20、法：元素法或微元法，即从部分到整体元素法或微元法，即从部分到整体微元法mathsoft 为了阐明小元素法，我们先来回想一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1. 分割：恣意划分分割：恣意划分a,b为为n个小区间个小区间 niiiiAAnixx11),1( ,则step2. 近似：近似： ,1iiixx )( iiixf 计算)1(ni 第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法(或微元法或微元法)微元法mathsoftstep3. 求和：求和： niiixfA1)( step4. 取极限：取极限： niiixfA10)(lim badxxfA)( 即分析：分析：在上述问题留意到在上述

21、问题留意到: 所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间。与区间a,b及及a,b上延续函数上延续函数f(x)有关有关;2。对。对a,b具有可加性，具有可加性，; 1iniAA 即即3。)( ,)( iiiixoAfA 且且误误差差为为局局部部量量 实践上，引出实践上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：微元法mathsoftstep1:选取积分变量及积分选取积分变量及积分区间如区间如x属于属于a,bstep2:取微区间取微区间x,x+dx 求出求出 )( )(局部量dxxfA 称为面积元素并记 )( dxxfd

22、A step3: badxxfA)( 计算这种方法称为定积分的元素法或微元法。微元法mathsoft 普通的，假设某一实践问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量；有关的量；2。Q对于对于a,b区间具有可加性；区间具有可加性；3。部分量。部分量.)(iiixfQ 那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1. 选取积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间 ,:bax 如如step2. 取微区间取微区间x,x+dx，求出，求出 )(dxxfQ dxxfdQ)( 并并记记step3. badxxfA)( 计算计算微元法mathsoft例例1.写出长

23、为l的非均匀细直棒质量的积分表达式任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图建立坐标如图,oxlx x+dx那么恣意一点的密度为)(x step1. , 0 lx 变量step2.dxxdMdxxx)( , 则取微区间step3.dxx)l 0(M 质量 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些运用。微元法mathsoft一、曲线弧长概念一、曲线弧长概念1分割分割:ABn分为 个小弧段2近似近似:i 1ii 1iMMMMNoImage3求和求和: 总弧长总弧长 ni 1ii 1SMM4取极限取极限: 假设极限假设极限ni1i0i1limMM存在,ni1i0i1AB,SlimMM称极限值为

24、的长 即AB这时称可求长yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb图图1第四节第四节 弧长弧长第四节 弧长mathsoft二、直角坐标情况二、直角坐标情况C y f xa b设曲线 : = ( )在 , 上有连续导数,求弧长解解:图一图一1xa,b。 取积分变量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx 。 取微区间 , +,则（）21dsy dx记弧长微元23 S=1aby dx。第四节 弧长mathsoft1.y sinx 2例 求曲线 =在0, 上对应弧长。解解:2cos 1cosyxdsxdx NoImage2122220221cos1cos2tSxdxSxtdtt令21

25、112222224241 22422tdtt dtdttt12 第四节 弧长mathsoft-22. cosxytdt例 求曲线的全长。解：解：cos0t 2 2x 定义域，2cos11cosyxdsy dxxdx 又 1220220 1cos2cos2 2cos42Sxdxdxxdx故全长第四节 弧长mathsoft三、参数方程情况三、参数方程情况2222()()( )( )dsdxdytt则 (t), x= (t)设曲线C: (t) (t)在上y= (t)有连续导数。22S=( )( )tt dt第四节 弧长mathsoft33cos tC: asin tx=a例3. 计算星型线的全长。y

26、=解解:14SS由对称性 3232( cos)( sin)dsatatdt3 sin cosattdt2200412sin cos Sdsattdt14SS第四节 弧长210112sin62aaaoxymathsoft四、极坐标情况四、极坐标情况cosy=sinx=r( )设C: r=r( ),() 则 r( )2222=( )( )=dsxydrr d22 S=rr d故第四节 弧长mathsoft2 r =cos2例4、求双纽线的全长。解解:22dsrr d2sin 2cos2cos2cos2dd44200 44cos212sinddS由对称性212sint令120 4 24 2 (12)

27、1ndtSlt则第四节 弧长mathsoft一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功=F (b-a)常力做功: oF(x)abxxx( )dF x dx变力做功: 功的微元( )abF x dx例例1:q 把一个带电量的点电荷放在r轴上坐标原点o处，它产生一个电场。若有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o为r的地方,求电场将其从a点沿r轴移动到b点所做的功。第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第五节 功 水压力和引力mathsoft解解:212 ,( )qr rdrF rkr。取小区间而功的微元2 ( )qdF r drkdrr则2113. (-)baqkdrkqrab。1.

28、, ra b。取变量a处的电位场强2q kdrraqbka 若则称为电场在第五节 功 水压力和引力mathsoft例例2:33r ,1t/m =9.8/m 半径为 的半球形水池中注满了水，要把池中水全部抽出 需做功多少？（比重 千牛）解解: 建立坐标如图建立坐标如图x yo222xyR则圆的方程为: 1 0, xR。取积分变量2222 ,9.89.89.8 ()x xdxdFdVy dxRxdx。取微区间 则 动微元229.8()ddF xx RxdxRRxx dx第五节 功 水压力和引力mathsoft2203 9.8() Rx Rxdx。注:假设建立坐标如右图，那么计算较烦第五节 功 水压

29、力和引力224019.8 24RRxx249.87.693()4RRKJmathsoft二、水压力液体的侧压力二、水压力液体的侧压力: hp=h(:)已知水深 处的压强 比重 ，则水中平放的平板所收压力 P=p A面积 :P=?问 水中竖放的平板所受压力h解解:1 , ,( )xa bp xx。变量压强2 , ( )( )( ) ( )x dxdpp x dA xxdA xxf x dx。 取微区间 则压力微元3 ( )baPxf x dx。第五节 功 水压力和引力mathsoft例例3:有一半径为R=3m的圆形溢水洞,求水位为3m时,作用在闸板上的侧压力。解解: 建立坐标如图建立坐标如图ox

30、yx dxx222 39xy则圆方程1 0,3x。变量 22 , 2 29x dxdpxdAx ydxxx dx。取则1896.04()千牛33222003 2929(9)Pxx dxxx dx 。第五节 功 水压力和引力mathsoft例例4: 假设在例假设在例3中水位为中水位为6m时，侧压力为多时，侧压力为多少？少？解解: 建立坐标如图建立坐标如图oxyx dxx( , )x y222 ( -)x RyR则圆的方程0,2 xR222 2()dPxydxx RxRdx22202()Rpx RxRdx第五节 功 水压力和引力mathsoft222022202()() 2()RRxRRxRdxR

31、x RxRdx2222230321()232RRxRRRR 26 3RR即 时，27 ( )279.8()820.26Pt千牛（千牛）第五节 功 水压力和引力mathsoft三、三、 引力引力or1m2m122mmF=kr引力 方向同r12: m ,m 质点距离r例例5: lmma设有一均匀细棒,其长为 ,质量为 ,另有一质量为 的质点和棒在一条直线上,且到棒的近端距离为 ,求棒对质点的引力。第五节 功 水压力和引力mathsoft解解: 建立坐标如图建立坐标如图omxaa lxx dxM , ,xa alx xdx变量 取微区间 221mmdxkmMldFkdxxlx则 2111() ()a

32、 lakmMkmMFdxlxlaalkmMa al第五节 功 水压力和引力mathsoft一、函数的平均值一、函数的平均值ba f(x) 1y=f(x)dx=f()b-a设在a,b上连续,则平均值例例:解解:2x2 y=e sinx+x +cosx -,计算在上平均值。221sincos )2xyexxx dx（2201(cos )3xx dx第六节第六节 平均值平均值第六节 平均值mathsoft二、均方根二、均方根定义: 函数平方的平均值的开方成为均方根。如如:b2a1f (x)dx b-a为f(x)在a,b上的均方根例如例如: 非恒定电流的电器上标明的电流值就是指电非恒定电流的电器上标明

33、的电流值就是指电 流的均方根。流的均方根。第六节 平均值mathsoft例例:m i(t)=I sint 0,求正弦电流在上的有效值。解解:2222220011( )sin2mIIt dtItdt201cos22mtIdt022mmII第六节 平均值mathsoft小结小结:1、几何运用: 面积 旋转体,知平面截 面立体体积平面曲线弧长2、物理运用: 做功侧压力引力3、平均值,均方根定积分习题课定积分习题课定积分习题课mathsoft例例1:2 ,2yxyxyx求由及所围图形面积。解解: 画图，求出交点画图，求出交点 12201 (2 - )(2 -)Ax x dxx xdx761401 (

34、-)(-)22yyAydyydy或76o12xy2yx2yxyx定积分习题课mathsoft例例2: 32 y=x -x -2x 求曲线与x轴所围图形的面积。 解解:322(2)(1)yxxxx xx 0 -1,0,2yx令得(-1,0)(0,0)(2,0)x故曲线与 轴交点2321 2Axxx dx21(2)(1)x xxdx0210(2)(1)(2)(1)x xxdxx xxdx0232321037(2 )(2 )12xxx dxxxx dxoxy定积分习题课mathsoft例例3:2(0,0),0,1yaxbxcx设抛物线通过点且当2,0, ,ya b cyaxbxc时试确定的值，使抛物

35、线41,0,9xyx与直线所围图形面积为且该图形绕 轴旋转而成的旋转体体积最小。解解:2 yaxbxc过0点2 0 cyaxbx故1204 ()932abaxbx dx又43 32ab定积分习题课mathsoft1122200 ( )()xV by dxaxbxdx124320(2)a xabxbxdx22()532abab221 4343 ()()5 3232 32bbbb422 ( )()0531515bbV b又 ( )015V b又5 ,2,0 ,3abc 故时 体积最小定积分习题课mathsoft例例4:2 ,yx已知试在0,1内求一点x,使下图两阴0影的面积相等,并求两阴影绕x=x

36、 旋转而成立体的体积。解解:001220 (1)xxx dxxdx由02 3x 得方法一方法一:2412940922()()33Vydyydy2102()318ydy定积分习题课mathsoft方法二方法二:022 , 33xxxyy 坐标平移至则22 ()3yx抛物线方程为2 (01)3xyy即2102 V()318ydy定积分习题课mathsoft例例5:2 cos xytdt求曲线的全长。解解:2 cos -,2 2xytdt 定义域为22222 1( )1cosSy xdxxdx全长2220022cos2 2cos22xxdxdx14 2sin4 2422x定积分习题课mathsoft例例6:2 2 y