大学物理力矩转动惯量定轴转动定律

1、转动平面 沿Z 轴分量为 对Z轴的力矩对O点的力矩：一、力矩3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律力不在转动平面内注：1在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。 只能引起轴的变形，对转动无贡献；转动平面只有 才对转动产生贡献！此力矩方向沿转轴！ 是转轴到F2作用线的距离，称为力臂。（2）4在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示，一般以向上为正，即以逆时针转动方向为正！（3） 对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。转动平面描写刚体转动位置的物理量。在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右，那么OP与极轴之间的夹角为。 角称为角坐标

2、或角位置。角坐标为标量，但有正负，符号与极坐标辐角一致。二、刚体转动的角量描述1.角坐标描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：称为刚体的角位移xyPR描写刚体转动快慢和方向的物理量。角速度方向：满足右手定那么，沿刚体转动方向右手大拇指指向。2.角位移3.角速度 角速度是矢量，但对于刚体定轴转动来说，角速度的方向只有两个：上或下，因此用正负号就可表示角速度的方向，而不必写成带有箭头的矢量形式。刚体上任一质元的速度表示为刚体上任一质元的切向和法向加速度分量表示为3.角加速度 角加速度也是矢量，同角速度一样，对定轴转动而言，只有向上或向下两个方向，因此也是用正负号来表示其方向。 角坐标、角位移、角

3、速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动。 位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。说明：应用牛顿第二定律，可得O对刚体中任一质量元外力内力采用自然坐标系，上式在切向投影的分量式为O三、刚体定轴转动定律注：这两个力其实都是与转轴垂直的分力，都在转动平面内。至于与转轴平行的力或分力在这里不予考虑！用 乘以上式左右两端得 设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述类似方程，将这N个方程左右相加得 根据内力性质每一对内力等值、反向、共线，对同一转轴的力矩代数和为零得O刚体定轴转动定律得到： 上式左端为刚体所受外力对转轴的合力矩，以Mz表示；右端求和

4、符号内的量与转动状态无关，而只与刚体的质量分布有关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到其中转动惯量：单位：kgm22Mz 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。Mz 与的符号相同(方向相同)。大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！ ，转动惯量是转动惯性（1）Mz 一定，J说明：刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。质元的质量质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式按转动惯量的定义有三、转动惯量2J 和转轴位置有关，同一个物体对不同转

5、轴的转动惯量不同。1J 和质量分布有关，质量分布得离转轴越远，那么J 越大！如拖拉机飞轮。当然，同样大小的球形分布，转动惯量质量，因此半径相等的实心铁球绕直径轴的转动惯量要大于石球或木球。竿子长些还是短些较平安？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？质点平动的牛顿第二定律与刚体定轴转动定律的比照：平动：线动量平动定律 转动：角动量转动定律转动惯量：转动中惯性大小的量度。质量：平动中惯性大小的量度。 与牛顿第二定律相似，力矩Mz与角加速度是共生共灭的，两者方向(符号)相同，力矩是刚体转动状态()发生变化的原因，当Mz=0时，=0，保持不变，刚体作匀角速度转动。 质量离散分布 J 的计算方法 质量连

6、续分布：质量元：体积元 对质量线分布的刚体： 对质量面分布的刚体：例题3-1 求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：1转轴通过棒的中心并和棒垂直；2转轴通过棒的一端并和棒垂直；3转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。解：(1)建立坐标系，分割出质量元单位长度质量（线密度）： ，因此公式h以上说明，J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关！23公式式中隐含着一个关于转动惯量的平行轴定理！平行轴定理定理表述：刚体绕平行于质心轴的某轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间距离平方的乘积：CO可见，在所有彼此平行的轴中，绕通过质心的轴的转动惯量 最小！离质心

7、轴越远， 越大！平行轴定理的证明：OPCdxmi iii对C 轴O 轴平行于C 轴质心轴对O 轴由图知可见，平行轴定理说明：平行轴定理适用于任意形状刚体，无论一维、二维还是三维。另外，轴线可以在刚体内，也可以在刚体外。在质心坐标系中，质心位于原点！例题3-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rdrR解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr 的圆环如图，环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr。可得由于圆柱体是由一个个薄圆盘堆积起来的，因此如：平行轴定理：对于薄平板刚体，有垂直轴定理：yxzxiyimiri几种典型形状刚

8、体的转动惯量圆筒 圆环J=mR2 RmO O 圆柱 R2R1细棒R薄球壳 实心圆球 R空心 在计算转动惯量时，应注意充分运用平行轴定理和薄片刚体的垂直轴定理！想一想：圆柱 实心球 的原因？实心球与空心球壳相比呢？求一质量为m的均匀实心球对其一条直径轴的转动惯量解：一球绕Z 轴旋转，在离球心 z 高度处切一厚为dz 的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：XYZORrdzzXYZORrdzz例题3-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如下图。根据质点的牛顿第二定律和刚体

9、的定轴转动定律，可列出以下方程组：式中是滑轮的角加速度大小，a是两物体的加速度大小。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度大小相等，即从以上各式即可解得而当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有中学物理要求！ABC光滑又例：1、确定研究对象(隔离物体)2、受力分析3、列出方程组： 平动物体列牛顿第二定律方程； 转动刚体列转动定律方程； 角量与线量关系式； 其他关系式。解题方法：4、求解方程组例题：测轮子的转动惯量 如下图，用一根轻绳缠绕在半径为R、质量为M 的轮子上假设干圈后，一端挂一质量为m的物体。从静止下落h距离用了时间t，求轮子的转动惯量J。h例题3-4 一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间滑动摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。rRedrd此处e是盘的厚度。整个圆盘所受摩擦阻力矩就是因m=eR2，代入得根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度，于是有这说明圆盘在做匀减