直线的倾斜角与斜率

1、 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？它的位置由哪些条件确定？xyO两点确定一条直线。两点确定一条直线。已知直线已知直线 l 经过点经过点P，直，直线线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？lllP过点过点P可以作无数条直线，可以作无数条直线，这些直线相对于这些直线相对于x轴来说，轴来说，有的平坦些，有的陡些。有的平坦些，有的陡些。我们如何用数学概念来我们如何用数学概念来刻画这些直线的刻画这些直线的“陡陡”的程度？的程度？ 设直线设直线l与与x轴相交于点轴相交于点P，将，将x轴绕点轴绕点P按按逆时针方向旋转至直线逆时针方向旋转至直线l

2、重合时所成的最小正重合时所成的最小正角角 叫做直线叫做直线l的倾斜角。的倾斜角。xyOlP 当直线当直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合时，规定它的倾斜角为时，规定它的倾斜角为 00 .直线的倾斜角的取值范围为：直线的倾斜角的取值范围为：.180000 2. 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角。平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角。1. 直线的倾斜角反映了直线的倾斜程度。直线的倾斜角反映了直线的倾斜程度。3. 已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置； 已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角 ，也不能确定直线的位置。，也不能确定直线的位置。xy

3、Oll l 4. 直线上的一个直线上的一个点点和这条和这条直线的直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确定一条直线定一条直线。1. 生活中的倾斜程度生活中的倾斜程度 日常生活日常生活中，我们经常用中，我们经常用“升高量与升高量与前进量的比前进量的比”表示倾斜面的表示倾斜面的“坡度坡度”（倾斜程度），即（倾斜程度），即前进量前进量升高量升高量坡度坡度 升高量升高量前进量前进量A BC D2. 直线斜率的定义直线斜率的定义数学上，我们把一条直线的倾斜角数学上，我们把一条直线的倾斜角 的正切值的正切值叫做这条直线的斜率。叫做这条直线的斜率。用小写字母用小写字母 k表示，表示，即：即： k=tan 当直

4、线与当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是轴垂直时，直线的倾斜角是 900.,900时时当当 不不存存在在即即不不存存在在k, )(tan ,90000时时当当 k0,0189000时时当当 k0 =arctankk0 = +arctank =arctan( k)解：解：(1)k= 20，故，故 为钝角，为钝角， = +arctan( 2)=arctan2；直线的一个方向向量直线的一个方向向量 (1,k)=(1,-2).例例2（1）已知直线斜率）已知直线斜率k= 2，求倾斜角，求倾斜角 及及 一个方向向量；一个方向向量；（2）已知直线）已知直线l的一个方向向量为的一个方向向量为 ， 求直线求直线l

5、的倾斜角和斜率。的倾斜角和斜率。)3,3( d, 0333)2( k 32)3arctan( 直线直线l的方向向量的方向向量 、倾斜角、倾斜角 、斜率、斜率k都可都可以刻画直线以刻画直线l的方向，它们之间可以互相转化：的方向，它们之间可以互相转化：),(vud (1)已知已知),(vud u 0，k=,uvtan =k.u=0，k不存在，不存在， =900.(2)已知已知 900，k=tan ，)sin,(cos d =900，k不存在，不存在，) 1 , 0( d(3)已知已知ktan =k，), 1 ( kd . 01)3( ; 6)7(2)2( ;453213 xyxyx）（斜率。斜率。

6、求下列直线的倾斜角和求下列直线的倾斜角和例例解：解：(1),4 , 3( d直直线线的的一一个个方方向向向向量量为为,43 k斜率为斜率为.43arctan倾斜角为倾斜角为(-2,-1),(2)直直线线的的一一个个法法向向量量为为, 2 k斜率斜率arctan2. 倾倾斜斜角角为为(3)(3)直线斜率不存在，直线斜率不存在，。倾斜角为倾斜角为2 1. 已知直线已知直线l与向量与向量(-4,-3)平行，求直线平行，求直线l的斜率的斜率 和倾斜角。和倾斜角。.43arctan43，倾倾斜斜角角为为的的斜斜率率为为解解：直直线线 l和和倾倾斜斜角角。的的斜斜率率的的直直线线、求求经经过过两两点点l)

7、3Q(2,2)3P(1,2.33arctan,312332 倾倾斜斜角角为为解解：直直线线的的斜斜率率 k1、直线的倾斜角及其范围：、直线的倾斜角及其范围：0 .2、直线的斜率定义：、直线的斜率定义：k=tan (900)3、斜率、斜率k与与倾斜角倾斜角 之间之间的关系：的关系： 0tan18090)(tan900tan90000tan0 kkkk不存在不存在不存在不存在)(21211212xxyykxxyyk 或或1. 必做题：练习册必做题：练习册11.2/A组组1,2,3,3. 选做题：直线选做题：直线l经过经过P(2, 1)、Q(m,3)， 求直线求直线l的斜率和倾斜角。的斜率和倾斜角。

8、2. 思考题：过点思考题：过点P(x0,y0)且方向向量且方向向量 的直线的直线l都可以用都可以用y y0=k(x x0)表示吗？表示吗？)sin,(cos d1. 直线的倾斜角直线的倾斜角与斜率与斜率k的关系是的关系是 tan k2. 过点过点A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率的直线的斜率)212121xxxxyyk （3. 确定一条直线的要素：定位、定向。确定一条直线的要素：定位、定向。直线上的一点和直线的方向向量（或法向量或倾直线上的一点和直线的方向向量（或法向量或倾斜角或斜率）斜角或斜率）问题问题1：若：若直线直线 l经过经过点点A(-1,3)，斜率为，斜率为 2，点，点

9、P在在直线直线l上运动上运动,则则点点P的坐标的坐标(x,y)满足怎样的关系式？满足怎样的关系式？xl) 3 , 1(Ao),(yxPy2) 1(3xy（点（点P P不同于点不同于点A A时）时）)1( 23xy 直线直线l上上每一点的坐标每一点的坐标(x,y)都满足：都满足：)1( 23xy012 20 0 坐标坐标满足此方程的每一点都满足此方程的每一点都在在 直线直线l l上上. .（A( 1,3)也满足）也满足）xyo),(000yxP),(yxPl0yy 0 xx 故:)(00 xxkyy )(0 xx )(0 xx kxxyy 00问题问题2：若直线若直线 l经过点经过点P(x0,y

10、0) ,斜率为斜率为k, 求此求此直线直线 的的方程。方程。(1)过点过点P(x0,y0),斜率为斜率为k的的直线直线l上上每个点的坐标都满足每个点的坐标都满足方程方程y y0=k(x x0)；(2)坐标坐标满足这个方程的每一点都在过满足这个方程的每一点都在过点点P(x0,y0)，斜率，斜率为为k的的直线直线l上上。经过点经过点P(x0,y0) ,斜率为斜率为k的直线的直线 l的方程为：的方程为： y y0=k(x x0)。这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，所以我们把它叫做直线的所以我们把它叫做直线的点斜式点斜式方程。方程。直线的点斜式方程可表示所有直

11、线吗直线的点斜式方程可表示所有直线吗?x=x00P.yo00, yxx所以所以:直线的点斜式方程直线的点斜式方程仅表示斜率存在仅表示斜率存在的的直线。直线。当当直线直线l的倾斜角的倾斜角为为900时时, 斜率不存在斜率不存在这时直线这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合,那么那么l的方程就是的方程就是:思考问题：此时不能表示成此时不能表示成y y0=k(x x0)的形式。的形式。例例1 已知直线已知直线l经过点经过点P( 2,3)，求满足下列条件的，求满足下列条件的直直线线l方程。方程。（1）斜率为）斜率为2；（2）倾斜角为）倾斜角为 00； （3）倾斜角为）倾斜角为 450； （4）倾斜角

12、为）倾斜角为900 .)2(23 xy3 y23- xy2 x例例3 过点过点( 3,2)，求直线，求直线l，使其倾斜角是直线，使其倾斜角是直线x-y+5=0的直线倾斜角的两倍。的直线倾斜角的两倍。解：解：, 105 kyx的斜率的斜率因为直线因为直线，倾斜角为倾斜角为4 ，的的倾倾斜斜角角为为直直线线2 l. 3 xl的方程为的方程为所以直线所以直线1. 已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为300，且直线在，且直线在y轴上的轴上的 截距为截距为 2，求直线，求直线l的方程。的方程。. 233)2, 0(,3330tan0 xylk方程为方程为所以直线所以直线，直线过点直线过点解：直线的斜率为解：直线的斜率为2. 已知点已知点P(1, 1)，直线，直线l的方程为的方程为x 2y+1=0，求，求 过点过点P，倾斜角比，倾斜角比l的倾斜角大的倾斜角大450的直线方程。的直线方程。).1(31, 3tan11tan)45tan(4521tan2100 xyl所所以以所所求求的的直直线线方方程程为为斜斜率率为为，为为所所以以要要求求直直线线的的倾倾斜斜角角，满满足足，倾倾斜斜角角的的斜斜率率是是解解：直直线线 1. 必做题：练习册必做题：练习册11.2A组组/4,5,6，B组组/42. 思考题：