量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解

1、 量纲分析与无量纲化实例及量纲分析与无量纲化实例及MATLABMATLAB求解求解2.9 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-

2、2=L3M-1T-2量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT12003321量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利

3、用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT12003321对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为

4、什么假设这种形式为什么假设这种形式321glmt 设设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(

5、glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是

6、基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1

7、航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),

8、(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvl得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲

9、个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf1111

10、11,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3 量纲分析量纲分析例：爆炸的冲击波例：爆炸的冲击波(爆炸的破坏力分析爆炸的破坏力分析)(一一)问题提出问题提出 爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立爆炸的冲击波是造成破

11、坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规律。律。研究冲击波的半径随时间变化的规律研究冲击波的半径随时间变化的规律（二）量的分析（二）量的分析 爆炸爆炸能量释放能量释放.发生是在一点上突然释放出大量发生是在一点上突然释放出大量的能量。的能量。主要变量：主要变量：E能量能量 爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播.假设球的半径为R:是关于时间的函数. 时间t. 半径R的变化还与空气密度 . 空气气压 .有关.00P即00, ,RE tP设00(, ,)RfE tP(三

12、)假设 1)爆炸在一点突然发生,在气压为 的空气中传播; 2)同一时间只一点发生爆炸,传播空间内无大型障碍物的阻止; 3)爆炸在极短时间内释放能量. 时,能量 E 完全释放.0P00t (四)模型的建立 寻求关系式 00( , ,)0f R E tP量纲分析:力学问题,基本量纲:L,M,T 涉及物理量:00, ,R E tP各物理量的量纲:0022222003001222120dim dim ,dim dimdim,/RLM TEL MTflMLTLL MTtL M TL MTPL MTF sfsMLTLL MT 功：压强：从而可以得到量纲矩阵:35nmAA3 5120310101102102

13、A00( )( )( )()()REtPRank(A)=3 解齐次线性方程组:AY=0.其中Y=(y1, y2, y3, y4, y5).有m-r=5-3=2个基本解.解得: 1(5,1,2,1,0)2(0,2,6,3,5)TTYY 得2个无量纲量:512026350012R EtEtP变换形式得:1 / 5021 / 5602301 12 2RE ttPE上式满足函数式:( 11,22)0 由此可得: ,代入 得11(22)F1/50211()REt21 / 50()(22)E tRF 其中, 可以通过小型爆炸实验分析后用数学软件(MATLAB)或最小二乘法求得,最终求得爆炸冲击波表达式.表

14、达式近似描述了爆炸冲击波的传播过程. 反过来,根据爆炸过程的高速摄像照片,可以计算出爆炸释放的能量.即已知t时刻的R，求出E.0( 22)F和2.9.4 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v, 星球半星球半径径r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0

15、( xgx grkm223个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量, tx将被简化将被简化cctttxxx,令令 xc, tc的不同构造的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同简化结果的不同简化结果

16、),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 为无量纲量为无量纲量)/(80008 . 91063703smrg1）2）3）的共同点的共同点只含只含

17、1个参数个参数无量纲量无量纲量 );(txx 解解重要差别重要差别rgv2考察无量纲量考察无量纲量v1在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 项项无解无解x不能忽略不能忽略 项项1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxxtttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 项项0)(tx不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项0)(txvxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原