基本单位向量组线性无关向量组的线性相关性实用教案

1、mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211., 2 , 1),(21miaaainiiTmjjjmjjjaaaaaa),(2121nj, 2 , 1矩阵(j zhn) A的行向量矩阵(j zhn) A的列向量0 = ( 0,0,0 ),(21naaa., 2 , 1,nibaii维数相同，即同型。零向量(xingling)负向量第1页/共25页第一页，共26页。2.定义(dngy)2:。记为的长度或范数或模称为向量数值,),(2222121nnaaaaaa0000为单位向量。称1)21,21(),31,31,31().1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0

2、, 1 (21neee第2页/共25页第二页，共26页。3.数乘:),(21nkakakak线性运算满足8条运算规律(gul),见教材.二、n 维向量(xingling)的线性运算),(2211nnbababa1.加法(jif):),(2211nnbababa),(21naaa),(21nbbb2.减法:设向量第3页/共25页第三页，共26页。1.(1,0,2, 1)( 2,3,0,1)(1, 1, 1,4)4()3(2)2(5 ). 设，求，使2.(1,0, )(3, 2,1)( ,4,3)50, .xyzxy z设，且求，3.(1,1,0, 1)( 2,1,0,0)( 1, 2,0,1)3

3、2. 已知向量，试求向量4.234(1,0,1),(3,2, 1),.求解向量方程，其中是三维向量1231235.(2,5,1,3)(10,1,5,10),(4,1, 1,1).3()2()5(),.设，若求第4页/共25页第四页，共26页。(0, 1,2)4.解：(1,2,3,4)5.解：214(,0,10)33 1.解：112xyz 2.解：，(6, 1,0, 2)3.解：答案(d n)第5页/共25页第五页，共26页。线性表示(biosh)121211221212,.mmmmmmk kkkkk 对于向量，如果有一组数，使，则说向量 是向量组的线性组合，或称 可由线性表示(1) 零向量(x

4、ingling)可由任一向量(xingling)组线性表示.(2) 向量(xingling)组中任一向量(xingling)均可由该向量(xingling)组线性表示.(3) 任一向量均可由其基本单位向量组线性表示.定义1第6页/共25页第六页，共26页。定义(dngy)2:使，零的数，若存在一组不全为设向量组mmkkk,2121mmkkk22110线性相关。则称向量组m,21线性无关。称向量组m,21否则(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关(xinggun);若该向量是非零向量,则它线性无关.(2) 两个(lin )向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3)

5、 任一含有零向量的向量组线性相关.(4) 基本单位向量组线性无关向量组的线性相关性第7页/共25页第七页，共26页。的相关性。：讨论例) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (1321解：332211kkkO设系数(xsh)行列式为11113242114128230方程组有非零解，即有非零的数使321,kkk332211kkkO线性相关。321,故1231231232402300kkkkkkkkk第8页/共25页第八页，共26页。的相关性。，讨论向量组线性无关，：设向量组例321133322211321,2解：即332211kkk设O332221131)()()(kk

6、kkkkO123, 线性无关131223000kkkkkk0321kkk.,321线性无关第9页/共25页第九页，共26页。).1(,3212121mmmm线性无关，证明向量组线性无关，且：设向量组例)()()(:2211mmkkk设证Om21由)()()(1131221mmmmkkk= Ommmmkkkkkkk)()()(1123112= O即：00011312mmmkkkkkkk系数(xsh)行列式为011101110) 1(0) 1)(1(1mmm线性无关。，向量组m,21第10页/共25页第十页，共26页。1234122334411223344112233441122334414.,(

7、A),(B),(C),(D), 例 已知向量组线性无关，则线性无关线性无关线性无关线性无关C第11页/共25页第十一页，共26页。相关性的判定及有关(yugun)重要结论1.线性相关与线性组合的关系(gun x)定理各向量线性表示。余至少有一个向量可由其其中线性相关的充要条件是，：向量组定理1)2(121mmm证：使，在一组不全为零的数线性相关，则一定存，若向量组,)2(2121mmkkkmmmkkk22110，于是有：不妨设01kmmkkkk12121不妨设mmkk221mmkk221O线性相关。，即向量组)2(21mm第12页/共25页第十二页，共26页。线性表示且表示式惟一，可由线性相关

8、，则，线性无关，而向量组，：设向量组定理mmm2121212证：使，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，向量组,2121mmkkkkmmkkkk22110，否则，有这里必有0kmmkkk22110线性无关知：，由向量组m21021mkkk线性表示。，可由故m21第13页/共25页第十三页，共26页。mmkkk2211设mmlll2211mmmlklklk)()()(222111O线性无关知：，由向量组m21., 2 , 1,milkii所以(suy)表示式惟一。第14页/共25页第十四页，共26页。2.相关性的判定(pndng)定理定理3：在一个(y )向量组中，若有一个(y )部分向量组线

9、性相关， 则整个向量组也必定线性相关。推论：一个线性无关(wgun)的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关(wgun)。.)(), 2 , 1(), 2 , 1(),(42122221112112121mAraaaaaaaaaAmimiaaanmmnmmnnmiiniii的秩构成的矩阵相关的充要条件是由线性维向量个：定理第15页/共25页第十五页，共26页。证明(zhngmng): ,21线性相关mmmm向量线性表示为个可由其余妨设知，必有某个向量（不由定理1)11111mmkk写成分量(fn ling)形式为jmmjjmjakakaka, 112211对A作初等变换mnmmnmmmnmm

10、aaaaaaaaaA21, 12 , 11 , 11121111000, 12 , 11 , 111211nmmmnaaaaaamAr)(第16页/共25页第十六页，共26页。jrrrrjrrrrjrraaaaaaaaaD, 1, 11 , 1,1, 111110)(1rDrAr按最后一列展开，有：将jD0, 12211rjrjrjjjDaAaAaAanj, 2 , 1按向量(xingling)形式写，上式为：rrjDAAA122110, 0rD,121线性相关r线性相关。从而m,21: , 0,)(rmrAr不妨设0rDrA阶子式的最左上角的且考虑(kol)A的r+1阶子式第17页/共25页

11、第十七页，共26页。推论(tuln)1：当mn时，m个n维向量线性相关。推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。nmA推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关(wgun)的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们(t men) 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)n.第18页/共25页第十八页，共26页。定理5：若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 也线性无关。), 2 , 1(),(21miaaairiii), 2 ,

12、1(),(1,21miaaaariiriii用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量(fn ling)后仍旧线性无关。推论：r 维线性无关的向量(xingling)，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量(xingling)仍旧线性无关。第19页/共25页第十九页，共26页。123(1,2, 1),(2, 3,1),(4,1, 1)1.讨论的相关性.解：114132121321A37037012100037012132)(Ar线性相关。321,第20页/共25页第二十页，共26页。12342.11112213 2 32 3 2 2 5131 1为何值时，向量组（， ， ， ， ），（ ， ，

13、 ， ， ），（ ， ， ， ， ），（， ， ， ， ）线性相关？解：11315223232312211114321A2022010010101102111140000001001011021111, 43)(4Ar时，线性相关。4321,第21页/共25页第二十一页，共26页。123121231212123(I),(II)(I)3(II)2,.immt 根据已知条件可知向量组：可由向量组： ，线性表示，并且向量组中向量个数 大于向量组中向量个数 ，根据结论：如果向量组可以由向量组 ， ，线性表示，并且则向量组线性相关，得：线性相关.相关故应填112123122123121233.,2,52

14、,_. 若向量组与向量组有如下关系：则一定是线性解第22页/共25页第二十二页，共26页。121122124.(1)(2)(3)(4)(5),0,;ssssk kkkkk 从下列命题中选出正确的命题，若命题不正确，举出一反例单独的零向量是线性相关的；任何一个非零的向量是线性无关的；对应分量成比例的两个向量必线性相关；含有零向量的向量组必线性相关，不含零向量的向量组必线性无关；一组为零的数，使则向量组线性无关.,).,(),1 , 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 1 ()12(;,)11(;0)10(,)9()2(,)8(,)7(;,)6(32132121212121

15、3212132121一线性表示，且表达式唯一定可由则设向量组则线性表示，可由线性无关的向量组维单位向量组设无关的任意行向量组也线性关，的任意列向量组线性无，则设；后的向量组也线性无关线性无关，则减少分量设向量组部分向量组线性相关；线性相关，则其中任意设向量组线性表示；一定可由线性相关，则向量组线性表示一定不可由线性无关，则向量组cbasneeenAAAssnnsssss第23页/共25页第二十三页，共26页。12121212121212(1) (2) (3) (6) (10) (11) (12).(4).(1,1)(2 2).(5)(1,1)(2 2)000.(7)(1,0)(0 0).解， ， ， ， ，均正确，其余的都不正确命题的前半部分是正确的，而后半部分不正确 反例：， ，不含零向量，但，线性相关反例：， ， ，但，线性相关反例：， ， 线性相关，但不可由线性表示1211212(8)(1,0)(0,0)(1,0)0.(9)(1,2,4,5)(2,4,5,6)(1,2)(2,4).(4) (5) (7) (8) (9).反例：，线性相关，但线性无关反例：，线性无关，但 ，线性相关故， ， ， ， 是不正确的第24页/共25页第二十四页，共26页。谢谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共26页。N