2误差的基本性质与处理学习教案

1、会计学12误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理第一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。第1页/共89页第二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。第2页/共89页第三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作

2、不当等。第3页/共89页第四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。oLilioiiLl ni,2, 1)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22第4页/共89页第五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。54)(|df21)(df326745.00)(f)()(ff)0()(maxff返回本章目录)0()(ff)(f0lim1nniin服从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。第5页/共89页第六页，编辑于星期五：十四点 五十二分。图2-1为正态分布曲线

3、以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 第6页/共89页第七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。 (一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为: niinlnnlllx1211nlll,21三、算术平均值三、算术平均值第7页/共89页第八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知

4、，因此 由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii第8页/共89页第九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随

5、机误差称为残余误差，简称残差：(2-9) 此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值：(2-10) 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。 xlii0lnillloii, 2, 10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0 x若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。第9页/共89页第十页，编辑于星期五：十四点 五十二分。=1879.65，

6、 计算差值 和 列于表 很容易求得算术平均值 1879.64 。(2-11)0lil0 xxxliininiiixnlv11xxniiv10il64.187901. 065.1879x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101. 01niiv01.0101010iilxiliv12表第10页/共89页第十一页，

7、编辑于星期五：十四点 五十二分。nlxnii1nininiiiinnlnlv111)(niixnl1niiv1xniixnl1xniiv1xniixnl1xniiv1xAnvnii21Anvnii)5.02(1x第11页/共89页第十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 取2000.067 , 52102n05.0201.0101Anviixmmmmlxii0673.20001174.2200011111xiliv序号 (mm) (mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.0820

8、00.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003.0111iiv22表第12页/共89页第十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111第13页/共89页第十四页，编辑于星期五：十

9、四点 五十二分。 )(f2exp)2(1)(22f21hexp1)(22hf四、测量的标准差四、测量的标准差第14页/共89页第十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。由于值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此值可作为随机误差的评定尺度。值愈大，函数 减小得越慢；值愈小， 减小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图2-2所示。标准差不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度

10、测量，其标准差也不相同。 )(f)(f第15页/共89页第十六页，编辑于星期五：十四点 五十二分。测量列的或然误差，它将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（n/2个）随机误差的数值落在- +范围内，而另一半随机误差的数值落在- +范围以外： ，查 表，得到 时，z=0.6745，故有 其实际意义是：若有n个随机误差，则有n/2个落在区间-,+之内，而另外n/2个随机误差则落在此区间之外。（三）算术平均误差 测量列算术平均误差的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示： 由概率积分可以得到与的关系： 目前世界各国大多趋于采用作为评定随机误差的尺度。这是因为：

11、的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），本身又5.0)()(fzf)(zf5 . 0)(zf326745.0 z)(|11nnnii547979. 02第16页/共89页第十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。恰好是高斯误差方程 式中的一个参数，即 ，所以采用，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合； 对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度； 极限误差与标准偏差的关系简单： ； 公式推导和计算比较简单。五、标准偏差的几种计算方法五、标准偏差的几种计算方法 （一）等精度测量列单次测量标准偏差的计算 (2-13)式中， 称为算术平均值误差将它和 代入上式，则有(2-14) )(f

12、s3im0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0 xlviixnnxxvvv2211第17页/共89页第十八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。将上式对应相加得 ： ，即(2-15)若将式(2-14)平方后再相加得：(2-16)将式(2-15)平方有：当n适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18)xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv122121212221212122nnnnjijiniiniixniji1nvniiniinii121

13、212212nniiniivn122212nvi第18页/共89页第十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-26) 此式称为别捷尔斯（Peters）公式，它可由残余误差 的绝对值之和求出单次测量的标准差 ，而算术平均值的标准差 为：(2-27)nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1253. 17979. 01) 1(2533. 12nnvi1253.11nnvniixvx第19页/共89页第二十页，编辑于星期五：十四点 五十二分。2-42-4 用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。 解：计算得到的值分别填于表中，因此有 用贝

14、赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速 mmmmmmmmz0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002

15、250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825. 0mmvii)(2mmvi32表第20页/共89页第二十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-28)(2-29)(2-30)nxxx,21maxxminxminmaxxxnnndE)()(nndEnndndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3

16、.74nd42表第21页/共89页第二十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-31)(2-32)08. 309. 000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010max|1inKmaxiimax|ivmax|1invKnKnK第22页/共89页第二十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。10nmmvi045. 0max57. 0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010maxnK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61

17、 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152表第23页/共89页第二十四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 例例2

18、-72-7 某激光管发出的激光波长经检定为 ，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长 ，试求原检定波长的标准差。 解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差 为： 故标准差为： 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍； 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可m63299130. 0m63299144. 0

19、mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1第24页/共89页第二十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 用来计算，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10以后， 的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。 nx22nxn/1x第26页/共89页第二十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R或平均误差T，相

20、应公式为： (2-22)(2-23) 若用残余误差表示上述公式，则有：(2-24)(2-25) 例例2-8 2-8 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样，表中的算术平均值为 。因为 ， )1(3212nnvRnii) 1(5412nnvTnii0,045.751niivmmx0045.751045.750101mmmmnlixinnRxx32326745. 0

21、nnTxx54547979. 0第27页/共89页第二十八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。六、测量的极限误差六、测量的极限误差（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差0101iivmmmmnvnii0303. 011000825. 0112mmmmnx0096. 0100303. 0mmmmRx0065.00096.06745.06745.0mmmmTx0076. 00096. 07979. 07979. 0第28页/共89页第二十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-33)(2-34)pp=2(t)p=1-2(t)121)(222dedfpdedfp22221)(ddtt,

22、)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(第29页/共89页第三十页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 t=2，即|=2时，在22次测量中只有1次 的误差绝对值超出2范围；而当t=3，即 |=3时，在370次测量中只有1次误差绝 对值超出3范围。由于在一般测量中，测 量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对 值大于3的误差是不可能出现的，通常把 这个误差称为单次测量的极限误差 ，即 (2-35) 当t3时，对应的概率p99.73。 在实际测量中，有时也可取其它t值来表示单次测量的极限误差。如xlim3limxt62表t不超出 的概率超出 的概率测量次数n超出 的

23、测量次数0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111)(2t)(21t第30页/共89页第三十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：(2-36) 若已知测量的标准差，选定置信系数t，则可由上式求得单次测量的极限误差。 （二）算术平均值的极限误差（二）算术平均值的极限误差 测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差 ，即

24、 。当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限表达式为： (2-37) 式中的t为置信系数， 为算术平均值的标准差。通常取t3，则 (2-38) 实际测量中有时也可取其它t值来表示算术平均值的极限误差。但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student” distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即 (2-39)txlimxoxLx ), 2 , 1(Nii xxtxlimxxx3limxatxlim第31页/共89页第三十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 式中的 为置信系数，它由给定的置信概率 和

25、自由度 来确定，具体数值见附录3； 为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n为测量次数； 为n次测量的算术平均值标准差。 对于同一测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。 例例2-92-9 对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。 解：算术平均值 标准差 因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。 已知 ，取 ，则由附录表3查得 ，则有： xatnv11p44

26、.80266611iiniillx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx51 nv01. 003. 4at第32页/共89页第三十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。七、不等精度测量七、不等精度测量 在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。 对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。 对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测

27、量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。 对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），不 076. 0019. 003. 4limxatx99. 01p01. 0049. 0019. 060. 2limxtx第33页/共89页第三十四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。（一）权的概念（一）权的概念 在等精度测量中，各个测量值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后的测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简

28、单地取各测量结果地算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后测量结果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为 ，可以理解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。 （二）权的确定方法（二）权的确定方法 测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。 最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即 。 假定同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精

29、度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因 piinp 第34页/共89页第三十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差为： (2-40) 由此得下列等式 因为 ，故上式又可写成 (2-41) 或表示为(2-42) 即：每组测量结果的权（ ）与其相应的标准偏差平方（ ）成反比，若已知 （各组算术平均值的标准差），则可由（2-42）得到相应 的大小。测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权数同时增大或减小若干倍，而各组间的比例关系不变，但通常皆将各组的权数予以约简，使其中最小的权数为不可

30、再放简的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。 例例2-102-10 对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为 minii x, 2 , 122222211mxmxxnnniinp 22222211mxmxxppp2222143211:1:1:mxxxppppipxii xip第35页/共89页第三十六页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-42)（三）加权算术平均值（三）加权算术平均值 m组不等精度测量，得到m个测量结果为： ，设相应的测量次数为n1,n2, nm，即： (2-43) 根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值 应为： mmmmxmmmmxmmmmxxxx

31、10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.20003213214:1:16)10. 0(1:)20. 0(1:)05. 0(11:1:1:222232221321xxxppp4, 1,16321pppmxxx,21,11111nlxnii,21222nlxniimniimmnlxm1,xmiinininiimiinlllxm111121/)(12第36页/共89页第三十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 将式(2-43)代入上式得： 或简写为(2-44) 当各组的权相等，即 时，加权算术平均值可简化为： (2-45) 由上式求得得结果即为等精度的算术平均值，由此可见等

32、精度测量是不等精度测量得特殊情况。为简化计算，加权算术平均值可表示为：(2-46) 式中的 为接近 的任选参考值。mmmmmmpppxpxpxpnnnxnxnxnx212211212211miimiiipxpx11ppppm21mxmpxpxmiimii11miimioiiopxxpxx11)(0 xix第37页/共89页第三十八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 例例2-112-11 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。 解：按测量次

33、数来确定权： ，选 ，则有 ( (四四) ) 单位权的概念单位权的概念 由式（2-41）知 ，此式又可表示为 (2-47) 式中 为某精度单次测量值的标准差。因此，具有同一方差 的等精度单次测量值的权数为1。若已知 ，只要确定 ，根据（2-47）式就可求出各组的方差 。由于测得值的方差 的权数为1在此有特殊用途，故称等于1的权为单位权，而 为具有单位权的测得值方差， 为具有单位权的测得值标准差。 利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。 5, 2, 3321pppmmx94.9990mmm

34、mmmx9420.9995230019. 050016. 020025. 0394.999), 2 , 1(22miPixi) 1(22ppPixi22ipi x222第38页/共89页第三十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 例如，将不等精确测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值z的权数就为1。证明之： 设取方差ixipmixpzii, 2 , 122)()(i xiziipxDpzD22221211:1:1:mxxxmpppip1111ziizppppzpz不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。第39页/共89页第四十页，编辑于星期五：十四点

35、 五十二分。（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差(2-48)(2-49),21mxxxminiix, 2, 1xmiixn1miiixxnni1miimiiiinpnp11miimiiixxpppi11第40页/共89页第四十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-50)(2-51)miip1ixipxxxvixiixxpxpvpiiixii111221mvpmmiximii残差miimixixpmvpi112)1(第41页/共89页第四十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。八、随机误差的其他分布八、随机误差的其他分布 ( (一一) )均匀分布均匀分布xmmx9420

36、.999mvmvmvxxx1.0,4.0,5.03215, 2, 3, 3321pppmmmmmx0002. 024. 02012. 1)523() 13() 1 . 0(5)4 . 0(25 . 0322第42页/共89页第四十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。( (二二) )反正弦分布反正弦分布(2-57)021)(afaaaaaaF当当当120)(aadaE02322a3a)(f)(Faa21)(fa图 2-5o)(f)(Faaaf当当011)(22第43页/共89页第四十四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。（三）三角形分布（三）三角形分布(2-61)aaaaaF当当当1arcsi

37、n1210)(022daEaa222a2a)(f)(Faaaaaaaf当当当000)(22第44页/共89页第四十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。2-63）它的数学期望为： （2-64）它的方差和标准差分别为： （2-65） （2-66） 如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。 在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙述。（四）（四） 分布分布 令 为 个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量(2-67) 随机变量 称为自由度为的卡埃平

38、方变量。自由度 表示上式中项数或 aaaaaaaa当当当当102)(102)(0)(F22220E622a6a2v,21v222212v2v第45页/共89页第四十六页，编辑于星期五：十四点 五十二分。独立变量的个数。 分布的分布密度 如图2-8所示。 (2-68) 式中的 函数。 它的数学期望为： (2-69) 它的方差和标准差分别为： (2-70)(2-71) 在本书最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基础。2-8的两条 理论曲线看出，当 逐渐增大时，曲线逐渐接近对称。可以证明当 足够大时，曲线趋近正态曲线。值得提出的是，在这里称 为自由度，它的改变将引起分布曲线的

39、相应改变。（五）（五）t t 分布分布2)(2f000)()2(2)(222122222当当evfvv为)2(v022122222)()2(2vdevEvvv22v222vvv第46页/共89页第四十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 令 和 是独立的随机变量， 具有自由度为 的 分布函数， 具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为(2-72) 随机变量t称自由度为 的学生氏t变量。 t分布的分布密度 为（图 (2-73) 它的数学期望为： (2-74) 它的方差和标准差分别为： (2-75) (2-76) t分布的数学期望为零，分布曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化正态分布密度曲线不同

40、，如图2-9所示。可以证明，当自由度较小时，t分布与正态分布有明显区别，但当自由度 时，t分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。 v2vtv)(tf2/ )1(2)1 ()2()21()(vvtvvvtfdtvtvvvEv2/ )1(2)1 ()2()21(22vv2vvv第47页/共89页第四十八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。（六）（六）F F分布分布(2-77) F分布的分布密度 如图 (2-78) 它的数学期望为： (2-79) 它的方差和标准差分别为： (2-80)(2-81) F分布也

41、是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。12212211/vvvvF11v22v1v2v)(Ff000)()2()2()2()(2/ )(1212/21212/22/121121FFFvvFvvvvvvFfvvvvv当当)0(2)(E2022vvvdFFFf) 4() 4() 2() 2(22222121222vvvvvvv)4()4()2()2(2222212122vvvvvvv第48页/共89页第四十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。u系统误差的产生原因u系统误差的特征与分类u系统误差的发现方法u系统误差的减小和消除方法第49页/共89页第五十页，编辑于星期五：十四点 五十

42、二分。研究系统误差的重要意义研究系统误差的重要意义 实际上测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差和随机误差同时存在测量数据之中，而且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏使得系统误差比随机误差具有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。 系统误差是指在确定的测量条件下，某种测量方法和装置，在测量之前就已存在误差，并始终以必然性规律影响测量结果的正确度，如果这种影响显著的话，就要影响测量结果的准确度。第50页/共

43、89页第五十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。一、系统误差产生的原因一、系统误差产生的原因 计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。第51页/共89页第五十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。二、系统误差的分类和特征二、系统误差的分类和特征第52页/共89页第五十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 mmTLLL)(00第53页/共89页第五十四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。sineL第54页/共89

44、页第五十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。但是 我们可针对不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别： 1、用于发现测量列组内的系统误差，包括实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法； 2、用于发现各组测量这间的系统误差，包括计算数据比较法、秩和检验法、和 t 检验法。三、系统误差的发现方法三、系统误差的发现方法检验法秩和检验法计算数据比较法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法t第55页/共89页第五十六页，编辑于星期五：十四点 五十

45、二分。 （一）测量列组内的系统误差发现方法（一）测量列组内的系统误差发现方法第56页/共89页第五十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。故有 (2-82)若系统误差显著大于随机误差， 可予忽略，则得(2-83) ：设有测量列 ，它们的系统误差为 ，它们不含系统误差之值为 ，有下式成立：nlll21,nlll21, 21nlllnnnlllllllll222111它们的算术平均值为:xxx iivxliivxl)(xlvviiiivxlvii因 由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差约为系统误差与测量列系统误差平均值之差。第57页/共89页第五十八页，编辑于星期五：十四点

46、 五十二分。根据式(2-82)，若将测量列中前K个残余误差相加，后n-K个残余误差相加(当n为偶数，取K=n/2；n为奇数，取K=(n+1)/2)，两者相减得： 当测量次数足够多时，有：nkjjKiinkjjKiinkjjKiixlxlvvvv111111)()(2-84)011nkjjKiivvnKjjiKinKjjKiixlxlvv1111)()( 若上式的两部分值显著不为O，则有理由认为测量列存在线性系统误差。这种校核法又称这种校核法又称“马列科夫准则马列科夫准则”，它能有效地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法求得差值=0，仍有可能存在系统误差。 第58页/共89页第五

47、十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 ：若一等精度测量列，接测量先后顺序将残余误差排列为 ，如果存在着按此顺序呈周期性变化的系统误差，则相邻的残余误差的差值( )符号也将出现周期性的正负号变化，因此由差值( )可以判断是否存在周期性系统误差，但是这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。否则，差值( )符号变化将主要取决于随机误差，以致不能判断出周期性系统误差。在此情况下，可用统计准则进行判断，令 nvvv,211iivv1iivv1iivvnnniiivvvvvvvvu13221111若 (2-85)则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫 阿卑赫梅

48、特准则（Abbe-Helmert准则） ，它能有效地发现周期性系统误差。 21nu第59页/共89页第六十页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公式： 按别捷尔斯公式： 令 若 (2-86)则怀疑测量列中存在系统误差。 121nvi) 1(253. 12nnviu12112nu在判断含有系统误差时，违反“准则”时就可以直接判定，而在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。 第60页/共89页第六十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。( (二二) )测量列组间的系统误差发现方

49、法测量列组间的系统误差发现方法mmxxx,;,;,2211jixx ji22ixjxjijixx222(2-87)第61页/共89页第六十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。21, 2, 1, 2, 1niynixii10,21nnTTT(2-88)第62页/共89页第六十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。TTnn21TTnn21TTnn21TTnn2124311253132641427416284182942021052133615347173572036822379243892739102931011314412244513274614304715334816364917394101

50、8425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127102 表10,21nn)2) 1(,2) 1(2121211nnnnnnnN,taTaTt)(ttt （教材P38页）第63页/共89页第六十四页，编辑于星期五：十四点 五十二分。ixiyi123456714.714.815.215.614.615.015.14, 321nn, 7T17TTTT17107第64页/共8

51、9页第六十五页，编辑于星期五：十四点 五十二分。(2-89)221121,nnyyyxxx)()2()(222211212121SnSnnnnnnnyxt221 nniiynyxnx211,122222112)(1,)(1yynSxxnSii第65页/共89页第六十六页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 由 及取 ，查t分布表(附录表3)得 ，又因 ， 故无根据怀疑两组间有系统误差。 则解： 取显著性水平，由t分布表（附录表3）查出 中的 。若 ，则无根据怀疑两组间有系统误差。 )(ttPttt 21S22S2122例例2-172-17 对某量测得两组数据为： x：1.9， 0.8， 1.1，

52、 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0 33. 2101xx75. 0101yy61. 3)(10122xxSix89. 2)(10122yySiy86. 1)89. 21061. 310)(1010()21010(1010)75. 033. 2(t1821010v05. 010. 2t10. 286. 1tt第66页/共89页第六十七页，编辑于星期五：十四点 五十二分。四、系统误差的减小和消除四、系统误差的减小和消除（一）消误差源法（一）消误差源法 用排除误差源的方法消除系统误差是

53、最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的： 所用基准件、标准件（如量块、刻尺、光波容器等）是否准确可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 第6

54、7页/共89页第六十八页，编辑于星期五：十四点 五十二分。（二）加修正值法（二）加修正值法 这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。如量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可避免此项系统误差的产生。 采用加修正值的方法消除系统误差，关键在确定修正值或修正函数的规律对恒定系统误差，可采用检定方法，对已知基准量 重复测量取其均值 ， 即为其修正值。 对可变系统误差，按照某变化因素，依次取得

55、已知基准量 的一系列测值 ，再计算其差值 ，按最小二乘法确定它随该因素变化的函数关系式，取其负值即为该可变系统误差的修正函数。关于最小二乘法将在本课程后面介绍。 由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差。由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明显了，往往可以把它们统归成偶然误差来处理。 0 xxxx 00 xnxxx,210 xxi第68页/共89页第六十九页，编辑于星期五：十四点 五十二分。（三）改进测量方法（三）改进测量方法 在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系

56、统误差在测量过程中相互抵消而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。 1、消除恒定系统误差的方法 在没有条件或无法获之基准测量的情况，难以用检定法确定恒定系统误差并加以消除。这时必须设计适当的测量方法，使恒定系统误差在测量过程中予以消除，常用的方法有： 反向补偿法：先在有恒定系统误差的状态下进行一次测量，再在该恒定系统误差影响相反的另一状态下测一次，取两次测量的平均值作为测量结果，这样，大小相同但符号相反的两恒定系统误差就在相加后再平均的计算中互相抵消了。 例如，在红显上测螺纹的螺距、半角等参数，就是采用抵消法来消除恒定系统误差的典型例子。如测螺距，左右各测一次，得 与 （正确值

57、为P）为： ，为仪器两顶尖不同心使被测螺纹件偏斜而产生的恒定系统误差。将 平均后，即可抵消： 左P右P，右左PPPP右左、PPPPPPP2)(2右左第69页/共89页第七十页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 在使用丝杠转动机构测微小位移时，为消除微丝杠与螺母间的配合间隙等 因素引起的定回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果，以补偿定回误差的影响。 代替法：代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即： 被测量标准差差值 抵消法：这种方法要求进行两次测量，以便使两次读数时出现的

58、系统误差大小相等，符号相反，取两次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除系统误差。这种方法跟反向补偿法相似。 交换法：这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。 如图2-18等臂天平称重,先将被测量X放于天平一侧，砝码放于其另一侧，调至天平平衡，则有 。若将X与P交换位置，由于 （存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡 。原砝码P调整为砝码才使天平再次平衡，于是有PllX1221ll 第70页/共89页第七十一页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 ，则取 ，即可消除天平两臂不等造成的系统误差。 2、消除线性系统误差的方法对称法 对称法是消除线性系统误差的有效方法，如图2-19

59、所示。随着时间的变化，被测量作线性增加，若选定某时刻为对称中点，则此对称点的系统误差算术平均值皆相等。即 利用这一特点，可将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。 例如测定量块平面平行性时（见图2-20）,先以标准量块A的中心0点对零，然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。XllPPP122)(PPPPX3425122xxxxx第71页/共89页第七十二页，编辑于星期五：十四点 五十二分。 3、消除周期性系统误差的方法半周期法 对周期性误差，可以相隔

60、半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。周期性系统误差一般可表示为： 设 时，误差为： 当 时，即相差半周期的误差为： 取两次读数平均值则有 由此可知半周期法能消除周期性系统误差。 例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心 等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消除复杂规律变化系统误差的方法 通过构造合适的数学模型，进行实验回归统计，对复杂规律变化的系统误差进行补偿和修正。sinal 111sinal 121112sin)sin(laal0221121llll第72页/共89页第七十三页，编辑于星期五：十四点 五十二分。采用组合测量等方