函数的极值与导数(13)课件

1、oxy2 2这两个点有什这两个点有什么特殊性么特殊性?点点Q Q情况情况极值概念极值概念 观察下图中观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的位置的相对其他点有什么特别相对其他点有什么特别?o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 函数图像在函数图像在P点附近从左侧到右侧由点附近从左侧到右侧由“上升上升”变变为为“下降下降”（函数由单调递增变为单调递减函数由单调递增变为单调递减），在），在P点点附近附近，P点的位置最高，函数值最大点的位置最高，函数值最大. 函数图像中的点函数图像中

2、的点Q Q 呢呢? 观察下图中观察下图中Q Q 点附近图像从左到右的变化趋势、点附近图像从左到右的变化趋势、Q Q点的函数值以及点点的函数值以及点Q Q位置的位置的相对其他点有什么特别相对其他点有什么特别?o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 函数图像在函数图像在Q Q点附近从左侧到右侧由点附近从左侧到右侧由“下降下降”变变为为“上升上升”（函数由单调递增变为单调递减函数由单调递增变为单调递减），在），在Q Q点点附近附近，Q Q点的位置最低，函数值最小点的位置最低，函数值最小. 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义

3、， 如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0),我们我们就说就说f (x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值= f (x0); 如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0)，我们我们就说就说f (x0)是函数是函数f(x)的一个极小值的一个极小值,记作记作y极小值极小值=f (x0). 极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义函数极值的定义 o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)概概念念说说明明 （1 1）极值是某一点附近的小区间

4、而言极值是某一点附近的小区间而言 的的, ,是函数的局部性质是函数的局部性质, ,不是整体的最值不是整体的最值; ;极值概念极值概念:o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) （2 2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一, ,在整个定在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；义区间内可能有多个极大值和极小值； （3 3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. . 例例4方法步骤方法步骤 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法,

5、看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0可不可以用导数来求极值点呢可不可以用导数来求极值点呢? ?请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小31443f(x)xx 例例 ：4 4求求函函的的极极值值数 解解: : f (x)=x2-

6、4,由由f (x) =0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2. 当当x=2=2时时, ,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x= =-2-2时时, , y极大值极大值=-4/3=-4/3. . f(x) f (x) x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +极大值极大值28/3极小值极小值- -4/3当当x变化时变化时, , f (x) 、 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：请概括求可导函数的极大请概括求可导函数的极大(小小)值的步骤值的步骤:求可导函数的极大求可导函数的极大( (小小) )值的步骤值

7、的步骤: :确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求导数求导数 ; ;( )fx 检查检查 , ,方程方程 0 0的根的左的根的左右两侧的符号，确定极值点右两侧的符号，确定极值点.(.(最好通过列最好通过列表法表法) )( )fx ( )fx 求方程求方程( )fx =0=0的根的根, ,这些根也称为这些根也称为可能极值点；可能极值点； 强调强调: :要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点是极大值点还是极小值点就就必须判断必须判断 f (x0)=0 0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.(.(最好列最好列表表) )2(1)答案答案2(2)答案答案yabx1x2x3x41()f x4()f

8、xOx2( )f x3()f x练习练习1.观察下面函数图象观察下面函数图象,试指出该函数的极值点试指出该函数的极值点,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.自我小结一下自我小结一下1、极值的概念与极值的判定方法、极值的概念与极值的判定方法2、可导函数的极值的求法、可导函数的极值的求法.注意点：注意点：1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号. 2.（2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间( )f x导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 ( )fx ( , )a b( , )a b( , )a b