导数在实际生活 中的应用

1、导数在实际生活导数在实际生活 中的应用中的应用新课引入新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用. .2.2.物理方面的应用物理方面的应用. .3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用. .( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )例例1 1 在边长为在边长为60cm60cm的正方形铁片的四角切去相的正方形铁片的四角切去相等

2、的正方形，再把它的边沿虚线折起等的正方形，再把它的边沿虚线折起( (如图如图) )，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？时，箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x cm， 箱子容积为箱子容积为V=x2 h则箱高则箱高260 xh 26032xx V =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0 (舍去舍去)得得V (40)=16000答：当答：当箱底边长为箱底边长为x=40时时,箱子容积最大，箱子容积最大，最大值为最大值为16000cm3)600( x当当x(

3、0(0，40)40)时时V (x)0；当当x(40(40，60)60)时时V (x)0；V (40)(40)为极大值，且为最大值为极大值，且为最大值例例2 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？省？hR解解:设桶底面半径为设桶底面半径为R,2 RVh 则桶高为,2222)(222RVRRVRRRS桶的用料为,24)(2RVRRS, 024)(2RVRRS令2VR 解得2232VVhRV此时，224VV.2Rh 即因为因为S(R)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它

4、是最小值答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省333变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时时, ,它的高与底面半径应怎样选取，它的高与底面半径应怎样选取， 才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？提示：S2Rh2R2 h222SRRV(R) R2(S2R2)R SRR3222SRR1212V (R)0 S6R2 6R2 2Rh2R2 h2R例例3 3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电，电动势为动势为，外电阻，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最为多大时，才能使

5、电功率最大？最大电功率是多少？大电功率是多少？R解：电功率PI2R，其中I为电流强度，则 PE/ /(Rr)2R由由P 0，解得：，解得：Rr列表分析列表分析，当当Rr时，时，P取得极大值，且是最大值，最大值为取得极大值，且是最大值，最大值为P 答：当外电阻答：当外电阻R等于内电阻等于内电阻r时，电功率最大，最大时，电功率最大，最大电功率是电功率是 2222243()()() ()()()E RRrE R RrE rRPRrRrERr22()E RRr24Er24Er例4 强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a8，b1，d3

6、时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）ABPX3X228kakxx，即；解：如图，设点解：如图，设点P在线段在线段AB上，且上，且P距光源距光源A为为x， 则则P距光源距光源B为为3x(0 x3).P点受点受A光源的照度为光源的照度为2233kbkxx，即，（其中，（其中，k为比例常数）为比例常数） 22803 .3kkI xxxxP点受点受B光源的照度为光源的照度为从而，从而，P点的总照度为：点的总照度为： 03126218321633233xxxxxkxkxkxI由因此，因此，x=2时，时，I取得极小值，且是最小值取得极小值，且是最小值答：在连结两光源的线段答：在连

7、结两光源的线段AB上，距光源上，距光源A为为2处的照度最小处的照度最小解得解得x2，故当，故当0 x2时，时，I (x)0；当；当2x3时，时， I (x)0例例5 5 在经济学中，生产在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本单位产品的成本称为成本函数，记为函数，记为C(x)；出售；出售x单位产品的收益称为收益函数，单位产品的收益称为收益函数，记为记为R(x)； R(x)C(x)称为利润函数，记为称为利润函数，记为P(x).（1 1）设）设C(x)106x30.003x25x1000，生产多，生产多少单位产品时，边际成本少单位产品时，边际成本C (x)最低最低? ?（2 2）设）设C(x)50

8、 x10000，产品的单价，产品的单价p1000.01x，怎样定价可使利润最大？怎样定价可使利润最大？解解：（：（1）c (x)3106x20.006x5g(x)， g (x) 6106x0.0060， 解得：解得：x1000，而，而g(x)在在x0上仅有一个极小上仅有一个极小值，故值，故x1000时边际成本最低时边际成本最低（2）P(x) R(x) C(x) x(1000.01x)(50 x10000) 0.01x250 x 10000 ， x2500，而，而P(x)最大，此时最大，此时P1002575答：生产答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产个单位产品时，边际成本最低；当生

9、产的单价为的单价为75时，利润最大时，利润最大(0100)q变式变式 已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系的函数关系式为式为C1001004 4q，价格，价格p与产量与产量q的函数关系式为：的函数关系式为： ，求产量，求产量q为何值时，利润为何值时，利润L最大？最大？1258pq分析：利润分析：利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本C，而收入，而收入R等于产等于产量乘价格由此可得出利润量乘价格由此可得出利润L与产量与产量q的函数关系式，的函数关系式，再用导数求最大利润再用导数求最大利润211252588Rqpqqqq解：收入解：收入答：产量为答：产量为8484时，利

10、润时，利润L最大最大1214Lq 令令 ，即，即 ，求得惟一的极值点，求得惟一的极值点0L12104q84q 221125(1004 )2110088LRCqqqqq 利润利润四、课堂练习四、课堂练习1将正数将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和和_2在半径为在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大时，它的面积最大3有一边长分别为有一边长分别为8与与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，

11、问剪去把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？的小正方形边长应为多少？4一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面希望在断面ABCD的面积为定值的面积为定值S时，使得湿周时，使得湿周lAB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长和下底边长b. 五、回顾反思五、回顾反思（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并

12、问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较不必再与端点值比较（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单单 六、课外作业六、课外作业1课本第课本第96页第页第1，2，3，4题题2补充练习：补充练习：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用2020年的隔热层，每厘米厚的隔年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为热层建造成本为6 6万元该建筑物每年的能源消耗费用万元该建筑物每年的能源消耗费用C C（单位：万元）（单位：万元）与隔热层厚度（单位：与隔热层厚度（单位：