北航水力学课件s3 第三章流体运动学

1、 自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。第三章第三章 流体运动学流体运动学本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念3.1.1拉格朗日法拉格朗日法 着眼于研究流体中各质点的流动情况，跟踪每一个质点，并观察与分析该质点的运动历程，然后综合足够多的质点的运动情况以得到整个流体运动的规律。 这种方法本质上就是一般力学中的研究质点系运动的方法，称为质点系法

2、质点系法第三章第三章 流体运动学流体运动学第一节第一节 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法欧拉法欧拉法 着眼于研究流体经过空间各固定点处的流动变化情况。 综合流场中足够多的空间点上所观测的运动要素及其变化规律，从而获得整个流场的运动特性，所以又被称为“空间点法”“流场法”, , , , ,uu x y zpp x y zx y zTT x y z在恒定流中，流动要素仅为空间位置坐标的函数，对时间的偏导数为零。在恒定流中，流动要素仅为空间位置坐标的函数，对时间的偏导数为零。0upTtttt3.1.2 3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念欧拉法中流体

3、运动的基本概念3.1.2.13.1.2.1 流体的恒定流和非恒定流流体的恒定流和非恒定流恒定流恒定流： 用欧拉法描述流动时，假定流场中各空间点上的任何流动要素用欧拉法描述流动时，假定流场中各空间点上的任何流动要素（如流速向量、压强、密度等）都不随时间变化，称为（如流速向量、压强、密度等）都不随时间变化，称为恒定流恒定流。 下面式子下面式子全部全部或或部分部分成立：成立：0, 0, 0, 0upTtttt非恒定流非恒定流：流场中各空间点上的流动要素（如流速向量、压强、密度流场中各空间点上的流动要素（如流速向量、压强、密度等）随时间而变化等）随时间而变化 迹线迹线（pathlinepathline

4、）：某一流体质点在流动空间里所走的轨迹）：某一流体质点在流动空间里所走的轨迹 流线流线（streamlinestreamline）：某时刻）：某时刻 0t速度场中描述各空间点流动方向的曲线速度场中描述各空间点流动方向的曲线（即曲线的切线方向为流动方向）（即曲线的切线方向为流动方向）染色线染色线（streaklinestreakline）：经过某一点的所有流体质点形成的轨迹）：经过某一点的所有流体质点形成的轨迹流线的性质流线的性质： * * 流线是光滑连续的曲线，除了流线是光滑连续的曲线，除了驻点驻点（速度为零）外（速度为零）外 流线不能中断和产生流线不能中断和产生流线的疏密表示流动的快慢程度流

5、线的疏密表示流动的快慢程度 流线密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小* * 除了奇点外除了奇点外, ,流线不能相交和转折流线不能相交和转折 质点在同一时刻不可能质点在同一时刻不可能有两个速度向量有两个速度向量 流体在不可穿透的固体边界上，沿边界法线方向的流速分量比等于零，流线将于该边界的位置重合在恒定流时，流速场不随时间改变，流线的位置和形状也在恒定流时，流速场不随时间改变，流线的位置和形状也将保持不变，此时流线和迹线重合迹线、流线、染色线是将保持不变，此时流线和迹线重合迹线、流线、染色线是重合的重合的在非恒定流时，三种线不重合在非恒定流时，三种线不重合迹线方程迹线方程：( , , )( ,

6、, )xx a b tyy a b t其中其中 , a b为某初始时刻为某初始时刻流线微分方程流线微分方程：xydxdyuu其中其中 0( , , )xxuux y t0( , , )yyuux y t迹线微分方程迹线微分方程：xydxdyuudtdt流线方程流线方程：( , )0f x y 流体质点的位置坐标流体质点的位置坐标 迹线方程和流线方程迹线方程和流线方程已知流体中任一点的速度分量，由欧拉变数给出为已知流体中任一点的速度分量，由欧拉变数给出为0 xyzuxtuytu 时刻流体质点时刻流体质点A A位于原点。位于原点。求求0t 时，通过点时，通过点 A A（-1,1-1,1）的流线。）

7、的流线。 【例题例题】解解 ：由流线微分方程：由流线微分方程 dxdyxtyt 即即 0t 11c 得得流线方程流线方程1xyzconst xyzdxdydzuuu对于对于点点 A A（-1,1-1,1）时时， dxdyxy积分得积分得1lnlnxyc1xyc总流总流：工程上将管道内或渠道中的流体称为总流：工程上将管道内或渠道中的流体称为总流流管流管：由流线构成的管状曲面：由流线构成的管状曲面流束流束：流管内的流体：流管内的流体元流元流：微小流管内的流体：微小流管内的流体3.1.2.33.1.2.3 描述流动的一些基本概念描述流动的一些基本概念 过流截面过流截面（或（或过流断面过流断面或或有效

8、截面有效截面）：流管内处处与流线垂直的截面，）：流管内处处与流线垂直的截面， 一般是曲面，当流管内所有流线均平行时，过流截面是平面一般是曲面，当流管内所有流线均平行时，过流截面是平面流量流量：单位时间内通过过流截面的流体体积称为体积流量，：单位时间内通过过流截面的流体体积称为体积流量， 简称流量，通常用简称流量，通常用Q Q表示，量纲为表示，量纲为m m3 3/s/s三元流三元流：流动参数是：流动参数是三个空间坐标三个空间坐标函数函数, 二元流二元流：流动参数是：流动参数是两个空间坐标两个空间坐标函数函数, 一元流一元流：流动参数是：流动参数是一个空间坐标一个空间坐标函数，函数， 3.1.2.

9、43.1.2.4 三元流、二元流、一元流三元流、二元流、一元流 二元流或近似二元流是实际流体中常见的流动。例如宽浅矩形断面的顺直明渠水流，水渠宽度很大，两侧边壁对流速分布的影响可忽略不计，即流速可看做与 z 方向无关，仅仅是水流方向的坐标 x 和水深 y 的函数，此时的流动就可以看为二元流动。0yzuu( , )xxuux t( , , )xxuux y t( , , )yyuux y t0zu ( , , , )xxuux y z t( , , , )yyuux y z t( , , , )zzuux y z t 实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化

10、为二元流或一元流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。一维定常流：流动参数是一维定常流：流动参数是一个空间坐标一个空间坐标函数，与函数，与时间无关时间无关三维定常流：流动参数是三维定常流：流动参数是三个空间坐标三个空间坐标函数，与函数，与时间无关时间无关二维定常流：流动参数是二维定常流：流动参数是两个空间坐标两个空间坐标函数，与函数，与时间无关时间无关( , )xxuux y( , , )xxuux y z0yzuu( )xxuux( , )yyuux y0zu ( , , )yyuux y z( , , )zzuux y z均匀流均匀流： 流线为直线且相互平行的流动流线为

11、直线且相互平行的流动渐变流渐变流： 流线曲率半径大，流线虽不平行，但夹角很小的流动（或流线曲率半径大，流线虽不平行，但夹角很小的流动（或缓变流缓变流）急变流急变流： 流线的曲率半径较小，或流线之间的夹角较大，或两者兼有流线的曲率半径较小，或流线之间的夹角较大，或两者兼有3.1.2.5 3.1.2.5 均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流 渐变流与急变流渐变流与急变流xzyoMdx(2u)dxux u (2u)dxux 3.2.1 3.2.1 流体运动的连续方程（微分形式）流体运动的连续方程（微分形式） 在空间流场中取一个以在空间流场中取一个以M M（x,y,zx,y,z）为中心的微小的六面体（微小

12、控）为中心的微小的六面体（微小控制体）。制体）。t t时刻，时刻，M M点流速为点流速为u u，密度为，密度为第二节第二节 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程xzyoMdx(2u)dxux u (2u)dxux x x方向，在方向，在 时间里时间里dt()()2xxudxudydzdtx右侧流出的流体质量：右侧流出的流体质量：()()2xxudxudydzdtx左侧流入的流体质量：左侧流入的流体质量： 第二节第二节 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程净流入：左侧流入净流入：左侧流入 右侧流出右侧流出 x x方向方向 由此，三个方向净流入由此，三个方向净流入 : :()()()()y

13、xzuuudxdydzdtxyz()xudxdydzdtx时间里，微小六面体内流体密度的变化引起的时间里，微小六面体内流体密度的变化引起的质量增量质量增量： dt在在dxdydzdtt()()()()yxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt()()()0yxzuuutxyz即即 密度的变化密度的变化净流入净流入质量守恒质量守恒: :()0Vt()()()0yxzuuutxyz ()()()0yxzuuutxyz0yxzuuuxyz0ddt不可压缩流体不可压缩流体 为常数，为常数，不可压缩流体运动的不可压缩流体运动的欧拉连续性微分方程欧拉连续性微分方程 可压缩流体的可压缩流体的欧拉连

14、续性微分方程欧拉连续性微分方程适用于恒定流和非恒定流适用于恒定流和非恒定流对于不可压缩液体，下面的流动是否满足连续性条件。对于不可压缩液体，下面的流动是否满足连续性条件。(1)222xyzutxyutyzutxz 【例题例题】2222(2)0 xyzuxxyyuxyu3(3)2ln()4xyzyuxyuux 2222(4)53xyuxzuyz解：解：(1)2 1 10yxzuuuxyz 满足满足23(3)()00yxzuuuyxyzxyx (2)220230yxzuuuxyyxyzxy不满足不满足不满足不满足在三元不可压缩流动中，已知在三元不可压缩流动中，已知【例题例题】（书（书 例例3-23

15、-2）222253xyuxzuyz求满足连续方程的求满足连续方程的 的表达式。的表达式。zu解：解：0yxzuuuxyz由连续方程由连续方程2()zuxy zc ()2()yxzuuuxyzxy 积分得积分得其中，其中，c c可为某一常数，也可以是与可为某一常数，也可以是与 z z 无关的某一函数无关的某一函数得得 2()zudzxy dzz得得 ( , )f x y2()( , )zuxy zf x y 所以所以3.2.2 3.2.2 总流的连续方程（管道中或者渠道中）总流的连续方程（管道中或者渠道中） （积分形式）（积分形式）12,A A设流体是均质的设流体是均质的，则，则 12由质量守恒

16、可得，由质量守恒可得，121 11222AAV dAV dA等于流出质量等于流出质量2-22-2，即，即面积分别为面积分别为设流动为定常流动设流动为定常流动， 则则1-21-2内流体质量不变，内流体质量不变，121122AAV dAV dA流入质量流入质量1-11-1垂直于过流截面垂直于过流截面1-11-1和和2-22-2的流速的流速12VV1-11-1和和2-22-2是过流截面是过流截面12一段流管1-21122流入质量流出质量11VA22VA定义截面上的平均速度定义截面上的平均速度 11111AVdAVA22222AV dAVA则有则有 1122V AV A恒定总流的连续方程恒定总流的连续

17、方程均质恒定总流的流量不变均质恒定总流的流量不变由于由于QVA则则12QQ(2)(2)对于对于分支管道分支管道问题时，要考虑通过控制面的全部流量及源的问题时，要考虑通过控制面的全部流量及源的流量。流量。粘性外作用外加热与流体是否用有：作无关注意：注意：(1)(1)连续方程式是质量守恒的数学表达式，与流体性质，连续方程式是质量守恒的数学表达式，与流体性质，即即312QQQ123QQQ对不可压流：对不可压流：对可压缩流：对可压缩流：331122QQQ112233QQQ【例题例题】（书（书 例例3-33-3） 图示，汇流分叉管路，已知流量图示，汇流分叉管路，已知流量 过断面过断面1-1的面积的面积

18、求：断面求：断面 1-1 的平均流速的平均流速 33322.6/1.5/QmsQms210.2Am解解： 根据分叉管流动的连续性条件，有根据分叉管流动的连续性条件，有 因为因为 ，所以断面，所以断面 1-1 的平均流速为的平均流速为 132QQQ111Qv A321112.6 1.55.5/0.2QQQvm sAA【例题例题】 已知圆管过流断面上的流速分布为已知圆管过流断面上的流速分布为 管轴处最大流速管轴处最大流速 圆管半径圆管半径 为某点距管轴的径距。为某点距管轴的径距。试求流量试求流量 Q ,以及断面平均速度以及断面平均速度 。2max01 () ruurmax0.15/um s03rc

19、mru流体微团的运动流体微团的运动 流体微团流体微团：由大量流体粒子组成的流体团，它有一个微小的尺度：由大量流体粒子组成的流体团，它有一个微小的尺度任意运动都可分解为上述任意运动都可分解为上述 4 4 种运动种运动 平移：象刚体一样平移平移：象刚体一样平移 转动：象刚体一样转动转动：象刚体一样转动 线变形：伸长或缩短线变形：伸长或缩短 角变形：直角的改变角变形：直角的改变流体微团的运动：流体微团的运动：第三节第三节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析（1 1）线变形率线变形率 单位时间流体面元单位长度的线变形单位时间流体面元单位长度的线变形00()limxxxxxtuxx txuxx tx

20、xxuxuuuxxttt类似的，类似的，yyyuyzzzuz流体面元流体面元: : 流体质点组成的微小平面流体质点组成的微小平面 若流体面元在若流体面元在x x和和y y方向都有速度梯度，其长度方向都有速度梯度，其长度, xy则则单位时间内面积相对单位时间内面积相对膨胀膨胀率率为为: :00000()()()limlimyxyxAxtytuuxx tyy tx yuuAxyA tx y txy 相应地，三维时，相应地，三维时，yxzuuuVxyz流体不可压缩流体不可压缩0V三个方向的线变形速率之和为零三个方向的线变形速率之和为零都要变化都要变化（2 2）角变形率（直角的改变率）角变形率（直角的

21、改变率） 角变形率角变形率：一点邻域内流体的角变形率为正交于该点的两流体：一点邻域内流体的角变形率为正交于该点的两流体线元各自转动线元各自转动角度角度的变化率的平均值。的变化率的平均值。u在在y方向有速度梯度方向有速度梯度v在在x方向有速度梯度方向有速度梯度t内，流体内，流体线元线元MAMA和和MBMB分别转过分别转过, uxxtttyMABv在微小的时间在微小的时间01lim2xyyxtt0limyyxux tuxtxx 0limxxyuy tuytyy 12yxxyuuxy因为因为 所以所以 类似地，类似地， 12xzxzuuxz12yzyzuuyz（3 3）转动角速度）转动角速度 转动角

22、速度转动角速度：某一点处正交于该点的两流体线元：某一点处正交于该点的两流体线元角速度角速度的平均值。的平均值。12zMAMB逆时针为正逆时针为正 类似地，类似地， 12yzxuuyz12xzyuuzx12yxzuuxyuxxtttyMABv 均匀流均匀流 00uuv 纯旋转流纯旋转流 ucyvcx 平动平动转动转动线变形线变形角变形角变形uxyuxyvO一些典型的流动一些典型的流动流动中各流体微团的转动角速度都为零流动中各流体微团的转动角速度都为零: : 无旋流动无旋流动0第四节第四节 无旋运动与有旋运动无旋运动与有旋运动3.4.1 3.4.1 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动无旋流动无旋流动自然界中，绝大多数流动都是自然界中，绝大多数流动都是有旋流动有旋流动无旋流动是简化的模型无旋流动是简化的模