油气层渗流力学第二版第五章(张建国版中国石油大学出版社)

1、气体渗流理论气体渗流理论 气体与液体同属于流体气体与液体同属于流体 气体具有明显的更大的压缩性气体具有明显的更大的压缩性 仍可沿用液体渗流的研究方法，必须仍可沿用液体渗流的研究方法，必须考虑气体可压缩考虑气体可压缩性带来的影响性带来的影响 研究方法：研究方法： 通过引入一些新的变量，使所得到的气体渗流方程及通过引入一些新的变量，使所得到的气体渗流方程及其解的形式具有与液体渗流方程相似的形式其解的形式具有与液体渗流方程相似的形式 在实际应用时再经过适当的变换，又能反映出气体可在实际应用时再经过适当的变换，又能反映出气体可压缩性对渗流规律的影响。压缩性对渗流规律的影响。一一三三二二气体渗流理论气体

2、渗流理论气体状态方程气体状态方程运动方程运动方程连续性方程连续性方程一、基本方程一、基本方程第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程理想气体的状态方程：理想气体的状态方程：波义耳波义耳盖吕萨克定律盖吕萨克定律式中：式中：p p气体的绝对压力，气体的绝对压力，MPaMPa； T T绝对温度，绝对温度，K K； V V气体的体积，气体的体积，m m3 3； R R气体常数，气体常数，0.0083140.008314MPaMPam m3 3/(/(kmolkmolK K) )； 气体密度，气体密度，kgkg/ /m m3 3。RTpV RTp/第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程1

3、1、气体状态方程、气体状态方程气体状态方程气体状态方程表示气体体积或密度随压力和温度变化的关系式表示气体体积或密度随压力和温度变化的关系式1kmol单位质量（单位质量（1kg）实际气体的状态方程：实际气体的状态方程：式中：式中：Z Z天然气的偏差因子天然气的偏差因子 表示实际气体偏离理想气体的程度表示实际气体偏离理想气体的程度 理想气体：理想气体：Z Z=1=1ZRTpV 气体等温压缩系数：气体等温压缩系数：( (单组分体系单组分体系) )第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程理想气体理想气体实际气体实际气体 pKv2 2、线性渗流、线性渗流第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方

4、程在三维渗流空间中，对于均质地层，在三维渗流空间中，对于均质地层，广义达西定律广义达西定律可写成如下的形式：可写成如下的形式：xpKvxypKvygzpKvz渗流速度的三个分量：渗流速度的三个分量：式中：式中： K K地层渗透率；地层渗透率； g g重力加速度；重力加速度； 天然气黏度；天然气黏度； 第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 vt yxzvvvxyzt0yxzvvvxyz3 3、连续性方程、连续性方程不稳定渗流状态下，偏微分方程：不稳定渗流状态下，偏微分方程：对于单相流体渗流，广义的连续性方程：对于单相流体渗流，广义的连续性方程：稳定渗流状态下，偏微分方程：稳定渗流状态下

5、，偏微分方程：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 二、气体渗流微分方程的一般形式二、气体渗流微分方程的一般形式假设气体渗流过程满足下列条件：假设气体渗流过程满足下列条件：（1 1）气体单相渗流）气体单相渗流（2 2）渗流过程符合线性渗流规律并忽略重力影响）渗流过程符合线性渗流规律并忽略重力影响（3 3）气体为理想气体）气体为理想气体（4 4）孔隙介质为均质且不可压缩，孔隙度及渗透率为常数）孔隙介质为均质且不可压缩，孔隙度及渗透率为常数（5 5）等温渗流过程）等温渗流过程 上述假设可近似地适合于气驱气田（依靠气体弹性能量开上述假设可近似地适合于气驱气田（依靠气体弹性能量开采的气田）的

6、开发过程及水驱气田开发的初期阶段。采的气田）的开发过程及水驱气田开发的初期阶段。1 1、理想气体的渗流微分方程、理想气体的渗流微分方程第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程yxzvvvxyzttpKpzpypxp2222222222xpKvxypKvyzK pvz代代入入第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程RTp/tpKpzpypxp2222222222220p222ppKpt简简化化气体稳定渗流数学模型的微分方程：气体稳定渗流数学模型的微分方程：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程假设气体渗流过程满足下列条件：假设气体渗流过程满足下列条件：（1 1）气体单相渗流）

7、气体单相渗流（2 2）渗流过程符合线性渗流规律并忽略重力影响）渗流过程符合线性渗流规律并忽略重力影响（3 3）气体为理想气体）气体为理想气体（4 4）孔隙介质为均质且不可压缩，孔隙度及渗透率为常数）孔隙介质为均质且不可压缩，孔隙度及渗透率为常数（5 5）等温渗流过程）等温渗流过程2 2、实际气体的渗流方程、实际气体的渗流方程应把实际气体的状态方程代入连续性方程求解。应把实际气体的状态方程代入连续性方程求解。第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程yxzvvvxyzt实际气体的不稳定渗流，连续性方程仍为：实际气体的不稳定渗流，连续性方程仍为：vt （连续性方程）（连续性方程）等温条件下，均

8、质地层实际气等温条件下，均质地层实际气体不稳定渗流的基本微分方程体不稳定渗流的基本微分方程ZRTpV pKv代入代入第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程pppCtZZt提到偏导数之外，展开右边提到偏导数之外，展开右边其中：其中：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程111111()()()pppppZpppt ZZtt ZZtp ZtZpZpt气体不稳定渗流微分方程的一般形式气体不稳定渗流微分方程的一般形式pC pppZK Zt pp pCt ZZ t0ppZ真实气体稳定渗流微分方程的一般形式：真实气体稳定渗流微分方程的一般形式：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程

9、 对于实际气体，对于实际气体，和和Z都是压力的函数，因此，上式是一个非线性的都是压力的函数，因此，上式是一个非线性的微分方程，这是与液体渗流微分方程完全不相同的。微分方程，这是与液体渗流微分方程完全不相同的。三、气体渗流微分方程的三种形式三、气体渗流微分方程的三种形式pC pppZK Zt处理左边项，的三种形式的气体渗流微分处理左边项，的三种形式的气体渗流微分方程：方程： 1 1、压力形式、压力形式 2 2、压力平方形式、压力平方形式 3 3、拟压力形式、拟压力形式第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 利用复合函数求导法则和算子运算规则，对上式的左端作展开运利用复合函数求导法则和算子

10、运算规则，对上式的左端作展开运算并经整理后可得：算并经整理后可得：（1 1）假设气体渗流过程中压力梯度很小，即）假设气体渗流过程中压力梯度很小，即 ，则，则 1 1、压力形式、压力形式第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 （2 2）假设气体在一定压力范围内）假设气体在一定压力范围内p p/ /（Z Z）= =常数（后面的讨论将会说明常数（后面的讨论将会说明这是可能的），则：这是可能的），则：对于气体稳定渗流情形，则上式变为：对于气体稳定渗流情形，则上式变为：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程2 2、压力平方形式、压力平方形式第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程p

11、C pppZK Zt2 2、压力平方形式、压力平方形式 上式仍然可按两种情况进行简化，假设气体渗流的压力梯度很上式仍然可按两种情况进行简化，假设气体渗流的压力梯度很小，或在一定压力范围内气体的小，或在一定压力范围内气体的zz乘积近似为常数，则上式可简化乘积近似为常数，则上式可简化成以压力平方表示的渗流微分方程。成以压力平方表示的渗流微分方程。第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 在气田开发某些情况下（例如低压或高压情形）能得到很好的效果；在气田开发某些情况下（例如低压或高压情形）能得到很好的效果； 不是在任意情况下都能成立，例如对于低渗透气藏，压力梯度很小的不是在任意情况下都能成立，

12、例如对于低渗透气藏，压力梯度很小的假设会引起较大误差假设会引起较大误差 Z Z乘积为常数的假设相当于理想气体的情况，在较低压力下才适用乘积为常数的假设相当于理想气体的情况，在较低压力下才适用 因此需要推导不作任何辅助假设情况的渗流微分方程。因此需要推导不作任何辅助假设情况的渗流微分方程。对于稳定渗流情形：对于稳定渗流情形：022 p第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程3 3、拟压力形式、拟压力形式 在上式中，由于在上式中，由于、Z Z是压力的函数，因此不能提到算子之外，解决是压力的函数，因此不能提到算子之外，解决的办法有两种：的办法有两种： 作如前面对压力及压力平方微分方程推导的假设

13、；作如前面对压力及压力平方微分方程推导的假设； 引入拟压力函数的概念。引入拟压力函数的概念。1 1）拟压力定义）拟压力定义第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程1 1）拟压力定义）拟压力定义令：令：真实气体的拟压力真实气体的拟压力P P0 0任意选定的某一参考压力任意选定的某一参考压力代入代入以拟压力形式表示的以拟压力形式表示的实际实际气体气体不稳定渗流微分方程不稳定渗流微分方程第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程222CppKt压力平方形式：压力平方形式：tKC2拟压力形式：拟压力形式：压力形式：压力形式：渗流微分方程渗流微分方程第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方

14、程 在拟压力分析中，如果作进一步的推广，即考虑渗透率也随压在拟压力分析中，如果作进一步的推广，即考虑渗透率也随压力变化，并假设这种变化的关系已经知道，那么适应于力变化，并假设这种变化的关系已经知道，那么适应于K K、和、和Z Z都随都随压力变化的压力函数可定义为：压力变化的压力函数可定义为：dpZpKpp22pKpZ2KpptZt第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程2CKt2pKpZ 2Kp ptZt代入代入理想气体（理想气体（ C=1/p C=1/p）不稳定渗流方程不稳定渗流方程tKp 2 无论理想气体还是实际气体，对于稳定渗流，以拟压力无论理想气体还是实际气体，对于稳定渗流，以拟

15、压力形式表示的微分方程为：形式表示的微分方程为：02 第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程 拟压力与压力、压力平方之间存在一定的转换关系，这种关系是由拟压力与压力、压力平方之间存在一定的转换关系，这种关系是由气体气体Z Z乘积随压力的变化关系而得到表现的。乘积随压力的变化关系而得到表现的。2 2）拟压力与压力、压力平方的关系）拟压力与压力、压力平方的关系Z Zpp关系曲线关系曲线2pppdpZ 从曲线形态可以看出，在低压范围从曲线形态可以看出，在低压范围内，气体内，气体ZZ乘积近似一个常数，几乎不乘积近似一个常数，几乎不随压力变化，即随压力变化，即Z=Z=常数，因此，常数，因此，对应

16、对应于低压范围的拟压力于低压范围的拟压力可写成：可写成：第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程222CppKt212pZdppZpp2CKt以压力平方形式表示的渗流方程适用于低压情形以压力平方形式表示的渗流方程适用于低压情形第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程较高压力下较高压力下，图中表示出其斜率接近于常数，图中表示出其斜率接近于常数，2pppdpZ22ppppdppZZ第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程p2CppKt22ppppdppZZ2CKt以压力形式表示的渗流以压力形式表示的渗流方程适用于高压情形方程适用于高压情形适用何种形式适用何种形式的气体渗流方的气体

17、渗流方程，可以通过程，可以通过绘制绘制Z Z乘积乘积随压力变化的随压力变化的关系曲线来确关系曲线来确定。定。第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程可用最简单的可用最简单的“梯形法梯形法”计算拟压力：计算拟压力：3 3）拟压力的计算）拟压力的计算 111222120jjnjjjppppZpZpdpZpp（p p）pp关系曲线关系曲线 对于一个气藏，应对于一个气藏，应作出其拟压力图，即作出其拟压力图，即（p p）pp关系曲线，以关系曲线，以便进行压力和拟压力的便进行压力和拟压力的相互转换。相互转换。第一节第一节 气体渗流微分方程气体渗流微分方程上节课上节课ZRTpV 222CppKt压力平

18、方形式：压力平方形式：tKC2拟压力形式：拟压力形式：压力形式：压力形式：上节课上节课压力压力适用于高压气藏适用于高压气藏压力平方压力平方适用于低压气藏适用于低压气藏拟压力拟压力适用任意实际气藏适用任意实际气藏一一三三二二气体渗流理论气体渗流理论一、平面径向达西稳定渗流一、平面径向达西稳定渗流 设有一均质圆形等厚地层，中心有一口完善井以定产量生产，边界设有一均质圆形等厚地层，中心有一口完善井以定产量生产，边界上有充足的气源供给，地层几何模型如图所示，供给边界半径为上有充足的气源供给，地层几何模型如图所示，供给边界半径为r re e，边，边界压力为界压力为p pe e，气井半径为，气井半径为r

19、rw w，井底压力为，井底压力为p pw w，气层厚度为，气层厚度为h h。1 1、物理模型（地质模型）、物理模型（地质模型）第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论2 2、渗流数学模型及其求解、渗流数学模型及其求解气体稳定渗流数学模型微分方程的一般形式，实际上就是：气体稳定渗流数学模型微分方程的一般形式，实际上就是：从理论上说，气体稳定渗流数学模型的微分方程应有三种形式，即：从理论上说，气体稳定渗流数学模型的微分方程应有三种形式，即：0)( pZp 0002222 pp压力形式：压力形式：压力平方形式：压力平方形式：拟压力形式：拟压力形式：第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论

20、以拟压力形式表示的气体稳定渗流的数学模型：以拟压力形式表示的气体稳定渗流的数学模型：(微分方程微分方程)(井底井底r=rw处处)(供给边界供给边界r=re处处)第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论1()0ddrr drdr数学模型的求解数学模型的求解: :第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论气体平面径向稳定渗流拟压力的分布公式气体平面径向稳定渗流拟压力的分布公式数学模型的解为数学模型的解为: :或或第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论拟压力与压力平方关系拟压力与压力平方关系: :压力平方表示的平面径向稳定渗流压力分布压力平方表示的平面径向稳定渗流压力分布或或第二节

21、第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论3 3、压力梯度和渗流速度、压力梯度和渗流速度气体渗流的压力梯气体渗流的压力梯度是与压力和距离度是与压力和距离的乘积成双曲反比的乘积成双曲反比曲线关系，渗流速曲线关系，渗流速度亦如此。度亦如此。气层任一点气层任一点的压力梯度的压力梯度气层任一点气层任一点的渗流速度的渗流速度第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论井底流量：井底流量：地面流量：地面流量：4 4、产量公式、产量公式第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论式中：式中： q qscsc标准状况下的气井产量，标准状况下的气井产量，m m3 3/d p/d pe e外边界压力，外边界压力

22、，MPaMPa； p pw w井底压力，井底压力，MPaMPa； K K气层渗透率，气层渗透率，1010-3-3mm2 2； h h气层厚度，气层厚度，m m； T T气层温度，气层温度，K K； r re e排泄半径，排泄半径，m m； r rw w气井半径，气井半径，m m。22774.6lnewfscewKppqrT Zr774.6lnewfscewKqrTr 平面径向流气井产量公式平面径向流气井产量公式（标准状况（标准状况（T=20T=20o oC C，P=0.101325MPaP=0.101325MPa）下）下）第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论气井的产量与压力气井的产量

23、与压力平方差呈平方差呈线性关系线性关系气井的产量与压力平方差关系曲线气井的产量与压力平方差关系曲线第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论 平面径向流的等压线方程与液体的相同，平面径向流的等压线方程与液体的相同， 等压线方程也为一簇与井同心的圆等压线方程也为一簇与井同心的圆， 气体膨胀作用，使得井附近的流速急剧增大，压力损失也明显气体膨胀作用，使得井附近的流速急剧增大，压力损失也明显增加，因而井底附近相同压力梯度对比时，等压线更为密集。增加，因而井底附近相同压力梯度对比时，等压线更为密集。第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论 流线方程：流线方程：根据流线和等压线正交的性质，气体

24、平面径向渗流的根据流线和等压线正交的性质，气体平面径向渗流的流线是一簇指向气井的径向线。在井附近，由于过水断面减少，流线是一簇指向气井的径向线。在井附近，由于过水断面减少，流线越密集。流线越密集。气体平面径向流的水动力学场图气体平面径向流的水动力学场图流线流线等压线等压线第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论液体：液体：气体：气体：第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论 在相同压差条件下，靠近井在相同压差条件下，靠近井底附近，气体压力梯度比液底附近，气体压力梯度比液体大，体大，其压降漏斗比液体更其压降漏斗比液体更陡陡。 与液体相比，气体平面径向与液体相比，气体平面径向渗流的压降

25、漏斗位于同条件渗流的压降漏斗位于同条件下液体渗流的压降漏斗之上，下液体渗流的压降漏斗之上，即即压力分布曲线位于液体之压力分布曲线位于液体之上上。第二节第二节 气体稳定渗流理论气体稳定渗流理论一一三三二二气体渗流理论气体渗流理论建立气体不稳定渗流数学模型时需如下假设建立气体不稳定渗流数学模型时需如下假设(1)(1)均质（均质（K K、为常数）、水平、等厚、各为常数）、水平、等厚、各 向同性中心一口井以定向同性中心一口井以定产量投产；产量投产；(2)(2)单相气体流动，压力梯度很小，其渗流满足达西定律；单相气体流动，压力梯度很小，其渗流满足达西定律；(3)(3)忽略气层内温度变化与重力作用。忽略气

26、层内温度变化与重力作用。一、气体不稳定渗流数学模型一、气体不稳定渗流数学模型第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论不稳定渗流不稳定渗流当气藏中流体处于平衡（静止或稳定状态）时，若改变气藏当气藏中流体处于平衡（静止或稳定状态）时，若改变气藏中某一口井的工作制度，则在井底将造成一个压力扰动，此压力扰动将随着中某一口井的工作制度，则在井底将造成一个压力扰动，此压力扰动将随着时间的推移而不断向井壁四周地层径向扩展，最后达到一个新的平衡状态的时间的推移而不断向井壁四周地层径向扩展，最后达到一个新的平衡状态的过程。过程。气体不稳定渗流数学模型的微分方程的通式：气体不稳定渗流数学模型的微分方程的

27、通式：113.6rrrrt第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论初始条件：初始条件：内边界条件：内边界条件：压力形式：压力形式：it 018.42wscgr rqBprrKhKhTZqrprscrrw321074.12312.7410wscrrq TrrKh压力平方形式：压力平方形式：拟压力形式：拟压力形式： 第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论外边界条件：外边界条件：无限外边界：无限外边界：封闭外边界：封闭外边界：定压外边界：定压外边界： ir0errreirr第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论均质气藏中气体不稳定渗流数学模型均质气藏中气体不稳定渗流

28、数学模型( (压力形式压力形式) ) 113.6pprr rrt/()KC0itpp微分方程：微分方程：初始条件：初始条件：内边界条件：内边界条件：外边界条件：外边界条件：无限外边界无限外边界封闭外边界封闭外边界定压外边界定压外边界 18.42wscgr rqBprrKhirpp0errpreirrpp第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论均质气藏中气体不稳定渗流数学模型均质气藏中气体不稳定渗流数学模型( (压力平方形式压力平方形式) ) 113.6pprr rrt/()KC微分方程：微分方程：初始条件：初始条件：内边界条件：内边界条件：外边界条件：外边界条件：无限外边界无限外边界

29、封闭外边界封闭外边界定压外边界定压外边界 220itppKhTZqrprscrrw321074.1222irpp20errpr22eirrpp第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论均质气藏中气体不稳定渗流数学模型均质气藏中气体不稳定渗流数学模型( (拟压力形式拟压力形式) ) /()KC微分方程：微分方程：初始条件：初始条件：内边界条件：内边界条件：外边界条件：外边界条件：无限外边界无限外边界封闭外边界封闭外边界定压外边界定压外边界 113.6rr rrt0it312.74 10wscr rq TrrKhir0errreir r第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论二、

30、不稳定渗流数学模型的解二、不稳定渗流数学模型的解 上述气体不稳定渗流数学模型的求解方法与第五章中介绍的上述气体不稳定渗流数学模型的求解方法与第五章中介绍的油井不稳定渗流数学模型的求解方法相同。油井不稳定渗流数学模型的求解方法相同。1 1、无限大气藏、无限大气藏气藏中任意一点在任意时刻的压力气藏中任意一点在任意时刻的压力( (不稳定早期不稳定早期) )：292.104( , )()14.4scgiiqBrp r tpEKht20.014rt第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论221.218.0853( )lg()scgwfiwqBtptpKhr22221.466 108.085()lg()scwfiwqzTtptpKhr221.466 108.085( )lg()scwfiwq TttKhr压力形式：压力形式：压力平方形式：压力平方形式：拟压力形式：拟压力形式： 井底流压：井底流压：上面三式称为上面三式称为无限大气藏中井以恒定产量投产的无限大气藏中井以恒定产量投产的“压降公式压降公式”第三节第三节 气体不稳定渗流理论气体不稳定渗流理论2 2、封闭外边界气藏、封闭外边界气藏 2123.6321222114.242 103.128lg0.3260.868ennwertJrrscgewfi