数字电路课件第2章

1、第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础第第 2 章逻辑代数基础章逻辑代数基础 概述概述逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法本章小结本章小结逻辑代数中的常用运算逻辑代数中的常用运算第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 概概 述述主要要求：主要要求： 理解逻辑值理解逻辑值 1 1和和 0 0 的含义。的含义。理解逻辑体制的含义。理解逻辑体制的含义。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于

2、描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑指事物因果关系的规律。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用通常用 1 1和和 0 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处运算规律有很多不同。运算规

3、律有很多不同。 一、一、逻辑代数逻辑代数第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的逻辑代数中的 1 1 和和 0 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 1 晶体管导通为晶体管导通为 1 1 电位高为电位高为 1 1 断开为断开为 0 0 截止为截止为 0 0 低为低为 0 0二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 0

4、 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2 逻辑代数中的常用运算逻辑代数中的常用运算 主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的常用运算。掌握逻辑代数的常用运算。掌握逻辑代数的常用复合逻辑运算。掌握逻辑代数的常用复合逻辑运算。掌握常用逻辑符号（国家标准）。掌握常用逻辑符号（国家标准）。 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算一、一、与与运算运算 决定某一事件的所有条件都具备决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。时，该事件才发生。1 11 11 1YA B0 00 00 00 00 10 10

5、01 01 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB 与与门门 ( (AND gate) )入有入有 0 0 出出 0 0入全入全 1 1 出出 1 1灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、二、 或或运算运算 决定某一事件的诸条件中，只要有一决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。个或一个以上具备时，该事件就发生。入有入有 1 1 出出 1 1入全入全 0 0 出出 0 0 0 00 00 01 11 1

6、1 1YA B1 10 10 11 11 01 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或或门门 ( (OR gate) ) 1 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础三、三、非非运算运算决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 0 01 11 10 0YA逻辑表达式逻辑表达式 Y = A 1 非

7、非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 入入 0 0 出出 1 1入入 1 1 出出 0 0 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2.2 复合逻辑运算复合逻辑运算 与非与非运算运算( (NAND) )先先与与后后非非入有入有 0 0 出出1 1入全入全 1 1 出出 0 01 10 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 00 01 1 1 1或非或非运算运算 ( NOR )先先或或后后非非入有入有 1 1 出出 0 0入全入全 0 0 出出1 11 10 0 0 0YA B0 00 0 1 10 01 1 0 0与与或或非非 运算运算

8、 ( (AND OR INVERT) )先先与与后后或或再再非非由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础异或异或运算运算 ( (Exclusive OR) )入相异出入相异出1 1入相同出入相同出0 0同或同或运算运算 ( (Exclusive - NOR，即，即异或非异或非) )入相同出入相同出 1 1入相异出入相异出 0 00 00 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 01 10 00 01 11 11 1YA B0 00 10 10 01 01 0注意注意：异或异或和和同或同或互为反函数，即互为反函数，即第第 2

9、 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号逻辑符号对照逻辑符号对照 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本定律和常用公式。基本定律和常用公式。掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的重要规则。重要规则。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.3.1 逻辑代数中的基本定律逻辑代数中的基本定律 常量间的运算常量间的运算 逻辑变量与常量的运算逻辑变量与常量的运算0 0 0 0 = 0 00 0 1 1 = 0 01 1 0 0 = 0 01 1 1

10、 1 = 1 10 0+ 0 0 = 0 00 0+ 1 1 = 1 11 1 + 0 0 = 1 11 1 + 1 1 = 1 10 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 0 + A = A1 1 + A = 1 1 1 1 A = A0 0 A = 0 0A + A = A A A = A 1 1 = 0 00 0 = 1 1A+A = 1 1 A A =0 A = A第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分

11、配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 2.3.1 逻辑代数中的基本定律逻辑代数中的基本定律 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11

12、 11 10 00 0 例例 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)。解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 1 + C + B) + BC= A 1 1 +BC= A + BC0 00 00 00 0第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 AB+AC+BC= AB+AC+BC(A+A)= AB+AC+ABC+ABCA + AB = A A + AB = A (1 + B) = A2.3.2 逻辑代数中的常用公

13、式逻辑代数中的常用公式 AB+AB = A (B+B) =AAB+AB = AA+AB = A+B A+AB= (A+A)(A+B) AB+AC+BC=AB+AC= A+B= AB(1 1+C)= AB+AC+AC (1 1+B)第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 A B + A B = A B A B思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，则，则 B = C 吗？吗？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，则，则 B = C 吗？吗？ 2.3.2 逻辑代数中的常用公式逻辑代数中的常用公式A + AB = A = (A+B)(A+B)推广公式：推广公

14、式：AB+AC+BCD =AB+ACA B + A B = A B + A B= AA+A B+AA+BB= A B+AB第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 A+AB=A+B2.3.3 逻辑代数中的三个基本规则逻辑代数中的三个基本规则 一、一、 代入规则代入规则 B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。利用代入规则能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。一个逻辑函数替代，等式仍然成立。 A A A A均用均用 代替代替A均用均用A代替代替= A+AB=A+B第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基

15、础(A+ ) (C+D)变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单 个变量有效，而对长非号保持不变。个变量有效，而对长非号保持不变。 求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律均可。则或摩根定律均可。 原运算次序为原运算次序为 二、反演规则二、反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，原变量

16、换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数Y 。例例 A B+C + CDBC Y=第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、对偶规则三、对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展一倍。应用对偶规则可将

17、基本公式和定律扩展一倍。 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量上的变量上的非非号不改变。号不改变。 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。A + AB = A A (A + B) = A 例例例例第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 主要要求：主要要求： 理解并初步掌握理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。逻辑函数的建立和表示的方法。 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相相互转换的方法互转换的方法。 理解理解最小项的概念与编号最小项的概念与编号方法，了解其主要性方法，

18、了解其主要性质。质。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例 图示为控制楼道照明的开关电路。图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关两个单刀双掷开关 A 和和 B 分别安装在楼上分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。辑电路。 ( (1) ) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表1 11 1YA B0 00 00 00 01 11 10 10 11 01

19、0解：解：方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。 设开关设开关 A、B合向左侧时为合向左侧时为 0 0 状态，合向右状态，合向右侧时为侧时为 1 1 状态；状态；Y 表示灯，灯亮时为表示灯，灯亮时为 1 1 状态，灯状态，灯灭时为灭时为 0 0 状态。则可列出真值表为状态。则可列出真值表为 一、逻辑函数的建立一、逻辑函数的建立2.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础( (3) ) 画逻辑图画逻辑图 与或与或表达式表达式( (可

20、用可用 2 个个非非门、门、 2 个个与与门和门和 1 个个或门或门实现实现) )异或非异或非表达式表达式( (可用可用 1 个个异异或或门和门和 1 个个非非门实现门实现) ) 设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。( (2) ) 根据真值表写出逻辑式根据真值表写出逻辑式BA = A BBAABY 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量之间逻辑关系的表达式。之间逻辑关系的表达式。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图

21、等表示。1. 真值表真值表 描述输入变量的所有取值组合及其对描述输入变量的所有取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称为真值表。应输出逻辑函数值的表格称为真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。2.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立 二、逻辑函数的表示二、逻辑函数的表示第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 的的真真值值表表。求求

22、函函数数例例 CDABY 0 00 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 10 01 10 01 10 01 11 10 00 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 01 11 10 00 00 01 10 00 01 10 00 00 00 00 00 00 04 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。第第 2 章章 逻辑代数

23、基础逻辑代数基础( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 1的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。2. 逻辑函数式逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。逻辑函数逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。真值表真

24、值表逻辑式逻辑式 例例 ABC100011110 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 0YCBA0 01 11 10 01 10 00 00 01 11 11 11 1逻辑式为逻辑式为 A B C第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础3. 逻辑图逻辑图 运算次序为先运算次序为先非非后后与与再再或或，因此用三，因此用三级门电路实现之。级门电路实现之。根据逻辑式画根据逻辑式画逻辑图的方法逻辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 例例 画画 的逻辑图的逻辑图 反变量用反变量

25、用非非门实现门实现 与与项用项用与与门实现门实现 相加项用相加项用或或门实现门实现 由逻辑符号及相应连线构成的电路图。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 在逻辑函数中，如果一个在逻辑函数中，如果一个与与项（乘积项）包含该逻辑函数的项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该与与项称为最小项。对于项称为最小项。对于 n 个变量的逻辑函数共有个变量的逻辑函数共有 2n 个最小项。个最小项。1. 最小项的定义最小项的定义 一、一、最小项的定义和性质最小项的定义和性质

26、2.4.2 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三变变量量最最小小项项表表1 1 1

27、1 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为 1 1。( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对于变量的同一组取值，任意两个最小项逻辑对于变量的同一组取值，

28、任意两个最小项逻辑与与的结的结 果为果为 0 0。( (4) ) 对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑或或的结果为的结果为 1 1。 1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小

29、项值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三变变量量最最小小项项表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础3. 最小项编号最小项编号 最小项用最小项用 m 表示表示,通常用十进制数作为最小项的下标编号。通常用十进制数作为最小项的下标编号。编号方法是：将最小项中的原变量当作编号方法是：将最小项中的原变量当作1 1，反变量当作，反变量当

30、作 0 0 ，则得，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。例如例如 BCA0110113m3m44100100CBA第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础三三变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210ABC1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10

31、 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACAB简记符号简记符号m7m6m5m4m3m2m1m0第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础4. 最小项表达式最小项表达式 标准标准与与- -或或表达式表达式 在在与或与或逻辑函数表达式中，有时逻辑函数表达式中，有时与与项并不是最小项，项并不是最小项，这时可利用这时可利用 A + A = 1 1的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变化成最小项之和的最小项表达式，又称标准化成最小项之和的最小项表达式，又称标准与与- -或或式。式。第第 2

32、章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 在逻辑函数中，如果一个在逻辑函数中，如果一个或或项包含了该逻辑函数的全部变量，项包含了该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该或或项为最大项为最大项。对于项。对于 n 个变量的逻辑函数共有个变量的逻辑函数共有 2n 个最大项。个最大项。1. 最大项的定义最大项的定义 二、二、最大项的定义和性质最大项的定义和性质三变量最大项表三变量最大项表0 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 1

33、1 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 0A+B+C最大项编号最大项编号最大项最大项最最 大大 项项 值值M5M4M3M2M1M0111111110110101101100100011011010010001001000000ABCM7M6编号编号A+B+CA+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+

34、C第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2. 最大项的基本性质最大项的基本性质 ( (1) ) 对于变量的任一组取值，只有一个最大项的值对于变量的任一组取值，只有一个最大项的值 为为 0 0。( (2) ) 不同的最大项，使其值为不同的最大项，使其值为 0 0 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑或或的结的结 果为果为 1 1。(4)(4) 对于变量的同一组取值，全部最大项逻辑对于变量的同一组取值，全部最大项逻辑与与的结果为的结果为 0 0。 三变量最大项表三变量最大项表0 01 11 1

35、1 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 0A+B+C最大项编号最大项编号最大项最大项最最 大大 项项 值值M5M4M3M2M1M0111111110110101101100100011011010010001001000000ABCM7M6编号编号A+B+CA+B+C A+B

36、+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础3. 最大项编号最大项编号 最大项用最大项用 M 表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作 0 0，反变量当作反变量当作 1 1 ，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最大项的编号。最大项的编号。例如例如 44MCBACBACBAm 4. 最大

37、项和最小项的关系最大项和最小项的关系 变量数相同时，下标编号相同的最大项和最小项应为互变量数相同时，下标编号相同的最大项和最小项应为互补，即补，即 Mi= mi mi = Mi 44mCBACBACBAM例如例如 CBA0100102M2M44100100CBA第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 主要要求：主要要求： 了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。熟悉逻辑函数的熟悉逻辑函数的公式化简法公式化简法。理解理解最简最简与与- -或或式和最简式和最简与非与非- -与非与非式式的标准。的标准。 第第 2

38、章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5.1 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简取最简与与- -或或式，然后通过变换得到所需最简式。式，然后通过变换得到所需最简式。 一、化简逻辑函数的意义一、化简逻辑函数的意义第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础最简最简与与 - - 或或式标准式标准 ( (1)

39、)乘积项乘积项( (即即与与项项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用用与与门个数最少门个数最少与与门的输入端数最少门的输入端数最少 最简最简与非与非 - - 与非与非式标准式标准( (1) )非非号个数最少号个数最少( (2) )每个每个非非号中的变量数最少号中的变量数最少 用用与非与非门个数最少门个数最少与非与非门的输入端数最少门的输入端数最少 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑式有逻辑式有多种形式，采多种形式，采用何种形式视用何种形式视需要而定。各需要而定。各种形式间可以种形式间可以相互变换。相互变换。 例如例如 CBBA

40、Y )(CBBA CBBA CBBA BCBA 与与- -或或表达式表达式 或或- -与与表达式表达式 与非与非- -与非与非表达式表达式 或非或非- -或非或非表达式表达式 与与- -或或- -非非表达式表达式 转转换换方方法法举举例例与与- -或或式式 与非与非- -与非与非式式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或或 - -与与式式 或非或非- -或非或非式式 与与- -或或- -非非式式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 二、逻辑函数的常见表达形式二、逻辑函数的常见表达形

41、式 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。对逻辑式进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB BA )(CBACBA A CBACBAY 例例 )()(CBCBACBBCAY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础AB 吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，消去多余的消去多余的与与项。项。 CAABBCCAAB BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAA

42、BC )(FEABABY 例例 BDDCDAABCY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础消去法消去法 运用运用 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBAAB)( CABAB CAB )(BAABCDBABA BACDBA )(CDBA )(CDBABA CBCAABY 例例 CDBAABCDBABAY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础配项法配项法 DCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 例例 例例 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。A+A

43、=1 1A A = 0 0第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 应用应用BABAA DCCA DCA 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。CBDBDAACY 解：解： 应用应用BABAA DABCBAC DCBAC 应用应用 AB CBACCBAC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。CAABCBAY 解：解： YCAABCBA CABA 应用应用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律第第 2

44、章章 逻辑代数基础逻辑代数基础主要要求：主要要求： 掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。的应用。 2.6逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 一、一、最小项卡诺图的组成最小项卡诺图的组成2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相消去互反变量，化简为相同变量相与与。

45、1. 相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 例如例如ABC+ABC = AB(C+C ) =AB第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 将将 n 个变量的个变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为这样排列得到的

46、方格图称为 n 变量最小项卡诺图，变量最小项卡诺图，简称为简称为 n 变量卡诺图。变量卡诺图。卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。 2. 卡诺图的组成卡诺图的组成 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础000000001001 m3 m1 m0 m4ABC0 01 1三三变变量量卡卡诺诺图图变量取变量取 0 0 的代以反变量，取的代以反变量，取 1 1 的代以原变量。的代以原变量。二二变变量量卡卡诺诺图图0 01 10 10 1000001011010111100000101AB0 01 10 10 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BA

47、BABABAB四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD000001011111101000 01 00 01 11 11 101000 0100 011111 1010 m6 m7 m2 m5 6 7 5 4 2 3 1 0 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性AB第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相

48、邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻卡诺图中的相邻项卡诺图中的相邻项第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例例 原变量取原变量取 1 1，反变量取，反变量取 0 0。DCBA1 10 00 01 1 ？ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 ABCD DCBA第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、二、 用卡诺图表示

49、逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准求逻辑函数真值表或者标准与与- -或或式或者式或者与与- -或或式。式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或者标准根据真值表或者标准与与- -或或式或者式或者与与- -或或式填图。式填图。 基基本本步步骤骤逻辑函逻辑函数为标数为标准准与与- -或或式，式，画函数画函数卡诺图卡诺图 例例 试画出函数试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图。的卡诺图。解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填卡诺图填卡诺图 逻辑式中的逻辑式中的最

50、小项最小项 m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填对应的方格填 1 1，其余不填。其余不填。ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函逻辑函数为非数为非标准标准与与- -或或表达表达式，画式，画函数卡函数卡诺图诺图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为将逻辑式转化为与与- -或或式式( (2) ) 作变量卡诺图作变量卡诺图找出各找出各与与项所对项所对应的最小项方格应的最小项方格填填

51、1 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10根据根据与与- -或或式填卡式填卡 诺图诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1 1， B = 1 1 的方格。的方格。 ABDABCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1 1，C = 0 0，D = 1 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最

52、小项为同时满足 A = 0 0，D = 1 1的方格。的方格。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函逻辑函数为真数为真值表，值表，画函数画函数卡诺图卡诺图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：( (1) ) 画三变量卡诺图。画三变量卡诺图。0 01 1 11 1 11 11 1 01 1 00 01 0 11 0 11 11 0 01 0 00 00 1 10 1 11 10 1 00 1 00 00 0 10 0 11 10 0 00 0 0YA B CABC0 01 100 0100 0111 11 10

53、10 6 7 5 4 2 3 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1 1，其余不填。，其余不填。m0m2m4m6第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.6.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 公式化简法与卡诺图化简法的特点公式化简法与卡诺图化简法的特点化简依据化简依据用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，合并，消去互消去互反变量反变量，以达到化简的

54、目的。，以达到化简的目的。公式化公式化简法简法 优点：对变量个数没有限制。优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否为最简式。缺点：需技巧，不易判断是否为最简式。 卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法，优点：简单、直观，有一定的步骤和方法， 易判断结果为最简式。易判断结果为最简式。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于 四变量及四变量以下函数的化简。四变量及四变量以下函数的化简。 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础化简规律化简规律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去

55、这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；8 个相邻个相邻最小项有最小项有 3 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 3 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与。消消异异存存同同 2.6.2 用卡诺图化简逻辑函数用

56、卡诺图化简逻辑函数 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相为相同变量相与与。 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相化简结果为相同变量相与与。8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量AABCD+ABCD=ABD例如例如第第

57、2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 1 方格。先圈小再圈大，方格。先圈小再圈大，圈越大越好；圈越大越好；1 1 方格可重复圈，但必须每圈有新方格可重复圈，但必须每圈有新 1 1；每；每个个 1 1 方方格必须圈到，孤立格必须圈到，孤立 1 1 方格也不能漏掉。方格也不能漏掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 卡

58、诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础循环相邻循环相邻 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数。函数。 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1

59、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各包围圈分别化简将各包围圈分别化简圈圈 2 个个1 1可消去可消去 1 个变量，个变量，化简为化简为 3 个相同变量相个相同变量相与与。Yb = BCD圈圈 4 个个1 1可消去可消去 2 个变量，个变量，化简为化简为 2 个相同变量相个相同变量相与与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = ABYd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简将各图化简结果逻辑加，得最简与与- -或或式式DABABCDDCBAY 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：( (1) )画变量卡诺

60、图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数。函数。 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最简求最简与与- -或或式式 Y= 1 1BDA消消 1 个剩个剩 3 个个( (3) )画包围圈画包围圈BCD 消消 2 个剩个剩 2 个个DA 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻DB 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础ABCD00000101