辗转相除法与更相减损术新人教必修实用教案

1、会计学1辗转相除法与更相减损术辗转相除法与更相减损术 新人新人(xnrn)教必修教必修第一页，共19页。第1页/共19页第二页，共19页。知识知识(zh shi)探究（一）探究（一）:辗转相辗转相除法除法思考思考1:181:18与与3030的最大公约数是多少的最大公约数是多少(dusho)(dusho)？你是怎样得到的？你是怎样得到的？ 先用两个数公有的质因数连续去除，先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数所有的除数(ch sh)(ch sh)连乘起来即为最大连乘起来即为最大公约数公约数. . 第2页/共19页第三页，

2、共19页。思考思考2:2:对于对于82518251与与61056105这两个数，由于这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难最大公约数就比较困难. .注意注意(zh y)(zh y)到到8251=61058251=61051+21461+2146，那么，那么82518251与与61056105这两个数的公约数和这两个数的公约数和61056105与与21462146的的公约数有什么关系？公约数有什么关系？ 第3页/共19页第四页，共19页。思考思考3:3:又又6105=21466105=21462+18132+1813，同理，同理，6

3、1056105与与21462146的公约数和的公约数和21462146与与18131813的公的公约数相等约数相等. .重复重复(chngf)(chngf)上述操作，你上述操作，你能得到能得到82518251与与61056105这两个数的最大公约数这两个数的最大公约数吗？吗？21462146= =181318131+1+333333，148148= =37374+0.4+0.333333= =1481482+2+3737，18131813= =3333335+5+148148，8251=8251=610561051+1+21462146，61056105= =214621462+2+18131

4、813，第4页/共19页第五页，共19页。思考思考4:4:上述求两个正整数的最大公约数上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法的方法称为辗转相除法或欧几里得算法. .一般地，用辗转相除法求两个正整数一般地，用辗转相除法求两个正整数m m，n n的最大公约数，可以用什么逻辑结的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何构来构造算法？其算法步骤如何(rh)(rh)设计？设计？ 第一步，给定第一步，给定(i dn)(i dn)两个正整数两个正整数m m，n(mn).n(mn).第二步，计算第二步，计算(j sun)m(j sun)m除以除以n n所得的余数所得的余

5、数r. r. 第三步，第三步，m=nm=n，n=r.n=r.第四步，若第四步，若r=0r=0，则，则m m，n n的最大公约数等的最大公约数等 于于m m；否则，返回第二步；否则，返回第二步. . 第5页/共19页第六页，共19页。思考思考(sko)5:(sko)5:该算法的程序框图如何该算法的程序框图如何表示？表示？开始开始输入输入m，n求求m除以除以n的余数的余数rm=nn=rr=0？是是输出输出m结束结束否否第6页/共19页第七页，共19页。思考思考6:6:该程序框图对应该程序框图对应(duyng)(duyng)的程序如的程序如何表述？何表述？INPUT mINPUT m，n nDODO

6、r=m MODnr=m MODnm=nm=nn=rn=rLOOP UNTIL r=0LOOP UNTIL r=0PRINT mPRINT mENDEND开始开始输入输入m，n求求m除以除以n的余数的余数rm=nn=rr=0？是是输出输出m结束结束否否第7页/共19页第八页，共19页。思考思考7:7:如果用当型循环结构构造算法如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数，则用辗转相除法求两个正整数m m，n n的最大公约数的程序的最大公约数的程序(chngx)(chngx)框图框图和程序和程序(chngx)(chngx)分别如何表示？分别如何表示？第8页/共19页第九页，共19页。开始

7、开始输入输入m，n求求m除以除以n的余数的余数rm =nn 0？否否输出输出m结束结束是是n=rINPUT mINPUT m，n nWHILE nWHILE n0 0r=m MODnr=m MODnm=nm=nn=rn=rWENDWENDPRINT mPRINT mENDEND第9页/共19页第十页，共19页。知识探究知识探究(tnji)（二）（二）:更相减更相减损术损术 思考思考(sko)1:(sko)1:设两个正整数设两个正整数mnmn，若，若m-m-n=kn=k，则，则m m与与n n的最大公约数和的最大公约数和n n与与k k的最大的最大公约数相等公约数相等. .反复利用这个原理，可求

8、得反复利用这个原理，可求得9898与与6363的最大公约数为多少？的最大公约数为多少？98-63=3598-63=35，14-7=7.14-7=7.21-7=1421-7=14，28-7=2128-7=21，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，第10页/共19页第十一页，共19页。思考思考2:2:上述求两个正整数的最大公约数的方上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术法称为更相减损术. .一般地，用更相减损术一般地，用更相减损术求两个正整数求两个正整数m m，n n的最大公约数，可以用什的最大公约数，可以用什么逻辑结构么逻辑结构(jigu)(jigu)来构造

9、算法？其算法步来构造算法？其算法步骤如何设计？骤如何设计？第一步，给定第一步，给定(i dn)(i dn)两个正整数两个正整数m m，n(mn). n(mn). 第二步，计算第二步，计算(j sun)m-n(j sun)m-n所得的差所得的差k. k. 第三步，比较第三步，比较n n与与k k的大小，其中大者用的大小，其中大者用m m表表 示，小者用示，小者用n n表示表示. . 第四步，若第四步，若m=nm=n，则，则m m，n n的最大公约数等于的最大公约数等于 m m；否则，返回第二步；否则，返回第二步. . 第11页/共19页第十二页，共19页。思考思考3:3:该算法的程序框图如何该算

10、法的程序框图如何(rh)(rh)表表示？示？开始开始输入输入m，nnk？m=n是是输出输出m结束结束mn？k=m- -n是是否否n=km=k否否第12页/共19页第十三页，共19页。思考思考4:4:该程序该程序(chngx)(chngx)框图对应的程序框图对应的程序(chngx)(chngx)如何表述？如何表述？INPUT mINPUT m，n nWHILE WHILE m mn nk=m-nk=m-nIF nIF nk THENk THENm=nm=nn=kn=kELSEELSEm=km=kEND IFEND IFWENDWENDPRINT mPRINT mENDEND开始开始输入输入m，n

11、nk？m=n是是输 出输 出m结束结束mn？k=m- -n是是否否n=km=k否否第13页/共19页第十四页，共19页。“更相减损术更相减损术”在中国古代数学专著九章在中国古代数学专著九章算术算术(ji zhn sun sh)(ji zhn sun sh)中记述为：中记述为： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之约之. . 第14页/共19页第十五页，共19页。理论理论(lln)迁迁移移 例1 分别用辗转(zhnzhun)相除法和更相减损术求168与93的最大公约数. 辗转辗

12、转(zhnzhun)(zhnzhun)相除法：相除法：168=93168=931+751+75， 93=75 93=751+181+18， 75=18 75=184+34+3， 18=3 18=36.6.第15页/共19页第十六页，共19页。更相减损更相减损(jin sn)(jin sn)术术:168-93=75:168-93=75， 93-75=18 93-75=18， 75-18=57 75-18=57， 57-18=39 57-18=39， 39-18=21 39-18=21， 21-18=3 21-18=3， 18-3=15 18-3=15， 15-3=12 15-3=12， 12-3

13、=9 12-3=9， 9-3=6 9-3=6， 6-3=3. 6-3=3.第16页/共19页第十七页，共19页。 例例2 2 求求325325，130130，270270三个数的最大公三个数的最大公约数约数. . 因为因为(yn wi)325=130(yn wi)325=1302+652+65，130=65130=652 2，所以，所以325325与与130130的最大公约数是的最大公约数是65. 65. 因为因为(yn wi)270=65(yn wi)270=654+104+10，65=1065=106+56+5，10=510=52 2，所以，所以6565与与270270最大最大公约数是公约

14、数是5. 5. 故故325325，130130，270270三个数的最大公约三个数的最大公约数是数是5.5.第17页/共19页第十八页，共19页。 1. 1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数用较大的数除以较小的数，若余数(ysh)(ysh)不为零不为零，则将余数，则将余数(ysh)(ysh)和较小的数构成新的一对数，和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. . 小结小结(xioj