近年高考数学试题分析 - 近三年全国高考数学试题分析小结

1、近年全国高考数学试题分析小结命题走势(1)1三年的“集合考了哪些内容？集合是近代数学的根底，简易逻辑为数学学习和运用知识解决问题提供了知识上的准备，是历年高考的必考点.纵观近三年的高考试题，集合、简易逻辑以选择题、填空题为主，难度多位于中、低档.本章的考查的重点集中表达在以下几点：一、集合本身的知识，即集合本的有关概念、关系运算等1.07全国设，集合，那么 A1 B C2 D【解答a+b=0或 a=0a为分母，不合题意，舍去.那么只有a=-b.再看第二个集合中的b,只有对应第一个集合中的1，b-a=2. 答案为C.【说明】 考查了集合的概念中的元素的三性.2.07江西假设集合M0，l，2，N(

2、x，y)|x2y10且x2y10，x，y M，那么N中元素的个数为 ( )A9 B6 C4 D2【解答】 C 因为x、yM，故把所有可能共9种情况代入验证即可.【说明】 关于集合元素个数的问题.二、对集合语言与集合思想的运用，如方程与不等式的解集、函数定义域和值域、曲线间的相交问题等，也即集合作为工具在数学中的应用。3.(07年山东)集合，那么 ABCD【解答】 集合M中没有元素0，因此C、D排除，再看1是否是N中元素，代入验算，不适宜，因此A被排除.答案为B.【说明】 此题中集合M是用列举法给出的，不要弄错哦！4.(07年安徽)假设，那么的元素个数为A0B1C2D3【解析】 C =，=， =

3、，其中的元素个数为2，选C。【说明】 考查了补集、交集的运算.5.07年湖北设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果P=x|log2x1,Q=x|x-2|1,那么P-Q等于Ax|0x1 B.x|0x1 C.x|1x2 D.x|2x3【解答】 看关键数1：1P而1Q，所以A、D排除.当x=满足条件.答案为B.【说明】 新定义一个集合的运算规那么，要求考生现场发挥.607北京集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.假设对于任意的，那么称集合具有性质.检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；对任何具有性质的集合，证明：；判断的大小关系，

4、并证明你的结论.【解答】解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是；证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,又因为当，所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.解：，证明如下：对于，根据定义如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的元素个数不多于中的元素个数，即；对于，根据定义如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的元素个数不多于中的元素个数，即.由可知.【说明】 此题以集合为载体，涉及到它的性质，考查了考生的知识迁移能力和抽象思维能力.三、命题和充要条件的知识，命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和

5、推理能力707湖北是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有以下命题：是的充要条件；是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件；的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要条件，那么正确命题序号是A. B. C. D. B【解答】 B 由题意，得所以答案为B.【说明】 此题考查充要条件的概念及“逻辑非命题.8. 07江西设p：f(x)exIn x2x2mxl在(0，)内单调递增，q：m5，那么p是q的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】 由题意知 f (x)=在0，+上恒成立.那么恒成立.当

6、 综合 的最大值要小于-5，不妨设为c.mc不可能推出m-5.但由m-5,可以推出mc.故B正确.【说明】 此题考查了函数与导数恒成立问题的综合应用.命题走势 (4)三年的“三角函数考到怎样难度？三角函数的考查形式与特点主要有：一、客观题重根底，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.【例1】 2007年四川下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=|.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数其中真命题的序号是 写出所有真命题的编

7、号解答：，正确；错误；，和在第一象限无交点，错误；正确；错误应选【点评】 此题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的根底知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2021年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.【例2】2007年安徽函数的图象为C： 图象关于直线对称; 函数在区间内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中正确论断的个数为 A0B1C2D3解答 C 图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；正确；x时，(，)， 函数在区间内是增函数；正确；由的图象向右平移

8、个单位长度可以得到，得不到图象，错误； 正确的结论有2个，选C.【点评】 此题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换. 二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的根底性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题.【例3】 2007年安徽为的最小正周期，且ab求的值解答：因为为的最小正周期，故因，又故由于，所以【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数根本关系式，考查运算能力和推理能力属于三角函数求值问题. 本类问题一般有三种形式：给式求值，给值求值，给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函

9、数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.【例4】 2007年天津函数求函数的最小正周期；求函数在区间上的最小值和最大值解答：解：因此，函数的最小正周期为解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：yxO由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等根底知识，考查根本运算能力 三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能.【例5】 2007年四川如图，l1、l2

10、、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，那么ABC的边长是 A BC D解答：D 因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，那么BAD=BAC+CAE，即BAD=60+CAE,记正三角形ABC的边长为a,两边取余弦得：，即整理得，应选D. 【点评】 此题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.此题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.【例6】 2007年全国

11、设锐角三角形的内角的对边分别为，求的大小；求的取值范围解：由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得由为锐角三角形知， ，所以由此有，所以，的取值范围为【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，2问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，但题干中ABC为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.四、综合表达三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题.【例7】 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙

12、船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？北甲乙解法一：如图，连结，由，又，是等边三角形，由，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里【点评】 此题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理. 由于近年

13、高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解容许用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.【例8】 函数，I证明：当时，在上是增函数；II对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；III证明：解答：()证明：由题设得又由,且t得t，即0由此可知，为R上的增函数()证法一：因为0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得0，即t在闭区间a,b上成立即可因此y=在闭区间a,b上连续，故在闭区a,b上有最大值，设其为k，tk时, 0在闭区间a,b上恒成立，即在闭区间a,b上为减函数证法二：因为0是为减函数的充

14、分条件，所以只要找到实数k，使得tk时0，在闭区间a,b上成立即可令那么0()当且仅当0()而上式成立只需即成立取与中较大者记为k，易知当tk时，0在闭区a,b成立，即在闭区间a,b上为减函数()证法一：设易得令那么易知当x0时, 0;当x0, 0故当x=0时，取最小值，所以，于是对任意x、t，有，即证法二：设=，当且仅当0只需证明0，即1以下同证法一证法三：设=，那么易得当t时, 0; t时, 0，故当t=取最小值即以下同证法一证法四: 设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，那么以下同证法一【点评】 此题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立

15、的有关问题的交汇处命题，真正表达了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.(5) 三年的“平面向量考了哪些内容？平面向量是高中数学的三大数学工具之一，具有代数和几何的双重性.向量是数形结合的典范，是高考数学综合题命制的根本素材和主要背景之一，也是近年高考的热点.主要涉及的知识点有：一、向量的加法与减法、实数与向量的积向量根本概念及相关的根本理论在高考试题中可以以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运算及其几何意义在试题的难易程度上可以偏难一些。【例1】 2006年北京卷假设三点共线，那么的值等于 .解：， ，依题意，有a2b240即ab2a2b0所

16、以【例2】 2006年上海 如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是 ABCDA BCD0解：由向量定义易得， C选项错误；.二、向量的数量积与运算律【例3】 2006年辽宁卷设,点是线段上的一个动点,假设,那么实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 解答：解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,应选择答案B. 【点评】 此题考查向量的表示方法,向量的根本运算,定比分点中定比的范围等等.【例4】 2006年辽宁 点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;【解析】(I)证明1: 整理得: 设M(x

17、,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,那么即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上那么即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径【点评】本小题考查了平面向量的根本运算.三、两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移【例5】 2005年全国卷点在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)即点的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位设开始时点的坐标为-10，10，那么秒后点的坐标为A-2，4 B-30，25 C10

18、，-5 D5，-10解：设5秒后点P运动到点A,那么,=(10,-5),选(C)【例6】 2006年湖北卷设函数 fx=ab+c，其中向量a=sinx,-cosx，b=sinx,-3cosx，c=-cosx,sinx，xR.求函数的最大值和最小正周期；将函数的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.由sin(2x+)0得2x

19、+k.，即x,kZ，于是d，2，kZ.因为k为整数，要使最小，那么只有k1，此时d，2即为所求. 【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的根本知识，考查推理和运算能力。四、正弦定理、余弦定理、解斜三角形 【例7】 2005年江苏卷ABC中，那么ABC的周长为A BC D 解答：在中，由正弦定理得：化简得AC= ，化简得AB=， 所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+ =3+ 应选D.【点评】 此题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用. 【例8】 2006年天津卷如图，在中，1求的值；2求的值. 解答：由余弦定理由，且得

20、由正弦定理解得由倍角公式，故 【点评】 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等根底知识.考查根本运算能力及分析和解决问题的能力.五、平面向量的工具性应用【例9】 2007年四川卷设、分别是椭圆的左、右焦点.假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围.解答：解法一：易知所以，设，那么因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，那么以下同解法一显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或

21、【点评】此题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等根底知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力. 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份，使向量与函数、三角函数、解析几何、立体几何之间有着密切联系.在高考中就着重突出了对向量与数学其他分支的结合考查. 同学们在平时的复习中，需要能熟练地掌握向量语言与其他数学语言之间的等价转化.命题走势6(6) 三年的“不等式考到怎样难度？不等式在高考中属主体内容，它与代数内容联系密切，高考中所占比例约为1015%.从近三年的高考试题来看，考查的内容及其难度主要以有以下几点：一、不等式的性质、根本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中

22、，一般属于容易题或中档题.因此，关于这一局部的知识，考生在备考中要注意理解并深刻记忆根本公式.【例1】 2006年江苏卷设a、b、c是互不相等的正数，那么以下等式中不恒成立的是ABCD解答：运用排除法，C选项，当a-b2的解集为(A)1，23，+ (B)，+(C)1，2 ，+ (D)1，2解答：令2x2，解得1x2x2解得x，+选C.【例5】 2007年安徽卷解不等式 解答：因为对任意，所以原不等式等价于即，故解为所以原不等式的解集为【点评】此题将绝对值和三角函数融合到解不等式中进行考查，其根源是高次不等式的解法，解简单的高次不等式时，将高次系数化为正，再进行因式分解往往分解为多个一次因式的乘

23、积的形式，然后运用“数轴标根三、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，复习时尤其是注意以导数或向量为背景的导数或向量、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题.【例6】 2006年四川卷函数f(x)=, f(x)的导函数是.对任意两个不相等的正数，证明：当时，；当时，。解答：由 得 而 又 由、得即证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，那么令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，那么，列表：极小值 即 即对任意两个不相等的正数，恒有【点评】 本小题主要考查导数的根本性质和应用，函数的性质和平均值

24、不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，是一道综合性的难题.【例6】 2007年四川卷设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?假设存在,试证明你的结论并求出a的值;假设不存在,请说明理由.解答：解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是证法一：因证法二：因而故只需对和进行比拟。令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。【点评】此题考查函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容.考查综合推理

25、论证与分析解决问题的能力及创新意识.不等式本身表达的是放缩思想，所以此题紧扣求证的目标，证法一进行了四次放缩，第一次运用均值不等式放缩，第二次抓住进行放缩，第三次利用进行放缩，最后利用反比例函数的单调性实现了最后一次成功放缩，从而到达了求证的目标，该种解法难度比拟大.第二种证明方法那么抓住求证的目标，均值不等式放缩后，运用分析综合法，联系比拟法，进行大小比拟，思路自然，只不过为了说明大小关系，最后运用导数判断单调性，使问题得到解决.As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to you

26、r Web pages using visual filters and transitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filter

27、s and transitions with basic scripting, you can create visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an object and the objects background. Procedural surfaces def