结构动力学课件3-4

1、1利用复数Fourier级数得到复数形式的解用复数Fourier级数将周期荷载展开，p(t) = p eiwjt ,p = 1 Tp p(t)e-iwjt dt , p = p(w )jj0jj j =-Tp先计算复荷载eiwjt作用系稳态反应的复幅值，设：总的稳态反应为:H(iw)复频反应函数，也称为频响函数，传递函数。6/71H (iw ) = 1 1jk 1 - (w w )2 + i2z (w w )jnjn u(t) = p u (t) = H (iw ) p eiw jtj jjjj =-j =-mu& + cu& + ku = eiw jtu (t) = H (iw )eiw j

2、t jj3.7 单度体系对周期荷载的反应任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：5/710jju(t) = u +(u c + u s )j =1= a0 k 1 a (2zb ) + b (1 - b 2 )+ jjjj sin w t k (1 - b 2 )2 + (2zb )2jj =1jj 1 a (1 - b 2 ) - b (2zb )+ jjjj cosw t k (1 - b 2 )2 + (2zb )2jj =1jjb j = w j / wn3.7 单度体系对周期荷载的反应当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-开始到+。初始条件(t=-) 的影响到t=0 时

3、已完全消失，仅需计算稳态解，即特解。对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：a0 :aj cos(wjt) :bj sin(wjt) :4/71b (1 - b 2 ) sinw t - 2zb cosw t u s = jjjjj jk(1 - b 2 )2 + (2zb )2jja 2zb sinw t + (1 - b 2 ) cosw t u c = jjjjj jk(1 - b 2 )2 + (2zb )2jju0 = a0 / k3.7 单度体系对周期荷载的反应设任意的周期荷载p(t)，将其展开成Fourier级数，w = jw = j 2pT 荷载的周期j1Tpp3/71a =

4、1 Tp p(t)dt0T 0pTa j = 1 ,2 ,3 ,LTb j = 1 ,2 ,3 ,Lp(t) = a0 + a j cosw jt + bj sin w jtj =1j =13.7 单度体系对周期荷载的反应依靠的基础：依靠已得到的单 度体系对简谐荷载反应分析结果。在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析单 度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载是一种最简单、最具代表性的周期荷载。任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。具体实施方法：利用Fourier级数展开法。将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷

5、载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。限制条件：结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。2/71第3章 单度体系3.7 单度体系对周期荷载的反应1/71。21/1/3.8.1 时域分析方法Duhamel积分1、脉冲反应函数脉冲及脉冲反应函数12/71p3.8.1 时域分析方法Duhamel积分u(t ) = 01、脉冲反应函数 1u&(t ) =m无阻尼体系的脉冲反应函数为有阻尼体系的脉冲反应函数为11/71h(t - t ) = u(t) =1 e-zwn (t -t ) sinw (t - t ) t tmwDD= 0t th(t - t )

6、= u(t) = 1 sinw (t - t ) t tmwnn= 0t tt2脉冲引起的反应.在任意时间t结构的反应，等.du于t以前所有脉冲作用下反应t的和：时刻脉冲引起的反应.u.t总反应13/71ttu(t) = du = p(t )h(t -t )dt004离散Fourier变换（DFT）将离散化的值代入Fourier正变换公式，并应用梯形积分公式得：将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用梯形积分公式得：24/71u(t ) = 1 +iwtk1 +iwtkk2p - U (w)edw = 2p - H (iw)P(w)edwN -1N -1i 2pkj= 1 H (iw

7、 )P(w )eiw j tk Dw = 1 H (iw )P(w )e N2pjjTjjj =0p j =0+-iw tN -1-iw tN -1-i 2pkjP(w j ) = p(t)e j dt = p(tk )e j k Dt = Dt p(tk )e N-k =0k =0离散Fourier变换（DFT）对连续变化的函数用等步长离散（数值采样）时域离散化：p(tk ), k = 0, 1, 2,L, N -1tk = k Dt ,Dt = Tp / N频域离散化：P(wj ), j = 0, 1, 2,L, N -1wj = j Dw ,Dw = 2p /Tp23/713.8.2 频

8、域分析方法Fourier变换法离散Fourier变换 （DFT）q 在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。q 当外荷载是复杂的时间函数(如 动)时，用 型的Fourier变换几乎是不可能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。22/71u(t) = 1 +H (iw)P(w)eiwt dw2p -+P(w) = p(t)e-iwt dt-3.8.2 频域分析方法Fourier变换法频域分析方法的基本计算步骤1 对外荷载p(t)作Fourier变换, 得到荷载的Fourier谱P(w)：p(t)

9、 F P(w)2 根据外荷载的Fourier谱P(w)和复频反应函数H(iw)，得到结构反应的频域解Fourier谱U(w)：U(w)=H(iw)P(w) H (iw) = 1 1k 1 - (w / w )2 + i2z (w / w )nn3 应用Fourier逆变换，由频域解U(w)得到时域解u(t)：U (w) 逆F u(t)21/713.8.2 频域分析方法Fourier变换法单度体系运动的频域解为U (w) = H (iw)P(w)H (iw) = 1 1k 1 - (w / w )2 + i2z (w / w )nn H(iw)复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。再利用Fou

10、rier逆变换，即得到体系的位移解u(t) = 1 + H (iw)P(w)eiwt dw2p -20/71- w 2U (w) + i2zw wU (w) + w 2U (w) = 1 P(w)nnm3.8.2 频域分析方法Fourier变换法单度体系时域运动方程 U(w) = (t)e-iwtdt- u1 u(t) = U(w)eiwtdw2p - u&(t)e-iwt dt = iwU (w)- u&(t)e-iwt dt = -w 2U (w)-u&(t) + 2zw u&(t) + w 2u(t) = 1 p(t)nnm对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单度体系频域运

11、动方程- w 2U (w) + i2zw wU (w) + w 2U (w) = 1 P(w)nnmU (w) F u(t) , P(w) F p(t)19/7153.9 结构反应分析的反应谱法30/71离散Fourier变换（DFT）l Fourier变换，特别是快速Fourier变换在信号分析和处理中得到广泛应用，目前已有标准的 Fourier变换和快速Fourier变换程序可用。l 但作为一种微分方程的解法，在用于求解结构的运动方程时，为获得可靠的结构动力反应分析结果，仍需要对这一分析方法的特点有全面的了解和掌握。29/71离散Fourier变换（DFT）2. 结构的动力反应也被周期化，

12、对此要加足够多的0点以增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段0, Tp内，结构的位移能衰减到0。utuTpTpTp t28/71离散Fourier变换（DFT）2. 由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，使得外荷载变成周期性荷载，如下图所示，原荷载的持续时间Tp 变成周期性荷载的周期。27/71离散Fourier变换（DFT）应用离散Fourier变换时应注意事项:1. 离散Fourier变换将非周期时间函数周期化2. 由于第1点原因，对p(t)要加足够多的0点增大持续时间 Tp，以保证在所计算的时间段0, Tp内，体系的位移能衰减到03. 频谱上限频率fNyquest=1/2Dt

13、，wNyquest=2pfNyquest4. 频谱的分辨率为Df=1/Tp，即Dw=2p/Tp5. 频谱的下限f1=1/Tp26/711 N -1i 2pkjp(tk ) = P(w j )e NTp j =0离散Fourier变换（DFT）以上公式即是求结构反应的离散Fourier变换方法DFT如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到快速Fourier变换FFT，应用FFT可以大大加快分析速度和减少工作量。离散Fourier变换需要N2次乘法运算，而快速Fourier变换可把乘法运算次数减少到大约5Nlog2N。若N1000，则FFT可以把乘法运算由百万次减少到50000次左右。

14、 N越大，FFT算法的效率越明显。25/711 N -1i 2pkju(tk ) = H (iw j )P(w j )e NTp j =0N -1-i 2pkjP(w j ) = Dt p(tk )e Nk =06a (g)a (g)a (g)a (g)3.9 结构反应分析的反应谱法当阻尼比z较小时，结构反应计算公式可简化为：在实际工，对结构的绝对度(t)+g(t)感它可根据结构位移的解式直接得到（对上式两次微分）对比以上两式可以发现以上公式仅对于小阻尼时才成立。实际上，这一公式可以直接由运动方程得到。36/71u&(t) + u& (t) = -w 2u(t)gntu&(t) + u&g (

15、t) = wn u& g (t )e-zwn (t-t ) sinwn (t - t )dt0u(t) = -1 t u& (t )e-zwn (t-t ) sin w (t - t )dtw0 gnn3.9 结构反应分析的反应谱法作用下结构相对位移时程，wD = wn 1 - z 2观察以上方程可以发现，对一给定 动ug，结构的地震反应仅与结构的阻尼比z和结构的自振频率wn有关，换句话，对于不同的结构（大小尺寸不同），当其结构阻尼比和自振频率相同时，对同一个 的反应完全相同。35/71u(t) = -1 t u& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dtw0 gDD3

16、.9 结构反应分析的反应谱法作用下结构运动方程为：mu& + cu& + ku = -mu& g其中u=u(t)为相对位移，g(t)为动度时程。等效荷载为peq(t)=-mg(t)，应用Duhamel积分，得到作用下结构的位移为：u(t) = p (t )h(t -t )dt = 1 -mu& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dttt0 eqmw 0gD D= -1 t u& (t )e-zwn (t -t ) sinw (t -t )dtw 0 gDD其中 wD = wn 1 - z 2 有阻尼体系自振频率。34/713.9 结构反应分析的反应谱法度时程的特点为：

17、第1阶段，振幅快速增长；第2阶段，相对稳定；第3阶段，振荡衰减。0.40.60.20.30.00.0-0.3-0.2-0.6-0.4-0.9010203040010203040t (s)Elcentro 波Kobe波t (s)0.080.20.040.10.000.0-0.04-0 .1-0.08-0 .2010203040010203005060Loma Prieta 波t (s)Taft 波t (s)典型动度时程33/71典型动度时程作用的特点：动过程非常复杂，随时间不 规则、快速变化。 在学习了结构动力反应分析方法后，就可以对结构 反应问题开展计算分析。 当 动较小时，结构反应处于线弹性

18、范围，可以采用Duhamel积分，或FFT+复频反应函数的方法获得 作用下结构的反应。根据得到的结构最大变形，最大内力进行抗震设计。 当动较强时，结构反应可能进入塑性，这时可以采用时域逐步积分法进行求解分析。 本节仅限于介绍线弹性反应问题。 将采用Duhamel积分法介绍反应谱的概念。31/7173.9 结构反应分析的反应谱法在工程的工作中，采用归一化反应谱b(Tn) 动力系数，在建筑抗震设计规范中，给出以重力度g为单位的反应谱a(Tn)影响系数，42/71a = a(Tn ) = Sa / gb = b (Tn ) = Sa / u& g3.9 结构反应分析的反应谱法反应谱的意义：在 动作用

19、下，不同周期结构 反应的最大值。反应谱的计算要完成计算一系列具有不同自振周期的结构反应。反应谱在本质上反映的是 动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。一般给出的 反应谱是绝对 度反应谱Sa ，利用 Sd=Sa/wn2即 到位移反应谱，注意到wn2=k/m，则Sd和Sa的关系可表达成：可见，当知道Sa后，用mS 计算等效的最 力，然后按静力方法可计算结构 反应的最大值。对多 度体系可以采用这样的方法完成 作用下最大位移的计算（振型位移）。41/71kumax = FkSd = mSa = F反应谱曲线的计算及物理意义El Centro波的位移、速度、度反应谱曲线39/713.9 结构反应分析

20、的反应谱法当阻尼比z给定时，结构对任一的最大位移反应和最大绝对度反应仅由wn决定，即工一般采用结构的自振周期Tn2p/wn代替圆频率，因而如果改变结构的自振周期Tn就可以得到不同的Sd和Sa，最后可以得到以结构自振周期Tn为自变量的函数Sd和Sa。 称：Sd(相对)位移反应谱,Sa(绝对)度反应谱。38/71Sd = Sd (Tn )Sa = Sa (Tn )Sd = Sd (wn )Sa = Sa (wn )3.9 结构反应分析的反应谱法在结构抗震设计时，人们往往仅需要知道结构反应的最大值，记结构反应的最大相对位移Sd和最大绝对度Sa之间的关系37/71S= w 2SandSd = max

21、u(t)Sa = max u&(t) + u&g (t)83.11 脉冲荷载作用下单度体系的反应48/713.10 阶跃荷载作用下单度体系的反应2 具有有限上升时间的阶跃荷载u = u + 1 (1 - cosw t )2 + (sin w t )2 ost 1 w tr rr r r r具有有限上升时间的阶跃荷载的反应谱47/71R uo = 1 + sin(p tr / Tn )d up t / Tstr n3.10 阶跃荷载作用下单度体系的反应2 具有有限上升时间的阶跃荷载p(t) = (t / tr ) p0 , t trp , t t0r用Duhamel积分法u(t) = u t -

22、 sinwnt , t tst t w t n u(t) = u - 1 sin w t - sin w (t - t ) , t tst 1 w tnn nntr=2(tr/Tn)3.10 阶跃荷载作用下单度体系的反应（Response to Step For）1 理想阶跃荷载1 t2p tu(t) = p0 sinwn (t - t )dt = ust (1 - coswnt) = ust (1 - cos)mwn 0Tn1 t-zw -t-zw zu(t) = p0e nsinwD (t -t )dt = ust 1 - e n coswDt +sinwDt (t )tmwD 01 -

23、z 23.10 阶跃荷载作用下单度体系的反应44/713.9 结构反应分析的反应谱法q 反应谱法是结构反应分析中的一个重要方 法，利用抗震规范给出的平均反应谱可以计算 工程场地结构反应最大值，很简单、方便。但以上介绍的反应谱法限于线弹性，为此人们 也发展了非线性的反应谱，但通常是属于较粗 略的估计。q 对非线性问题，当结构比较重要时，规范要求必须采用弹塑性时程分析方法补充计算，这时采用第5章将介绍的时域逐步积分法可以完成结构动力反应分析计算。43/719脉冲荷载反应三角形脉冲荷载54/71脉冲荷载反应半正弦脉冲荷载反应脉冲荷载反应半正弦脉冲荷载52/71脉冲荷载反应矩形脉冲荷载反应脉冲荷载反应

24、矩形脉冲荷载50/713.11 脉冲荷载作用下单度体系的反应（Response to Pulse Exci ions）冲击荷载是工常遇的荷载形式。例如，结构受冲击波的作用，结构动力试验中使用的锤击荷载等。冲击荷载可以表示为作用时间较短的脉冲。常用的形式有三种：矩形、半正弦、三角形荷载。由于荷载作用时间较短，在脉冲作用下，结构的最大反应可在很短的时间内达到，在此期间，结构的阻尼还来不及吸收较多的振动能量，因此，在计算冲击荷载引起的振动反应时，一般不考虑阻尼的影响。分析方法：分段求解：强迫振动阶段+振动阶段直接用Duhamel积分49/71101、无阻尼振动无阻尼振动是一个简谐运动：u(+ B s

25、in wntu(t) = u(0) cosw t + u&(0) sin w tnwnn建立了结构自振频率和自振周期的概念。60/71T = 2pnwnf = wnn2pw = knm第3章小结59/71等面积的三种脉冲作用下的冲击反应谱58/71等幅值的三种脉冲作用下的冲击反应谱三种脉冲作为集中冲量作用时体系的反应tI = d p(t)dt0对于矩形脉冲I = potd，半周期正弦脉冲I = (2/p)potd，三角形脉冲I = potd/2，在集中冲量作用 系的最大反应分别为56/71uo = p tdustTnuo = 4 tdustTnuo = 2p tdustTnu =I= I 2pomwk Tnnu(t) = I 1 sinw t mwn n脉冲荷载反应三角形脉冲荷载反应116、任意荷载的反应l 脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。l 脉冲反应函数：h(t -t ) =1 e-zwn (t -t ) sinw (t -t )mwDDl 杜哈曼(Duhamel)积分：tu(t) = 0 p(t )h(t -t )dt66/71q 简谐反应，又称单频反应（荷载：简谐式的；反应：简谐式的），简谐反应分析 了结构频域反应分析的基础。q 结构动力反应分析方法：时域