第二章 静电场中的导体

1、两条实验定律两条实验定律两个出发点两个出发点两个基本性质两个基本性质电荷受力电荷受力电场力作功电场力作功两个物理量两个物理量 电场强度电场强度电势能电势能静电场静电场复习复习库仑定律库仑定律叠加原理叠加原理 高斯定理高斯定理环路定理环路定理一、导体的特征一、导体的特征 功函数功函数导体导体电结构的特点电结构的特点: : （1 1）分为：）分为：（P P3 3）存在存在大量大量的的可自由移动可自由移动的的电荷电荷。第一类导体：金属第一类导体：金属第二类导体：酸、碱、盐溶液第二类导体：酸、碱、盐溶液（2 2）金属导体的特征：）金属导体的特征： （P P5454） 不动不动的带正电荷的原子实，大量的

2、自由电子可的带正电荷的原子实，大量的自由电子可在整个金属内运动在整个金属内运动，但不能逸出表面，但不能逸出表面 一个电子从金属内部跑到金属外部一个电子从金属内部跑到金属外部必须做的最小功为必须做的最小功为逸出功。逸出功。+感应电荷感应电荷二二 、静电感应、静电感应 静电平衡条件静电平衡条件1 1 静电感应：静电感应：导体中的自由电子在电场力的作用下作宏导体中的自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现出带电的现观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象象。+0E2 2 静电平衡静电平衡00EEE0E+E0E0E导体内电场强度导体内电场强度外电场强度外电场强度

3、感应电荷电场强度感应电荷电场强度+ +导体是等势体导体是等势体nee静电平衡条件静电平衡条件（1 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体内部任何一点处的电场强度为零；（2 2）导体表面处的电场强度的方向）导体表面处的电场强度的方向, ,都与导体表面垂直都与导体表面垂直. .Eld 导体表面是等势面导体表面是等势面0d lEU 导体内部电势相等导体内部电势相等0d ABABlEUlEdAB三、静电平衡时导体上电荷的分布三、静电平衡时导体上电荷的分布+结论：结论：导体内部无净电荷，导体内部无净电荷，电荷只分布在导体表面电荷只分布在导体表面.00dqSES0E1、实心导体实心导体0qS高斯高斯面

4、面00diiSqSE2、空腔导体空腔导体 空腔内无电荷时空腔内无电荷时电荷分布在表面电荷分布在表面内表面内表面？外表面外表面？S高斯高斯面面0d lEUABAB若内表面带电，必等量异号若内表面带电，必等量异号 结论：结论：空腔内无电荷时，空腔内无电荷时，电荷分布在外表面电荷分布在外表面, , 内表面无电荷内表面无电荷. .0d0qSEiS与导体是等势体矛盾与导体是等势体矛盾ABS高斯高斯面面+ 空腔内有电荷时空腔内有电荷时结论结论: : 空腔内有电荷空腔内有电荷+q时时，空腔内表面有空腔内表面有感应电荷感应电荷-q，外表面有感应电荷外表面有感应电荷+q 0dSSE 0iq+S高斯高斯面面qq-

5、q作扁圆柱形高斯面作扁圆柱形高斯面3 3 、导体表面附近场强与电荷面密度的关系导体表面附近场强与电荷面密度的关系SESESd0E 0/S+ 0E S S结论：结论：表面电场强度的大小与该表面电荷面表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比密度成正比4 4、影响电荷在导体表面上的分布的因素：影响电荷在导体表面上的分布的因素：导体的几何形状；导体的几何形状；周围的带电体；周围的带电体；周围不带电的导体。周围不带电的导体。导体所带的电量；导体所带的电量；5.5.孤立带电导体表面电荷分布孤立带电导体表面电荷分布 情况较复杂情况较复杂 ，目前还未找到一个能表示面密，目前还未找到一个能表示面密度与曲率的关

6、系的统一公式，只由实验来测定。度与曲率的关系的统一公式，只由实验来测定。实验表明在孤立带电导体表面：实验表明在孤立带电导体表面： 凸出的尖锐部分凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大曲率是正值且较大)电荷面密电荷面密度较大度较大 比较平坦部分比较平坦部分(曲率较小曲率较小)电荷面密度较小电荷面密度较小 凹进部分凹进部分(曲率为负曲率为负)电荷面密度最小电荷面密度最小尖端放电尖端放电孤立带电孤立带电 导体球导体球孤立导体孤立导体C1R2R1Q2Q21RRVV 20210144RQRQ 20222102114444RRRR 1221RR 1R l2R导线导线R1 证明证明:即即用导线连接两导体球用导线连

7、接两导体球则则例例5（P63） 带电导体尖端附带电导体尖端附近的电场特别大，可近的电场特别大，可使尖端附近的空气发使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生电离而成为导体产生放电现象生放电现象 尖端放电现象尖端放电现象荧光质荧光质导电膜导电膜 + + 高压高压eH场离子显微镜场离子显微镜( (FIM) )金属尖端的强电场的应用一例金属尖端的强电场的应用一例接真空泵或接真空泵或充氦气设备充氦气设备金属金属尖端尖端接地接地原理：原理：样品制成针尖形状，针尖与荧光样品制成针尖形状，针尖与荧光膜之间加高压，样品附近极强的膜之间加高压，样品附近极强的电场使吸附在表面的原电场使吸附在表面的原 子子 电离，电离

8、，氦离子沿电力线运动，氦离子沿电力线运动， 撞击荧光撞击荧光膜引起发光，从而获得样品表面膜引起发光，从而获得样品表面的图象。的图象。应用：应用：高压设备的电极高压设备的电极高压输电线高压输电线避雷针避雷针不利的一面：不利的一面：浪费电能浪费电能避免方法：避免方法：金属元件尽量做成球形，金属元件尽量做成球形，并使导体表面尽可能的光滑并使导体表面尽可能的光滑避 雷 针 特点？特点？工作原理？工作原理？穿雨衣比撑伞更安全穿雨衣比撑伞更安全 房屋房屋最高处最高处竖一金属棒，棒下端连竖一金属棒，棒下端连一条足够粗的铜线，一条足够粗的铜线，铜线下端连一块金铜线下端连一块金属板埋入地下深处潮湿处属板埋入地下

9、深处潮湿处。金属棒的上。金属棒的上端须是一个端须是一个尖头尖头或分叉为几个尖头。或分叉为几个尖头。 四四 、静电屏蔽、静电屏蔽 1 1、屏蔽外电场屏蔽外电场E外电场外电场 空腔导体可以屏蔽外电场空腔导体可以屏蔽外电场, , 使空腔内物体不受外电使空腔内物体不受外电场影响场影响. .这时这时, ,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等. .E空腔导体屏蔽外电场空腔导体屏蔽外电场q 接地空腔导体接地空腔导体将使外部空间不受将使外部空间不受空腔内的电场影响空腔内的电场影响. .问：问： 不接地行吗？不接地行吗？接地导体电势为零接地导体电势为零q 2 2、屏蔽腔内电场

10、屏蔽腔内电场+q3 3、应用应用 （P P5959） （1 1）精密的电磁测量仪器：）精密的电磁测量仪器：( (为避免外界电场的干扰为避免外界电场的干扰) ) 汽车是个静电屏蔽室汽车是个静电屏蔽室屏蔽线屏蔽线用用金属金属制作仪器的制作仪器的外壳外壳，常用，常用金属网罩金属网罩代替代替。 法拉第笼 课外知识 是一个由是一个由金属金属或者或者良导体良导体形成的笼子。形成的笼子。 由于金属的静电等势性，可以有效的屏蔽由于金属的静电等势性，可以有效的屏蔽外电场的干扰。法拉第笼无论被加上多高外电场的干扰。法拉第笼无论被加上多高的电压内部也不存在电场。而且由于金属的电压内部也不存在电场。而且由于金属的导电

11、性，即使笼子通过很大的电流，内的导电性，即使笼子通过很大的电流，内部的物体通过的电流也微乎其微。在面对部的物体通过的电流也微乎其微。在面对电磁波时，可以有效的阻止电磁波的进入。电磁波时，可以有效的阻止电磁波的进入。 由于法拉第笼的电磁屏蔽原理由于法拉第笼的电磁屏蔽原理 在在汽车汽车中的中的人是不会被雷击中的，而且在人是不会被雷击中的，而且在同轴电缆同轴电缆也也可以不受干扰的传播讯号，同样也是因为可以不受干扰的传播讯号，同样也是因为法拉第笼的原理。如果法拉第笼的原理。如果电梯电梯内没有内没有中继器中继器的话。那么当电梯关上的时候，里面任何的话。那么当电梯关上的时候，里面任何电子讯号也收不到。高压

12、带电作业电子讯号也收不到。高压带电作业操作员操作员的的防护服防护服也是依据法拉第笼的原理制成也是依据法拉第笼的原理制成， 3.电荷守恒定律电荷守恒定律0内Ecor0内SiSqsEdLE0rdiiQ.const五、有导体存在时静电问题的计算五、有导体存在时静电问题的计算依据的规律依据的规律:1.静电平衡的条件静电平衡的条件2.基本性质方程基本性质方程AB例例1 1、.导体板导体板A，面积为面积为S、带电量带电量Q，在其旁在其旁边放入面积也边放入面积也为为S的不带电的不带电导体板导体板B。 求求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布上的电荷分布及空间的电场分布(2)将将B B板接地板接地，求电

13、荷分布求电荷分布1 3 2 4 1Ea2E3E4E0222204030201 AB1 2 3 4 1E2E3E4E0222204030201 a点点QSS 21 043 SS b点点A板板B板板bSQ241 SQ232 AB1 3 2 4 解方程得解方程得:电荷分布电荷分布场强分布场强分布两板之间两板之间板左侧板左侧A板右侧板右侧BEEESQE0012 SQE003022 SQE0042 AB1 2 3 1 3 2 AB (2)将将B板接地板接地，求电荷及场强分布求电荷及场强分布1Ea2E3Eb1E2E3EA板板QSS 21 04 接地时接地时电荷分布电荷分布01 SQ 32 02220302

14、01 a点点0222030201 b点点 场场强强分分布布1 3 2 ABSQE0 0 E01 SQ 32 电荷分布电荷分布两板之间两板之间两板之外两板之外E例例 2、 有一外半径有一外半径R1，内半径内半径R2 的金属球壳的金属球壳，在球壳中放一半径在球壳中放一半径R3的同心金属球的同心金属球，若使若使球壳带电球壳带电Q和球带和球带电电q，问：问：两球体上的电荷如何两球体上的电荷如何分布分布？球心电势为多少球心电势为多少？ 1R2R3RQ q解解)(031RrE作球形高斯面作球形高斯面2S作球形高斯面作球形高斯面1S1R2R3RQ q1S0S22dqSE1R1R2R3RQ qr2S)(423

15、202RrRrqE)(0213RrRE0d3S3SE0S4Qd4qSE )(12044QRrrqE 1R2R3Rq q q2 r3S1R2R3RqqQ r3S1R1R1R1R2R3Rq r3S1R1R2R3Rqrqq Q)( 031RrE)(423202RrRrqE)( 0213RrRE)(1204 4QRrrqE 1R2R3RqqQ q0dlEVo233dd201RRRlElE112dd43RRRlElE)(411230RQqRqRq 球壳外表面带球壳外表面带电电用导线连接用导线连接A、B，再作计算再作计算AO1R2R3RQq Bqq 3Rr 333004RRoRqQEdrEdrV3Rr 2

16、04rqQE rrQqEdrV04Qq 0 E连接连接A、B，中和中和q)q( qq (3)(3)若不是连接，而是使外球若不是连接，而是使外球接地，接地，电荷分布如图所示，电荷分布如图所示，3R2R1Rqq)(21020114421RRqdrrqRR 0)(413330RQRqRqV外表面壳知知0外表面Q所以所以 这是由于这是由于 21dRRlEV球( (4)4)若接地不是外壳球而若接地不是外壳球而是内球，情况又如何是内球，情况又如何? ?0)(413210RqQRqRqV球解之得解之得q)11(441202012RRqdrrqVRR壳3R2R1RqqqQ内球上所带电量为零吗内球上所带电量为零

17、吗? ?Q32213121RRRRRRRRq 2-4 电容电容 电容器电容器一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它导体或带电体对它的影响可以忽略不计导体或带电体对它的影响可以忽略不计。真空中一个半径为真空中一个半径为R、带电量为带电量为Q 的孤立球形导体的电势为的孤立球形导体的电势为RQV04 电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关，由此可以引入由此可以引入电容电容的概念的概念。1、引入、引入1孤立导体所带的电量与其孤立导体所带的电量与

18、其电势的比值叫做孤立导体电势的比值叫做孤立导体的电容的电容VQC 孤立球形导体的电容为孤立球形导体的电容为RVQC04 孤立导体的电容与导体的孤立导体的电容与导体的形状有关，与其带电量和形状有关，与其带电量和电位无关。电位无关。2、电容的定义、电容的定义2法拉法拉(F) 1F=1C.V-1微法微法 1F=10-6F 皮法皮法 1pF=10-12F 3、电容的单位、电容的单位3 关于电容的说明：关于电容的说明：4是导体的一种性质，与导体是是导体的一种性质，与导体是否带电无关；否带电无关；是反映导体储存电荷或电能的是反映导体储存电荷或电能的能力的物理量；能力的物理量；只与导体本身的性质和尺寸有只与

19、导体本身的性质和尺寸有关。关。二、电容器二、电容器两个带有等值而异号电荷的导体所组两个带有等值而异号电荷的导体所组成的系统，叫做电容器。成的系统，叫做电容器。1、电容器的定义、电容器的定义1BCDAqA+ + + + + + + +-qA- - - - - - - -用空腔用空腔B 将非孤立导体将非孤立导体 A 屏蔽屏蔽, 消消除其他导体及带电体除其他导体及带电体 ( C、D ) 对对A 的影响。的影响。电容器两个极板所带的电量为电容器两个极板所带的电量为+Q、-Q，它们的电势分别为，它们的电势分别为VA、VB，定义电容器的电容为：定义电容器的电容为：BAABVVQUQC 2、电容器的电容、电

20、容器的电容2A 带电带电 qA , B 内表面带电内表面带电 -qA , 腔内场强腔内场强E , A B间电势差间电势差 UAB = VA VB 按可调分类：按可调分类：可调电容器、微调电容器、可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器双连电容器、固定电容器按介质分类：按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器纸质电容器、电解电容器按体积分类：按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器大型电容器、小型电容器、微型电容器按形状分类：按形状分类：平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器 电容

21、器的分类电容器的分类3平行板平行板d球形球形21RR柱形柱形1R2R在电路中：通交流、隔直流；在电路中：通交流、隔直流；与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等；与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等；储存电能的元件；储存电能的元件；真空器件中建立各种电场；真空器件中建立各种电场；各种电子仪器。各种电子仪器。计算电容的一般步骤为：计算电容的一般步骤为：设电容器的两极板带有设电容器的两极板带有等量异号电荷等量异号电荷；求出两极板之间的求出两极板之间的电场强度电场强度的分布；的分布；计算两极板之间的计算两极板之间的电势差电势差；根据电容器电容的定义求得根据电容器电容的定义求得电容电容。4、电容器

22、的作用、电容器的作用45、电容器电容的计算、电容器电容的计算5平行板电容器平行板电容器 板间电场：板间电场： 板间电势差板间电势差： 电容电容：SqEoo SqddEUoAB dsUqCoAB +qqAB+ + + + + + + + + + d 很小很小, S 很大很大 , 设电容器两极板设电容器两极板 带电带电 q ；解解：SdE平板电容器的电容与极板平板电容器的电容与极板的面积成正比，与极板之的面积成正比，与极板之间的距离成反比，还与电间的距离成反比，还与电介质的性质有关。介质的性质有关。球形电容器球形电容器解：两极板间电场解：两极板间电场)(4212RrRrqEo 板间电势板间电势差差

23、)11(421RRqo R1R2o电容电容讨论讨论：当当R2 时时，,41RCo 12214RRRRCo 孤立导体球电容。孤立导体球电容。 2112RRl dEU+q- qR2 R1= d , R2 R1 = RdSdRCoo 24平行板电容器电容。平行板电容器电容。圆柱形电容器圆柱形电容器解：设两极板带电解：设两极板带电 q 板间电场板间电场)(221RrRrlqEo l( l R2 R1 )板间电势差板间电势差ldEURR 211212ln2RRlqo 圆柱形电容器的电容圆柱形电容器的电容)ln(21212RRlUqCo R1R2圆柱越长，电容越大；两圆柱圆柱越长，电容越大；两圆柱之间的间

24、隙越小，电容越大之间的间隙越小，电容越大。用用d表示两圆柱面之间的间表示两圆柱面之间的间距距，当当dR1 时时111112)1ln(lnlnRdRdRdRRR dSdlRRdlC010102/2 平板电容器平板电容器三、电容器的并联和串联三、电容器的并联和串联C2C1CU等效等效特点：特点：每个电容器两端的电势差相等每个电容器两端的电势差相等总电量：总电量： UCCUCUCQQQ212121 等效电容：等效电容：21CCUQC 结论：结论：当几个电容器并联时，其等效电容等于几个电容器电当几个电容器并联时，其等效电容等于几个电容器电容之和；容之和；各个电容器的电压相等；各个电容器的电压相等；并联

25、使总电容增大。并联使总电容增大。1、电容器的并联电容器的并联1C1C2C等效等效特点特点每个电容器极板所带的电量相等每个电容器极板所带的电量相等总电压总电压QCCCQCQUUU 21212111等效电容等效电容21111CCUQC 21111CCC结论：结论：当几个电容器串联时，其等效电容的倒数等于几个电当几个电容器串联时，其等效电容的倒数等于几个电容器电容的倒数之和；容器电容的倒数之和；等效电容小于任何一个电容器的电容，但可以提高电等效电容小于任何一个电容器的电容，但可以提高电容的耐压能力；容的耐压能力；每个串联电容的电势降与电容成反比。每个串联电容的电势降与电容成反比。2、电容器的串联、电

26、容器的串联2并联电容器的电容等于并联电容器的电容等于各个电容器电容的和各个电容器电容的和。 iiCC串联电容器总电容的倒数串联电容器总电容的倒数等于各串联电容倒数之和等于各串联电容倒数之和。 iiCC11当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联使用来改善。使用来改善。串联使用可提高耐压能力串联使用可提高耐压能力并联使用可以提高容量并联使用可以提高容量电介质的绝缘性能遭到破坏，称为电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。击穿。所能承受的不被击穿的最大场强叫做所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿场强击穿场强或或介电强度。介电强度。讨论讨论R2dE)(2200 x

27、dxEEExxdxxEURdRRdRd)11(2d0RdRRdlnln00单位长度的单位长度的电容电容RdUCln0解解 设两金属线的电荷线密度为设两金属线的电荷线密度为EE 例例3 3 两半径为两半径为 的平行长直导线中心间距为的平行长直导线中心间距为 ，且且 , , 求单位长度的电容求单位长度的电容 . .RdRd oxPxxd 一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4 ，今在两壳之间放一内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。 （1 1）给内壳）给内壳R R1 1以电量以电量Q Q，求，求R R1 1和和R R4 4两壳的电势差；两壳的电势差； （2 2）求以）求以R R1 1和和R

28、R4 4为两极的电容。为两极的电容。例题例题 2.4-1R3R1R2R4解： 分析电荷分布：分析电荷分布：r=R1的球壳表面：的球壳表面： 总电量为总电量为Q Q，均匀分布；，均匀分布；Q-QQ-Qr=R2的球壳表面：的球壳表面： 总电量为总电量为-Q-Q，均匀分布；，均匀分布；r=R3的球壳表面：的球壳表面： 总电量为总电量为Q Q，均匀分布；，均匀分布；r=R4的球壳表面：的球壳表面： 总电量为总电量为-Q-Q，均匀分布。，均匀分布。 分析电场分布：分析电场分布： 电荷分布球对称，应用电荷分布球对称，应用高斯定理，取以高斯定理，取以O O为球心，为球心，半径为半径为r r的球面为高斯面，的

29、球面为高斯面，可求得：可求得：),(4),(04321204321RrRRrRerQRrRrRRrErR3R1R2R4Q-QQ-QR3R1R2R4Q-QQ-Q 求电势差：求电势差：432120204040RRRRdrrQdrrQ)1111(443210RRRRQ4141ldE求电容：求电容：QUQC321421431432432104RRRRRRRRRRRRRRRR 例例2.4-2 2.4-2 在图示的电路中在图示的电路中C1=C3=2F ， C2=C4=C5=1F =600v 试求各个电试求各个电容器上容器上 的电势差？的电势差？ 由环路定理由环路定理0l dE 得得： 021UU （1）0

30、54UU （2） 由高斯定理由高斯定理0qsdE得得： 0111302010dsdsds321QQQ 同理同理 435QQQ（5） 443355CUCUCU332211CUCUCU（4） （1）（2）（3）（4）（ 5）式联立求解式联立求解 VU2401VU3602VU1203VU3604VU24054CAB1C2C3C5C0431UUU（3） 1 1带电导体的静电能带电导体的静电能 1）带电导体系的静电能带电导体系的静电能 iiSiiSiiiQdsdsWii212121iiiiQWW212）电容器的静电能（储能）电容器的静电能（储能） )(21)(212121QQQWQU21221CUCQ2

31、212.5 静电场的能量静电场的能量2 2电场的能量电场的能量221CUW dSC0EdU sdEW2021VVEEdVEdVW2021在静电场范围内在静电场范围内， 与与 是等价的是等价的。 在在 中，中，V是电场分布的空间体积是电场分布的空间体积，在在 中中。V是电荷分布的空间体积是电荷分布的空间体积。电场能量（静电能）恒正电场能量（静电能）恒正。VEdVEW2021VdVW21VEdVEW2021VdVW212021EE,Rq例：均匀带电导体球的静电能设球的半径为带电总量球外是真空。Rrdrq202222002220022200,441288811,2828eeReeqErrdrdVdrddVdrdrRqUCRRrrqWErqqWrqqqWW球内无电场 由高斯定理知球外电场分布为半径从 到之间球壳体积为整个电场的能量或或（1 1）平行板电容器充电后断开电源，然）平行板电容器充电后断开电源，然后移近两极板，电容器储能增加还是后移近两极板，电容器储能增加还是减少？减少？（2 2）若充电后不断开电源，移近两极板，电）若充电后不断开电源，移近两极板，电容器储能增加还是减少？容器储能增加还是减少？思考题:（1 1）减少。减少。根据公式分析：充电后断开电源根据公式分析：充电后断开电源QQ不变，不变，移近两极板移近两极板d减小，故减小，故C增大，增大，W减少。减少。解解 答：答：