第二章 压弯杆件

1、第二章第二章 压弯杆件压弯杆件2-1 概述概述1有关基本概念有关基本概念实际工程结构中，很少有理想轴心受压的情况，较为常见的是压弯杆件。(1)压弯杆件的几种常见情况：图(a)是偏心受压杆的等效形式；图(b)中杆中弯矩是由横向力引起的；图(c)是两杆端偏心距不同，引起两杆端弯矩大小不等； (2) 强轴与弱轴：抗弯刚度大的形心轴称为强轴，小的则称为弱轴。处于三维空间的杆件，较易绕弱轴发生弯曲，如图所示。(3) 单向弯曲杆件：若压弯杆件至少有一个纵向对称面，弯矩作用在对称面上，称为单向压弯杆件；双向压弯杆件：无纵向对称面，或虽有一个纵向对称面，但弯矩偏离纵向对称面，将引起压弯杆件两个方向的弯曲，称为

2、双向压弯杆件。本章仅研究单向压弯杆件。(4) 压弯杆件的稳定问题，属于极值点失稳。压弯杆件的极限承载力，有时取决于失稳破坏(稳定性问题)，有时取决于材料破坏(强度问题)，具体情况与杆件长细比有关。2压弯构件的强度条件压弯构件的强度条件 按材料力学，压弯杆件横截面上正应力的强度条件是yfWMAN1WfMAfNyy1MMNNss，或，即，。式中：W=I/ymax，为抗弯截面系数；Ns=Afy，M=0时截面轴力的弹性极限；Ms=Wfy，N=0时的弹性极限弯矩。3偏心受压混凝土柱的破坏偏心受压混凝土柱的破坏 图中abcd是偏心受压混凝土柱破坏时的N-M实验曲线。(1) ob直线：长细比为lo/ho8的

3、短柱， 纵向弯曲影响小，发生强度破坏， 极限荷载是No；(2) oc曲线：lo/ho=830的长柱，纵向弯曲 的影响逐渐增大，极限荷载N130的细长柱，极限荷载 N1d1，即，。当时，为单侧出现塑性区的极限情况。此时，c1=d1。由平衡条件，有 y1111y1yofbg)d21cf21gf (bbhN即，hfgy1o因此，大小偏心的分界条件是小偏心压弯杆：hfgy1u大偏心压弯杆：hfgy1ug1是分界条件下塑性区的深度。由前面小偏心情况下的平衡关系式 )d21cf21gf (bbhN111y1yo)3d2h(d21)3cg2h(cf21)2g2h(gf b)d21cf21gf (b)e (b

4、h)e (N111111y11y111y1yo11y1cdf可解出，2h)e (f3goyo1压弯杆处于临界状态时，uou由前面小偏心情况下 e) 1f(2h31uyu代入上面g1表达式中，得uyu1fe2g所以，小偏心的条件是uyuyy1ufe2hfhfg即，)3m1 (fyu再将此式代入前面小偏心情况下的表达式3oyoy22u) 1f(3m) 1f(3E中，有)m3(f9Emy222这就是小偏心情况的判别条件。在用雅若克方法求极限应力时，关系式是耦合并隐含的，实际上要进行数值求解。更为直接的方法是数值积分法。二、数值积分法 数值积分法是求解微分方程的一种方法，也是目前计算压弯杆极限荷载最有

5、效的方法之一。计算时先将杆件划分成若干段，每段长度为Dx，如下图。利用Taylor展开式n)n(nR)x(y!n)x()x(yx)x(y)xx(yRn为余项)xx(y)!1n()x(R)1n(1nn0 1，实际计算时，可近似取 =1/2。如果求解的是二阶微分方程，可取n+1=2。有2/1i2ii1iy)x(21yxyy ，同理可得，2/1ii1iyxyy iy 1iy 2/1iy 此即由前一点的yi与的值，来计算后一点的yi+1与需要用到该段中点的值。如何计算，现分弹性与弹塑性压弯杆的情况的值的递推公式。进行讨论。 1弹性压弯杆微分方程是0)ye (NyEI 对于各段中点，有0)ye (NyE

6、I2/1i2/1i 现研究xixi+Dx/2这一段，段长为Dx/2，利用前面的递推公式，有2/1i2ii2/1iy)2x(21y2xyy 代入上面微分方程中，可解出8/xNEI)y2xye (Ny2ii2/1i 至此，根据杆端条件，从xo开始，利用前面的递推公式，依次求解出各点挠度y1、y2、yn等。挠度曲线已知，则利用前面公式，可计算出极限荷载或极限应力值。求解过程可编成计算机程序来完成2弹塑性压弯杆采用切线模量理论，平衡微分方程是0)ye (NyIEt 必须已知应力-应变关系曲线，才能确定Et，然后对上面微分方程进行求解。不方便。为此，平衡方程可取下面的形式0NdAA即横截面上的正应力主矢

7、为轴力N。0)ye (NydAA即横截面上的正应力主矩为弯矩M。为此，先将截面划分为若干单元，如图。设单元j的面积为DAj，其上平均应力为sj。将上面二式用于杆件各段的中点截面，积分用求和代替，于是有，0)ye (NAy2/1ijjj0NAjj 设截面形心处的应变为o，杆件各段中点处的曲率为2/1i处的应变为，则单元j形心i2/1iojy然后，由应力-应变关系)(f(根据该单元是处在弹性区还是塑性区，采用的本构关系有所不同)，求出各单元中点的应力， )(fjj注意，2/1i2/1iy 先要假定2/1i验算二个平衡方程，不满足，则不断调整2/1i即通过一个迭代过程来确定2/1i或2/1iy 整个

8、计算过程可编制成计算机程序来完成。2-4 工程应用工程应用一、压弯杆件的相关公式关于压弯杆件的承载力的计算，根据边缘纤维屈服准则，得到承载力的下限，偏于保守。极限荷载准则，从理论上讲是合理的，但计算极限荷载Nu，与截面形状、各部分尺寸、弯曲方向、初始缺陷等因素有关，计算非常复杂，还与加载过程有关。所有，没有一个适用于各种情况的Nu的计算公式，工程应用上很不方便。目前，计算压弯杆件多采用较简单的相关公式相关公式，称为联合作用公式联合作用公式。当轴压力与弯矩单独存在时杆件的承载力已知，则同时存在轴力与弯矩时的承载力必较其单独作用时为小。于是，先由典型情况求出极限荷载大小，然后预估二者同时存在时承载

9、力的大小，再进行数值与实验验算。相关公式为一种半经验半理论的公式。 1弹性阶段的相关公式 相关公式的基本形式是从边缘纤维屈服准则得到的，根据该准则，有yEof)N/N1 (WNaCMAN)N/N(1CE1M/NoEo式中， a为初弯曲引起的中点挠度。若较小，可取C1，不计初弯曲， 可将上式改造成如下形式1M)N/N1 (MNNtEop考虑初偏心时，有，1M)N/N1 (NeMNNtEoop式中Np=Afy为全截面屈服时的最大承载力。Mt=Efy为无轴力情况下截面弹性极限弯矩。若较小，可取C1，不计初弯曲， 可将上式改造成如下形式 以上二式为压弯杆弹性阶段在弯矩作用平面内的相关公式。表示压弯杆承

10、载力的下限。不考虑初偏心，当N=0时，Mo=Mt。当Mo=0时，N=Np。2弹塑性阶段的相关公式弹塑性阶段的相关公式，以矩形截面偏心受压杆，当中点截面处出现塑性铰时的典型情况而得出的，即由下图d知yfbN得ybfN代入到)h(4bf2hbf2hM22yy有)NN(1 M)bfN(h4bfM2pp2y2y即，1MM)NN(p2p式中，Np=bhfy是全截面屈服时的轴向压力；ysy2pfWf4bhM截面的塑性极限弯矩，Ws是截面的塑性抗弯模量，或称塑性抵抗矩。 对于非矩形截面，相关公式可近似表示成1M)N/N1 (NeMNNpEoop由此确定出的承载力为压弯杆承载力的上限。实际压弯杆的承载力，在上

11、限和下限之间。二、在钢结构中的应用钢结构中，采用的是弹塑性相关公式1M)N/N1 (NeMNNpEoopMo=0，即轴压力单独作用时，由上式可确定出临界荷载N=Ncr。换句话说，杆件的各种初始缺陷，可以等效为一个等效偏心距eo。EcrpcrEcrppoNNN)NN)(NN(Me当Mo0时，将等效偏心距表达式代入相关公式中，且Np=Ncr/j，j为稳定系数(类似于安全系数)，可得1M)NN1 (MNNpEop为适用于不同情况，对上式进行修正。如，对于格构式压弯构件，应以Mt代替Mp，注意，Np=Afy, Mt=Wfy, 用 Mmax=Mobm(bm值见表2-1)代替式中的Mo，即得yEomf)NN1 (WMAN可用于格构式构件或薄壁型压弯杆。对