第二章 随机事件及其概率

1、A BSABSA ASABSA- BBSABA- B若A1, A2,.An中任意两个事件都是互不相容的,则称n个事件A1, A2,.An 两两互不相容ABSSAA事件A发生的频率与概率1、事件发生的频率及计算定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。、频率fn(A)的基本性质1非负性：AS,fn(A)02规范性：fn(S)=13 可加性：若AB=f,则fn(AB)=fn(A)+fn(B)稳定性：一般地，当试验次数n逐渐增大时,事件A出现的频率总是围绕在某个实

2、常数P(A)附近，这种性质称为频率的稳定性,稳定值P(A)称为稳定中心。在 处波0.50 大 249动较1.0 1试验序号n = 5nHf12345675124nHfn = 501827nHn = 5002472512580.40.80.360.54f0.5020.4980.5120.5160.500.480.4940.502实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.262 动最小波 0.5242 0.4 22 0.44 25113 0.6 25随n的增大, 频率2 f 呈现出稳定性1 0.2 21 0.42 25625处波动较小24在0.2

3、 2从上述数据可得(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的f 不一定相同;实验者德 摩根蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊n204840401200024000nH10612048601912012f0.51810.50690.50160.5005f (H) n的增大.12重要结论频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大

4、小它就是事件的概率频率 (波动)n 概率(稳定).频率稳 定值概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.假设事件A、B发生的概率分别为 和试在下列三种条件下分别求出P(AB)的值。121318ABBAB(1)A、B互斥； (2)A被B包含； (3)A、B之积的概率为A例题：59Nn!P(B) = NN (N - n)!Nnn!nP(A) =故(1)A所含基本事件数为n个人的全排列n!种,且为等可能的,而解：基本事件为“每一种住房方式”，由于每个人都可以分配

5、到N间房中的任一间,故n个人住房的方式共有N!n= N n n N n 故种分配法,故C所含基本事件数为 (N-1) (N-1)N= N nmn-mn-mn-mn-m n m n m1 N 1-P(C) = n 1 m里,共有(N-1)(3)当C事件发生时,指定房间中的m个人可自n个人中任意选出, n mN!N n(N -n)!P(A) =1-N!N n(N -n)!故则 P(A) = P(B) =1- P(B),再由上例(2)知P(B) =A =n个人中至少有两个人的生日相同B =n个人的生日全不相同令例（生日问题）设某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？解：

6、假定一年按365天计算，每个人的生日在365天中的任一天是等可能的，都为1/365，若把365天当作365个“房间”，就可将本例作为分房问题解决，此时“n个人的生日各不相同”，就相当于上例中的“恰有n间房，其中各住一人”。思考题：（配对问题）从5双不同的鞋子中任意取出四只，求这四只鞋子至少配成一双的概率是多少？例：某专业研究生复试时，有3张考签，3个考生应试，一个人抽一张看后立即放回，再让另一个抽，如此3个人各抽一次，试求抽签结束后，至少有一张考签没有被抽到的概率。2 = 8 (i =1,2,3)2733792127791271271278278278272 31271333=32127=-+

7、=P(A) =1- P(A) =1-A =A1 A2 A3P(AiAj) =P(Ai) =或所以P(A) =(i j且i, j =1， ， ）而故A =至少有一张考签没被抽 到Ai =第i个考签没被抽到，i =1,2,3,解：设4，举例解：此试验的样本空间为落入0，2的点的全体,即区间0,2,其几何度量为2-0=2记 A=取到的点落在0.5，1.5之 间使A发生的区域为 0.5, 1.5,它的几何度量值为1.5-0.5=1,于是,可以得到事件A的概率为：12P(A)=例： 两个人相约在中午12点到1点的时间内在预定的地点见面，先到者等待10分钟就离去，求两个人能会面的概率。（设两人在此时间段内

8、到达预定地点是等可能的）条件概率和全概率公式一、条件概率666 = 1666654 2=1-P(B A)P(A)P(B| A) =1- P(B | A) =1-例题：掷一骰子三次，若已知出现的点数都不相同，试求至少有一个一点的概率。解:设A =出现点数都不相同B =至少有一个一点543二、乘法公式例设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率 为1/2,若第一次落下未被破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次未打破的概率 .= (1- )(1-320091071012) =)(1-解:设Ai =透镜第i次落下打破,i =1

9、,2,3,L,B =透镜落下三次未打破 ,故B = A1A3A3,则P(B) = P(A1A3A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 A1A3)则有 P(A1) = ,= + = ,i =1,2,3,4,5.25例：五个阄, 其中两个阄内写着“有”字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取,各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解 设 Ai 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件,2 1 3 25 4 5 425P(A 2)= P(A 2S) = P(A 2 I(A 1UA 1)= P(A 1A 2UA 1A 2)= P(A1A2)+ P(A1A2)= P(A1)P(A2 A1)+ P(A1)P

10、(A2 A1)= + + = ,依此类推 P(A4) = P(A5) = .P(A3) = P(A3S) = P(A3(A1A2 U A1A2 U A1 A2)= P(A1A2A3)+ P(A1A2A3)+ P(A1 A2A3)= P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3 A 1A 2)+ P(A 1)P(A 2 A 1)P(A3 A 1A2)+ P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2)25252 3 1 3 2 1 3 2 25 4 3 5 4 3 5 4 3故抓阄与次序无关.任取一只球, 观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球四次, 试求第一

11、、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.设袋中装有 r 只红球、 t 只白球.每次自袋中例解 设 Ai (i = 1,2,3,4)为事件“第 i 次取到红球”则 A3、A4 为事件第三、四次取到白球.因此所求概率为P(A1A2A3 A4)= P(A4 A1A2A3)P(A3 A1A2)P(A2 A1)P(A1).t + a t r + a rr + t + 3a r + t + 2a r + t + a r + t=此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.三、全概率公式与贝叶斯公式1. 样本空间的划分定义 设 S 为试验E的样本空间, B1,B2,L,Bn 为E 的一组事件,若(i) B

12、iBj = , i j, i, j = 1,2,L,n;(ii) B1 U B2 ULU Bn = S.则称 B1,B2,L,Bn 为样本空间 S 的一个划分.B 2B 3B 1L B n - 1 B n2. 全概率公式B1,B2,L,Bn为 S 的一个划分 ,且 P(Bi) 0(i =1, 2,L,n), 则P(A) = P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2)+L+ P(ABn)P(Bn)全概率公式设试验 E 的样本空间为 S,A 为 E 的事件,定理图示B2B3AL Bn-1B1Bn证明A = AS = AI(B1 U B2 ULU Bn)= AB1 U AB2 ULU ABn

13、.由BiBj = (ABi)(ABj) = P(A) = P(AB1)+ P(AB2)+L+ P(ABn)=P(AB 1)P(B 1)+P(AB 2)P(B 2)+L+P(AB n)P(B n).化整为零各个击破说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.AB1B2B3LBn-1Bn例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件 A 为“任取一件

14、为次品”,解事件 Bi为“任取一件为 i厂的产品”, i = 1,2,3.B1 U B2 U B3 = S,BiBj = , i, j = 1,2,3.S20%50%30% 2%1%1%由全概率公式得P(A)=P(AB 1)P(B 1)+P(AB 2)P(B 2)+P(AB 3)P(B3).P(B1) = 0.3, P(B2) = 0.5, P(B3) = 0.2,P(AB1) = 0.02, P(AB2) = 0.01, P(AB3) = 0.01,故 P(A)=P(AB 1)P(B 1)+P(AB 2)P(B 2)+P(AB 3)P(B 3)= 0.020.3 + 0.010.5 + 0.

15、010.2 = 0.013. P(ABj)P(Bj)称此为贝叶斯公式., i = 1,2,L,n.P(Bi A) =P(ABi)P(Bi)nj=1B2,L,Bn 为 S 的一个划分 ,且 P(A) 0, P(Bi) 0,(i = 1,2,L,n), 则设试验 E 的样本空间为 S. A为E的事件,B1定理3. 贝叶斯公式 j=1 P(ABj)P(Bj)证明P(BiA)P(A)P(Bi A) =nP(ABi)P(Bi), i = 1,2,L,n.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的概率;提供元件的份额0.150.800.05次品

16、率0.020.010.03元件制造厂123件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:某电子设备制造厂所用的元件是由三家元例(2)在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.解 设 A 表示“取到的是一只次品” , Bi (i = 1,2,3)表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的” .则B1,B2,B3 是样本空间 S 的一个划分,P(B3) = 0.05,P(B2) = 0.80,P(B1) = 0.15,且P(AB3) = 0.03.P(AB2) = 0.01,P(AB1) = 0.02,(1) 由

17、全概率公式得P(A) = P(AB1)P(B1)+ P(AB2)P(B2)+ P(AB3)P(B3)= 0.0125.(2) 由贝叶斯公式得P(A B1)P(B1)P(A)P(B1 A) =0. 020. 150.0125= 0.24.= 0.64,= 0.12.P(A B2)P(B2)P(A)P(A B3)P(B3)P(A)P(B2 A) =P(B3 A) =故这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大 .对以往数据分析结果表 明,当机器调整得良好时 , 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时,其合格率为 55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95%.试求已知某日早上第一

18、件产品是合格 品时 , 机器调整得良好的概率是多少 ?解 设 A为事件“产品合格” ,B 为事件“机器调整良好” .则有P(AB) = 0.55,P(AB) = 0.98,例P(B) = 0.05,P(B) = 0.95,由贝叶斯公式得所求概率为P(AB)P(B)P(AB)P(B)+ P(AB)P(B)P(B A) =0.980.950.980.95+ 0.550.05= 0.97.即当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调整良好的概率为 0.97.有朋友从远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，乘火车迟到的概率为0.25，乘轮船迟到的概率为0.3，乘汽车

19、迟到的概率为0.1，乘飞机不会迟到。求他最后可能迟到的概率。若已知他迟到了，推测他乘轮船来的概率。例题：+P(D)P(E|D)P(E)= P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)+P(C)P(E|C)则:由全概率公式有:由题意知道:P(A)= 0.3,P(B)= 0.2，P(C)= 0.1，P(D)= 0.4P(E|A)= 0.25,P(E|B)= 0.3，P(E|C)= 0.1，P(E|D)=1则A,B,C,D为S的一个划分.设E =这人迟到了A =坐火车,B =坐轮船,C =坐汽车,D =做飞机S=交通方式分析：某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、

20、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率0.5275例题玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1。一位顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，顾客开箱随机查看四只，若无次品则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下这箱玻璃杯的概率；（2）顾客买下的这一箱中，确实没有次品的概率。P(A| B0)=1, P(A| B1)=, P(A| B2)=5C20C20P(A)=P(Bi)P(A| Bi)= 0.81+ 0.1则（1） 2+ 0.1=解：令A=顾客买下他所查看的一箱玻璃杯Bi =箱子中恰好有i件次品，i=1，2，则：P(B0)= 0.8, P(B1)= 0.1, P(B2)= 0.14 4C19 4 C184 41219 0.944 12i=0 5 190.80.94= 0.85=P(B0)P(A| B0)P(A)P(B0 | A)=且：（2）设某种产品每100件为一批。假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下概率：00.1