利用函数性质判定方程解的存在--课件

1、修武县第一中学修武县第一中学 范瑛范瑛北师大版北师大版 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 必修必修1第四章 函数的应用 4.1函数与方程 第一课时利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在4教法学法教法学法2教学目标教学目标1教材分析教材分析教学过程教学过程53重点难点重点难点教学评价教学评价6教材的地位：教材的地位：函数在数学中占据着不可替代的核函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课联系，而本节课“利用函数性质判利用函数性质判定方程解的存在定方程解的存在”就是其中的

2、就是其中的一个一个链结点链结点, ,它从不同的角度它从不同的角度, ,将数与形将数与形, ,函数与方程有机地联函数与方程有机地联系在一起。系在一起。 教材分析教材分析教材的作用：教材的作用：本节课是培养学生本节课是培养学生“化归与转化思化归与转化思想想”、“数形结合思想数形结合思想”、 “方程与方程与函数思想函数思想”的优质载体的优质载体.本节课在内容上还具有本节课在内容上还具有承上启下承上启下的的重要作用重要作用.承上承上启下启下 本节课的内容本节课的内容是在刚是在刚刚学习完了前两章函数刚学习完了前两章函数性质的基础上，利用函性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断数的图象和性质来判断方程根

3、的个数，理解方方程根的个数，理解方程的根与函数零点的关程的根与函数零点的关系，是前两章内容的延系，是前两章内容的延续续 。 本节课的主要教本节课的主要教学内容是函数零点学内容是函数零点的概念和函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，存在的判定方法，这又是学习下一节这又是学习下一节“用二分法求方程用二分法求方程近似解近似解” 的基础。的基础。教材的地位和作用教材的地位和作用学情分析学情分析(1)基本初等函数的图象基本初等函数的图象和性质；和性质；(2)初步了解一元二次初步了解一元二次方程的根和相应二次函方程的根和相应二次函数图像与数图像与x 轴的关系；轴的关系；(3)初步具备将初步具备将“数数”

4、与与“形形”相结合及转化相结合及转化的意识。的意识。学生具备的学生具备的学生缺乏的学生缺乏的(1)应用函数解决问题应用函数解决问题的能力还不强；的能力还不强；(2)由特殊到一般的归由特殊到一般的归纳能力还不够；纳能力还不够；(3) 数形结合的思想数形结合的思想还有待提高；还有待提高；教学目标教学目标1知识与能力目标2过程与方法目标3情感与价值观目标理解函数零点存在性定理理解函数零点存在性定理会判断函数零点的个数和所在区间会判断函数零点的个数和所在区间理解函数零点的概念理解函数零点的概念经历了方程与函数的转化过程经历了方程与函数的转化过程 经历经历“类比类比归纳归纳应用应用”的过程的过程体验自主

5、探究，合作交流的乐趣体验自主探究，合作交流的乐趣培养学生严谨的学习态度培养学生严谨的学习态度 本节课渗透了化归与转化，数形结本节课渗透了化归与转化，数形结合的数学思想，是数学建模的典型范合的数学思想，是数学建模的典型范例，是培养学生例，是培养学生“运用数学意识运用数学意识”的的优秀题材。因此，将本节课的教学目优秀题材。因此，将本节课的教学目标确定为：标确定为： 函函数零点是连接方程的根与函数图象之间数零点是连接方程的根与函数图象之间的纽带，体现了数形结合的数学思想，体现了的纽带，体现了数形结合的数学思想，体现了化归与转化的数学思想，又是后面学习二分法化归与转化的数学思想，又是后面学习二分法的基

6、础，结合教材的地位和作用，将本节课的的基础，结合教材的地位和作用，将本节课的教学重点确定为：教学重点确定为：重点与难点重点与难点理解函数零点的概念，理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。掌握函数零点的判定方法。 探究发现函数零点的存在性，利用函数的探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判别函数零点的个数图像和性质判别函数零点的个数 从从方程根的角度理解函数零点，学方程根的角度理解函数零点，学生并不觉得困难，而用函数来确定方程根生并不觉得困难，而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应，零点存的个数和大致范围，则需要适应，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从大在性定理的获

7、得与应用，必须让学生从大量的具体案例中操作感知，结合学情分析，量的具体案例中操作感知，结合学情分析，将本节课的教学难点确定为：将本节课的教学难点确定为：教法与学法教法与学法教法选择 “将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力活力” ” 是进行教学的指导思想，要充分发挥是进行教学的指导思想，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用教师的主导作用和学生的主体作用. .因此我采因此我采用用 “ “启发启发探究探究讨论讨论”式教学模式式教学模式. .学法选择 以培养学生的探究精神为出发点，着眼以培养学生的探究精神为出发点，着眼于知识的形成与发展，于知识的形成与发展，精心

8、设置一个个问题精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的给不同层次的学生提供思考、创造、表现的机会。机会。教学过程教学过程设问激疑，创设情景设问激疑，创设情景启发引导，形成概念启发引导，形成概念简单运用，巩固练习简单运用，巩固练习 讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理 巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维归纳总结，整体认识归纳总结，整体认识 课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置 设问激疑，创设情景设问激疑，创设情景探究（一）：函数零点的概念探究（一）：函数零点的概念设计意图设计意图:将教材将教材后面例题提

9、前，开门后面例题提前，开门见山，引起学生的认见山，引起学生的认知冲突，让学生认识知冲突，让学生认识到学习函数零点的必到学习函数零点的必要性，激发学生的学要性，激发学生的学习兴趣。那么，习兴趣。那么，到底到底该方程该方程有没有根，有有没有根，有几个根，根在什么区几个根，根在什么区间内？间内？带着重重疑问带着重重疑问导出课题。导出课题。 引入：引入：求下列方程的根求下列方程的根062ln=-+xx 利用函数性质判定方利用函数性质判定方程解的存在程解的存在 (1)y=x(1)y=x2 2-2x-3-2x-3与与x x2 2-2x-3=0-2x-3=0 (2)y=x(2)y=x2 2-2x+1-2x+

10、1与与x x2 2-2x+1=0-2x+1=0 (3)y=x (3)y=x2 2-2x+3-2x+3与与x x2 2-2x+3=0-2x+3=0问题问题1 1：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与次函数图象的简图，并写出函数图象与x x轴交点的坐标。轴交点的坐标。 启发引导，形成概念启发引导，形成概念 yx012112方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与

11、与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.y= x22x+3xy0132112543 设计意图：设计意图：从学生所熟悉的二次函数问题入手，让学生在从学生所熟悉的二次函数问题入手，让学生在熟悉的环境中发现新知识，比较全面的把一元二次方程的根熟悉的环境中发现新知识，比较全面的把一元二次方程的根与相应二次函数图像联系起来，进而推广到一般情形。与相应二次函数图像联系起来，进而推广到一般情形。问题问题2:2:二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)的图象与的图象与x x轴交点轴交点和相应一元二次方程和

12、相应一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根有何关系的根有何关系? ?xyx1x20 xy0 x1xy0方程方程axax2 2 + +bx+c=0bx+c=0(a0)(a0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx+bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b=b2 24ac4ac0=00函数的图象函数的图象与与 x x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2让学生自主得出结论让学生自

13、主得出结论: : 二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。 设计意图：设计意图：学生通过填表，画图，经历了由特殊到一般的过学生通过填表，画图，经历了由特殊到一般的过程，让学生能自主的得出结论：程，让学生能自主的得出结论：二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。标就是相应方程的实数根。从而形成概念从而形成概念。启发引导，形成概念启发引导，形成概念1、函数零点的概念：、函数零点的概念： 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点

14、。的零点。简单运用，巩固练习简单运用，巩固练习练一练练一练设计意图：设计意图：形成概念后，形成概念后，通过实例理解概念，使通过实例理解概念，使学生清晰地认识到，函数零点是具体的学生清晰地认识到，函数零点是具体的自变量的自变量的取值，而不是一个点取值，而不是一个点。 3 , 2, 1 )( )0 , 3(),0 , 2(),0 , 1( )(2, 1 )( 1 )() ()3)(2)(1()(. 1- - - - -+ +- -= =DCB Axxxxf的零点为的零点为函数函数例例用一用用一用设计意图：设计意图：进一步巩固函数零点的求法，并进一步巩固函数零点的求法，并渗透二渗透二次函数以外的函数

15、零点问题进一步体现方程与函次函数以外的函数零点问题进一步体现方程与函数的关系数的关系 练习练习1：求下列函数的零点：求下列函数的零点： )44lg()(2- -+ += =xxxf 设计意图：设计意图：让学生明白有些方程问题可以转化为让学生明白有些方程问题可以转化为函数问题来求解，有些函数问题有时也可转化为函数问题来求解，有些函数问题有时也可转化为方程问题来解决，这正是方程与函数思想的重要方程问题来解决，这正是方程与函数思想的重要之所在。之所在。以下三个结论有怎样的相关性？以下三个结论有怎样的相关性？想一想想一想轴有交点的图像与函数xxfy)(=有实数根有实数根方程方程0)(= =xf有有零零

16、点点函函数数)(xfy = =设计意图：设计意图：引入生活实例，激发学生的探究热情，引入生活实例，激发学生的探究热情，学生通过动手画图，学生通过动手画图，会自主的发现，无论图像怎么画，一定会有零点，从几何直观上感觉和会自主的发现，无论图像怎么画，一定会有零点，从几何直观上感觉和认识零点的概念，并能启发学生发现零点的判定方法，起到承上启下的认识零点的概念，并能启发学生发现零点的判定方法，起到承上启下的作用作用 。练习练习2：下图是焦作市下图是焦作市2月份的某一天从月份的某一天从0点到点到12点的点的气温变化图，气温变化图， 假设气温是连续变化的，请将图假设气温是连续变化的，请将图形补充成一个完整

17、的函数图象。形补充成一个完整的函数图象。思考：思考：这段时间内，是否一定这段时间内，是否一定有某个时刻的气温为有某个时刻的气温为0度？为度？为什么？什么？气温为气温为0 0度的时刻就度的时刻就是图象与是图象与X X轴交点横轴交点横坐标，从函数角度坐标，从函数角度来说就是函数的零来说就是函数的零点点(时间时间)(气温气温)Oxy62- -12O62- -(时间时间)(气温气温)xy12画一画画一画探究（二）：零点存在性原理探究（二）：零点存在性原理讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理设计意图：设计意图：从学生从学生耳熟耳熟能详的能详的生活实际问题入手，生活实际问题入手，激发学生学习的兴趣与探激发

18、学生学习的兴趣与探究热情。究热情。引入生活实例引入生活实例：（小马过河）：（小马过河）问题问题1：观观察下列两组画面察下列两组画面, ,请你推断一下哪一请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？组一定能说明小马已经成功过河？ 设问设问1 1：如果将河流抽象成如果将河流抽象成x x轴，将小马前后的两个位置抽轴，将小马前后的两个位置抽象为象为A A、B B两点。请问当两点。请问当A A、B B与与x x轴满足怎样的位置关系时，轴满足怎样的位置关系时，ABAB间的一段连续函数图象与间的一段连续函数图象与x x轴一定有交点（即小马的运轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。动

19、轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。设问设问2 2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？么情况下一定成功过河呢？观察学生所画的图像，大致可以分为以下两类：观察学生所画的图像，大致可以分为以下两类： 当当A A、B B两点在两点在x x轴的两侧时，可能会出现以下情形：轴的两侧时，可能会出现以下情形： A Ax xB BA AB Bx xx xA AB B设计意图：设计意图：学生通过画图，大部分不难发现，第学生通过画图，大部分不难发现，第组能说明组能说明小马在行程中一定成功过河（因为小马在行程中一定成功过河（因为A A、B

20、 B两点在两点在x x轴的两侧），轴的两侧），而第而第组中小马在行程就不一定成功过河（因为组中小马在行程就不一定成功过河（因为A A、B B两点在两点在x x轴的同侧轴的同侧 ）。）。学生通过观察图像，在老师的引导下，能自主地得学生通过观察图像，在老师的引导下，能自主地得出结论：出结论： 当当A A、B B两点在两点在x x轴的两侧时，一定有零点，可以用轴的两侧时，一定有零点，可以用f f（a a）f f（b b）00 f(1)0 f(2)f(1)0（2,1）x1 x22x30的一个根的一个根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一个根的另一个根.xy0132

21、112123424再观察对数函数再观察对数函数f(x)=lgxf(x)=lgx的图象发现的图象发现: :xy0121 0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根的一个根.设计意图：设计意图：通过观察两个通过观察两个具体的函数图具体的函数图像，像，进一步说进一步说明函数零点存明函数零点存在的判定方法在的判定方法.由特殊到一般，由特殊到一般，由直观到抽象，由直观到抽象， 符合学生的认符合学生的认知特点，从而知特点，从而形成定理形成定理。 零点的存在性原理：零点的存在性原理：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,b

22、a,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线连续不断的一条曲线，并，并且有且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c (a,b)c (a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0 f(x)=0 的根的根. . 巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维问题二：该函数有几个零点？问题二：该函数有几个零点？问题一：能否确定零点区间？问题一：能否确定零点区间？回到回到引入引入.62ln)(. 2的零点的个数求函数例-+=xxxf设计意图：设计意图

23、：定理形成后，直接应用定理解决引入时所定理形成后，直接应用定理解决引入时所留下的问题，首尾呼应，让学生感受到定理的作用以及留下的问题，首尾呼应，让学生感受到定理的作用以及学习的必要性。学习的必要性。 由列表和图像可知由列表和图像可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,说明这个函数说明这个函数在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,因而因而仅有一个零点。仅有一个零点。x0246105y241086121487643219 由列表和图像可知由列表和图像可知f(2

24、)0f(2)0，即即f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,说明这个函数说明这个函数在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,因而因而仅有一个零点。仅有一个零点。14.197212.07949.94597.79185.60491.09861.0986-1.3069-4987654321x)(xf 解：解：用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象 由列表和图像可知由列表和图像可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,说明

25、这个函数说明这个函数在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,因而因而仅有一个零点。仅有一个零点。x0246105y241086121487643219x)(xf12345672397- -115- -12- -26- -2 . 3 . 4 . 5 .) (6 , 1 DCBA个上的零点至少有则函数在区间练一练练一练 练习练习3.已知函数已知函数 的图象是连续不断的图象是连续不断的，有如下的，有如下 ， 对应表对应表)(xf)(xfx试一试试一试设计意图：设计意图：接下来通过练习接下来通过

26、练习3,3,练习练习4 4，进一步巩进一步巩固零点的判定方法固零点的判定方法，达到熟练运用的目的。达到熟练运用的目的。 ,.()1 , ),2 2,.()(2ln.4eBxx)3 1.(3.()1 += =DCA必有一个根的区间是必有一个根的区间是方程方程练习练习问题问题：请同学们思考、交流一下，这：请同学们思考、交流一下，这节课学习到了什么？在解题方法上你节课学习到了什么？在解题方法上你有什么收获？有什么收获？ 教师提出问题教师提出问题学生归纳概括学生归纳概括师生共同完善师生共同完善归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识课堂小结两知识点两知识点三种思想三种思想函数零点的概念函数零点的概念函数零点存在性定理函数零点存在性定理数形结合思想数形结合思想函数与方程的思想函数与方程的思想化归与转化的思想化归与转化的思想设计意图：设计意图：为了为了对本对本节课所学的知识有一节课所学的知识有一个系统、完整的认识。个系统、完整的认识。引导学生从零点的概引导学生从零点的概念与零点的判定方法，念与零点的判定方法，以及本节课所体现的以及本节课所体现的三种数学思想方面进三种数学思想方面进行总结。行总结。课后反馈