随机变量的函数的分布

1、2.6 随机变量函数的分布问题：问题：已知已知 X 的分布，求的分布，求 Y = g(X) 的分布的分布?例如：例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 . 当当 X 为离散随机变量时，为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量为离散随机变量. 将将g(xi) 一一列出一一列出, 再将相等的值合并即可再将相等的值合并即可. 2.6.1 离散随机变量函数的分布离散随机变量函数的分布2.6.2 连续随机变量函数的分布定理定理2.6.1 设设 X pX(x)，取值范围为，取值范围为c, d; y = g(x) 是是 x 的严格的严格 单调函数，记单调函数，记 x

2、= h(y) 为为 y = g(x) 的反的反函数函数, 且且h(y)连续可导，则连续可导，则Y = g(X)的密度函数为的密度函数为:( ( )| ( )|,( )0,XYp h yh yaybp y其它1. 公式法公式法min ( ), ( ),max ( ), ( ).ag c g dbg c g d其中例2.6.1 设 X 21( ),(1)Xpxx求 Y =eX 的分布.y = ex 单调可导,反函数 x = h(y) = lny,所以当 y 0 时,| )(|)()(yhyhpypXY,1)(yyhyypX1ln)ln1 (12yy由此得21,0(1ln)( )0,Yyyypy其它

3、解：正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).例2.6.2 (1) 设 X N (10, 22)，求 Y = 3X+5 的分布;(2) 设 X N (0, 22)，求 Y = -X 的分布.对数正态分布定理2.6.3 设 X N (, 2)，则 Y = e X 的服从22(ln)1( )exp,0.22yp xyy 伽玛分布的有用结论定理2.6.4 设 X Ga (, )，则当k 0 时， Y = kX Ga (, /k).2. 分布函数

4、法分布函数法步骤：步骤：1、由、由X的取值范围确定的取值范围确定Y =g(X)的取值范围；的取值范围；2、由分布函数的定义求、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数：的分布函数： FY(y)=PY y=Pg(X) y； 3、由分布函数与密度函数的关系求得、由分布函数与密度函数的关系求得Y=g(X)的的概率密度。概率密度。 均匀分布的有用结论均匀分布的有用结论 定理定理2.6.5 设设 X FX (x)，若，若FX (x)为严格单调为严格单调增的连续函数，则增的连续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).例例2.6.3 设随机变量设随机变量XN(0,1) ,求随机变量求随机变量Y=X2的

5、概率密度函数。的概率密度函数。例例2.6.4 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为22,0;( )0,.xxf x其他sin( ).YYXpy求的密度函数2.7 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数矩、变异系数、分位数、中位数2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, . 注意: 1 = E(X). k 阶中心矩：k = EXE(X)k ， k = 1, 2, . 注意: 2 = Var(X). 定义2.7.12.7.2 变异系数变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但在比较两个随机

6、变量大小时波动程度，但在比较两个随机变量大小时会产生不合理的现象。会产生不合理的现象。原因有二：原因有二：（1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差（或标准差）也允许大一些。 定义定义2.7.2 为为 X 的变异系数的变异系数.Var() ()VXCE X作用：作用：称称CV 是无量纲的量是无量纲的量, 用于比较用于比较量纲不量纲不同同的两个随机变量的波动大小的两个随机变量的波动大小.2.7.3 分位数分位数P( X xp ) = F(xp) = p定义定义2.7.3 设设 0 p 1，若若 xp 满足满足则称则称 xp 为此分布为此分布 p - -

7、分位数分位数，亦称亦称 xp 为为下侧下侧 p - - 分位数分位数.注注 意意 点点(1) 因为因为 X 小于等于小于等于 xp 的可能性为的可能性为 p ， 所以所以 X 大于大于 xp 的可能性为的可能性为 1 p .(2) 对离散分布不一定存在对离散分布不一定存在 p - - 分位数分位数.(3) ()()( )xpppP XxF xp x dx上侧上侧 p - 分位数分位数若记若记 x p 为为上侧上侧 p - - 分位数，即分位数，即则则P(X x p ) = p 11 , ppppxxxx2.7.4 中位数中位数定义定义2.7.4 称称 p = 0.5 时的时的p 分位数分位数

8、x0.5 为为中位数中位数.中位数中位数是反映随机变量位置的特征数，即是反映随机变量位置的特征数，即随机变量取值的中心随机变量取值的中心. 中位数与均值 相同点相同点：都是反映随机变量的位置特征都是反映随机变量的位置特征. 不同点： 含义不同含义不同.有时有时中位数中位数比比均值均值更能说明问题更能说明问题. 若分布是若分布是对称的，则中位数对称的，则中位数=均值均值.统计中常用的 p - 分位数 (1) N(0, 1)： Z , U (2) 2(n)： 2( )n(3) t (n)： ( ) nt(4) F (n, m)： ( , )n mF2.7.5 偏度系数偏度系数定义定义2.7.5 设

9、设 随机变量随机变量X的三阶矩存在，则称的三阶矩存在，则称为为X的分布的的分布的 偏度系数偏度系数，简称简称偏度偏度.正态分布正态分布N（ ， 2）的）的偏度偏度 1=0. 3313/23/222()()E XE XE XEX2.7.5 峰度系数峰度系数定义定义2.7.5 设设 随机变量随机变量X的四阶矩存在，则称的四阶矩存在，则称为为X的分布的的分布的 峰度系数峰度系数，简称简称峰度峰度.正态分布正态分布N（ ， 2）的）的峰度峰度 2=0. 4422222()33()E XE XE XEX 偏度与峰度偏度与峰度 相同点相同点：都是反映分布的形态特征都是反映分布的形态特征. 不同点： 含义不

10、同含义不同.刻画的是分布的对称性，刻画的是分布的对称性，刻画的刻画的是分布的峰峭性是分布的峰峭性.习题讲解习题讲解 例例1 1 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立个交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的概率并且遇到红灯的概率都是都是1/31/3。(1)(1)设设X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X的分布律；的分布律；(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率。次红灯的概率。解解 (1)(1)由题意，由题意，XB(6,1/3)(6,1/3)，故，

11、故X的分布律为：的分布律为：6,.,1 , 03231)(66kCkXPkkk)6()5()5()2(XPXPXP729133132316556 C例例2 2 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3 3e-2-2。求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。23) 1() 0(1),(eXPXPXPpX且且)2() 1()0(1)3(XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解 由题意由题意232e

12、ee例例3 3 设随机变量设随机变量XU1, 6 ，求一元两次方程，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。有实根的概率。 解解 当当=X2- -400时，方程有实根。所求概率为时，方程有实根。所求概率为)2()2()22()04(2XPXPXXPXP或或而而X的密度函数为的密度函数为其其它它. ., 0, 61,51)(xxf62625451)()2(dxdxxfXP0)2(XP54)04(2XP另解另解)04(1)0)4(22XPXP)22(1XP54511511)(12221dxdxxf例例4 4 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、2525分、分、5555

13、分发分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过地到达车站，求乘客候车时间超过1010分钟的概率。分钟的概率。)6055()4525()1510()(XPXPXPAP解解 设设A乘客候车时间超过乘客候车时间超过1010分钟，分钟，X乘客于某时乘客于某时X分钟到达，则分钟到达，则X U(0,60)21605205例例5 5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资司要求投资2.82.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用费用X

14、N(2.8,0.52)。乙公司要求投资。乙公司要求投资3 3亿元，但预算外亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工程。现假定工程资方掌握资金资方掌握资金(1)3亿元，亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？合理？解解 （1）工程资方掌握资金）工程资方掌握资金3亿元。亿元。若委托甲公司承包若委托甲公司承包)4 . 0(5 . 08 . 23)3()3( FXP若委托乙公司承包若委托乙公司承包50. 0)0(2 . 033)3()3

15、( FYP标准正态分布表标准正态分布表=0.6554(2)请自己完成。请自己完成。委托甲公司承包较为合理。委托甲公司承包较为合理。例例6 6一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分（小时）服从正态分布布(100,152),某仪器上装有某仪器上装有3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率. 其中其中2514. 0)67. 0(1510090)90(XPp故故4195. 0)1 ()0(3pYP解解 设设Y为使用的最初为使用的最初90小时内损坏的元件数

16、，则小时内损坏的元件数，则 Yb(3, p)例例7 7 设设X U(-1,1), ,求求Y= =X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 其它其它01121xxfXX因为ydxFyyY21其它其它01021)( )(yyyFyfYY当当y0时，时，0)(yFY当当0y1时时当当y1时时1)(yFYyy解解 dxxfyXPyYPyFyxXY2)()(2所以例例8 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量变量X(单位吨单位吨)，它服从，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出上的均匀分布。若售出这种商品这种商品1吨，可赚吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？解解 由题意可知由题意可知X的密度函数为的密度函数为其它其它04000200020001)(xxf设每年出口该商品设每年出口该商品y吨，吨，(2000y4000)，则收益，则收益yXXyXyXyXgY)(