第1章矢量与场论

1、电磁场与微波技术电磁场与微波技术教教 师：王珍师：王珍办公地点：办公地点：A2-128联系电话：联系电话：84832241Email ：wangzhen_2v课程介绍课程介绍v学习电磁场理论的学习电磁场理论的意义意义v本课程的性质、任务和本课程的性质、任务和要求要求v考核方式与评价标准考核方式与评价标准v学习方法学习方法绪论绪论31.电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.高频电子线路高频电子线路3.信号与系统信号与系统4.通信原理通信原理通信工程通信工程专业专业“四大天书四大天书”4课程介绍：课程介绍：56 GPS是美国国防部投资是美国国防部投资100亿美元，历时亿美元，历时20余年开发成功的一余年

2、开发成功的一种无线电导航定位系统。种无线电导航定位系统。1993年用于民用年用于民用.GPS是一个全球性无线电导航定位、定时多功能系统。是一个全球性无线电导航定位、定时多功能系统。就是在外太空设置一个就是在外太空设置一个“无线电导航台无线电导航台”。由由24颗人造卫星组成的卫星网，距地球颗人造卫星组成的卫星网，距地球2万多公里。万多公里。向地球不断发射定位信号。地球上的向地球不断发射定位信号。地球上的GPS接收机，均能接收到接收机，均能接收到4颗以上的卫星发出的信号，经过计算后，就可报出颗以上的卫星发出的信号，经过计算后，就可报出GPS接收接收机的位置（经度、纬度、高度）、时间和运动状态（速度

3、、航机的位置（经度、纬度、高度）、时间和运动状态（速度、航向）向）7v世界上有美国、俄罗斯（世界上有美国、俄罗斯（Glonass）和欧洲和欧洲“伽利伽利略略”（我国参股）、（我国参股）、北斗系统。北斗系统。 GNSSGNSS。n中国北斗卫星导航定中国北斗卫星导航定位系统：位系统：5颗静止轨颗静止轨道卫星和道卫星和30颗非静止颗非静止轨道卫星，提供开放轨道卫星，提供开放服务和授权服务。服务和授权服务。n现在有现在有11颗，定位颗，定位精度达到精度达到10米以内。米以内。82012年年2月发射第月发射第11颗北斗导航卫星颗北斗导航卫星(第第9颗组网卫星颗组网卫星 )9国产北斗海上搜索定位系统国产北

4、斗海上搜索定位系统“北斗北斗”导航卫星导航卫星北斗卫星导航系统北斗卫星导航系统2012年年12月月27日起向亚太大部分地区正式提日起向亚太大部分地区正式提供区域服务，包括定位、导航、双向授时和短报文信息服务。供区域服务，包括定位、导航、双向授时和短报文信息服务。基本性能基本性能: 位置精度平面位置精度平面10米、高程米、高程10米；测速精度每秒米；测速精度每秒0.2米；米；授时精度单向授时精度单向50纳秒。纳秒。10n微电子器件与电路微电子器件与电路n微波工程与射频工程微波工程与射频工程n无线通信无线通信n生物医学工程生物医学工程n光通信光通信n电气工程电气工程电电电电电电 磁磁磁磁磁磁 理理

5、理理理理 论论论论论论1112 GHz frequency rangeCellular phones, pagers, satellite phones GHz frequency rangeBiomedical equipment Implants inside the human bodyWearable wireless devices Land warriorRemote sensing AstronomyRFID and Tagging Inventory and securityGPS NavigationBluetooth and WLAN，UWB Short distance

6、communicationVehicle Doppler radar collision avoidancePolice Radio Communication1314公元前公元前600 希腊希腊 摩擦后的琥珀可吸引微小物体摩擦后的琥珀可吸引微小物体公元前公元前300中国中国 磁石吸铁磁石吸铁公元初中国公元初中国 世界上第一个指南针世界上第一个指南针地球磁场地球磁场1785年法国年法国 库仑库仑(17361806)定律定律1820年丹麦丹麦年丹麦丹麦 奥斯特奥斯特(17771851)发现电流的磁场；发现电流的磁场；法国物理学家毕奥和萨伐尔通过实法国物理学家毕奥和萨伐尔通过实验总结出了毕奥萨伐尔

7、定律验总结出了毕奥萨伐尔定律1820年法国年法国 安培安培(17751836) 电流回路电流回路间作用力，间作用力，安培定律安培定律。 1822年安培提出一切磁现象的根源是电流的假说年安培提出一切磁现象的根源是电流的假说151831年英国年英国 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场 1887年德国年德国 赫兹赫兹 (18571894)实验麦氏方程组实验麦氏方程组电磁波的存在电磁波的存在1873年英国英国年英国英国 麦克斯韦麦克斯韦(18311879)位移电流位移电流, ,时变电场产生磁场时变电场产生磁场 麦氏方程组麦氏方程组16v如果介质的如果介质的和和都小

8、于零，电磁波能在其中传播。但是都小于零，电磁波能在其中传播。但是 E 、H 、k 之间不再满足右手螺旋关系而是满足左手螺旋关系。这之间不再满足右手螺旋关系而是满足左手螺旋关系。这种介质被称为种介质被称为“左手材料左手材料”（Left-Handed Metamaterials)右手材料(e 0, m 0)右手材料(e 0, m 0)左手材料(e 0, m 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)1.2.2矢量场的散度矢量场中穿过闭合曲面的通量是一个积分量，它反映的是闭合曲面中源的总特性，不能反映场域内每一个点的通量特性。为了反映场域内每一个点的通量特性，我们需要把包围该点的闭合曲面向该点

9、无限的收缩，进而，我们引入矢量场散度的概念。在矢量场中任一点P处做一个包围该点的闭合曲面S，当闭合曲面S所限定的体积 以任意方式无限趋近于0时，比值 的极限称为矢量A在点P 处的散度，记为 ，即 （1-12）VVSASdAdivVSAASddivV0lim由散度的定义可知：（1）散度是标量，它是场矢量通过某点处单位体积的通量，即通量体密度。散度的大小描述了场中该点的通量源的强度；（2）散度的正负反映场中该点通量源的性质。若 ，则该点处有发出矢量线的正通量源；若 ，则该点处有汇集矢量线的负通量源；若 ，则该点处无通量源。0A div0A div0A div在直角坐标系中，若矢量 表示为 ，则矢量

10、 的散度可以通过下式计算（推导过程省略） （1-13）式（1-13）表明，矢量的散度是标量，其值等于该矢量在三个坐标方向分量沿各自方向变化率之和；式中，符号“ ”称为哈密顿算符，也称为矢量微分算子，表示的是下面的矢量运算形式 （1-14）AxyzAAAAijkAyxzAAAdivxyz AAkjizyx式（1-14）表明，哈密顿算符兼有矢量和微分运算双重功能，当它作用于某矢量时，先按矢量规则展开，再作微分运算。下面以式（1-13）得来过程为例，看一下哈密顿算符的使用方法 ()xyzAAAxyzAijkijkyxzAAAxyz A= 0 A= 0 ( (无源无源） A A= = 0 0 ( (负

11、负源源) ) A= A= 0 0 ( (正源正源) )解 （1）根据已知，把电位移矢量写成直角坐标系中的形式为322224()i+ j+ kDi+j+kxyzqxyzDDDxyz对电位移矢量三个坐标轴上的分量分别求对应方向的偏导数为同理可得其他两个分量的导数分别为电位移矢量的散度为322223122222222222 33262254()3()()224()3434xDqxxxxyzxyzxxyzxqxyzq rx rrq rxr 22534yDq ryyr22534zDq rzzr2222533()04DyxzDDDqrxyzxyzr可见，除点电荷所在源点（ ）外，空间各点的电位移矢量的散度

12、为零，即场中其他位置无发散源。 （2）根据通量的计算式，可得闭合面的通量为此结果表明，在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷 。0r 3244Dsr eensssqqddsdsqrr eq1.2.3散度定理由前面的分析可知，矢量场在某点的散度表示的是该处单位体积的通量，由此可得，矢量场散度的体积分应等于该矢量场通过包围该体积的封闭面的总通量（具体推导过程从略），即 （1-15）AAsVsdvd式（1-15）表达的内容称为散度定理（也称为高斯定理）：矢量场中某矢量的散度在体积V上的体积分等于该矢量在包围该体积的闭合面S上的面积分。散度定理给出了矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个

13、变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式，在以后学习的电磁场理论中会经常用到。例题1-7 已知球面 上任意点的位置矢量为 （ 为球面上沿径向的单位矢量）。试求： 。解 根据已知，先求解矢量的散度为根据散度定理，矢量在闭合面上的面积分等于矢量散度在闭合面包围体积上的体积分，即Sri+ j+ k = erxyzrerrssd3yxzrrrxyzr =3343343rsrsVVddvdvrr 1.3矢量场的环流与旋度 矢量场的环流与旋度也是描述矢量场性质的重要物理量，通过这两个场量的分析可以得到场域的漩涡性及场中某点的漩涡源的性质。1.3.1矢量场的环流矢量 沿场中某一闭合路径的线积分，称为矢量 沿

14、该路径的环流，记为 （1-16） 式（1-16）中， 为闭合路径上线元矢量，其大小为 ，方向为该处路径的切线方向（指向路径的绕行正方向一侧），如图1-3所示；一般的，闭合路径的绕行正方向规定为：当沿着闭合路径的绕行正方向前进时闭合路径所包围的面积在其左侧，而路径包围面积的法向规定为与路径绕行方向成右手螺旋关系。AAAlld dll d图图1-3 路径正方向路径正方向矢量场的场矢量沿闭合路径的环流与矢量穿过闭合曲面的通量一样，都是描述矢量场性质的重要的量。例如，普通物理电磁学中研究的静电场中电场强度的环流为零，即 ，为什么呢？环流为零反映了场怎样的性质呢？0El =ld 分析如下：静电场场强沿闭

15、合路径的线积分之所以为零，是因为静电场中场强线是有头有尾，不闭合的线，场矢量沿闭合路径进行线积分时，会出现正负量相互抵消情况，进而使得闭合路径的总积分为零。反过来，如果一个矢量场中，场矢量沿闭合路径线积分为零，我们可以推断此场中的场线是有头有尾的线，不是闭合的场线，即这样的场中没有产生闭合场线的源；再如，恒定磁场的安培环路定理表明：磁场强度 沿闭合路径的环流等于闭合路径内包围的电流的代数和，即 ，这又如何分析，又反映了场怎样的性质呢？H与前面类似，可分析如下：恒定磁场中磁场强度沿闭合路径的线积分之所以不为零，是因为恒定磁场中场线是无头无尾的闭合线，场矢量沿闭合路径进行线积分时，不会出现正负量相

16、互抵消的情况。反过来，如果一个矢量场中，场矢量沿闭合路径的线积分不为零，我们则可以推断这个场中的场线是无头无尾的闭合线，这样的场中有产生闭合场线的源，我们称之为漩涡源漩涡源。恒定磁场中的涡旋源即是闭合回路包围的电流。综合以上可知：矢量场中场矢量的环流是否为零反映了场中该区域是否有漩涡源，场是否具备漩涡性。Hl =ldI1.3.2矢量场的旋度与矢量通过闭合面的通量一样，矢量沿闭合路径的环流也是场中一个区域的积分量，反映的是场中一个宏观大区域的性质。为反映场中给定点P附近的环流状态，我们需要把闭合曲线向P点无限缩小，使它包围的面积 趋近于零，极限 称为矢量 在P点处的环流面密度，或称环流强度。s0

17、limA llsds A由环流面密度的定义式可知，回路包围的面积可以多种选择，所取面元 的方向也不尽相同，对应于一个闭合回路的环流面密度会有多个结果，为方便不同的场之间的比较，我们用场中某点矢量环流面密度的最大值作为衡量标准，并定义其为矢量的旋度：矢量的旋度大小等于该处环流面密度的最大值，方向沿着使环流面密度取得最大值的面元的法线方向。矢量的旋度记为rot （或curl ），即 （1-17）矢量的旋度反映的是场中某点处的漩涡源的强度。对于场中某点，当 时，表明该处无漩涡源。若场中某区域处处 ，则称该区域为无旋场或保守场；当 ，表明该处有漩涡源。sAA0maxlimA lAelnsdrots 0

18、Arot0Arot0Arot直角坐标系中，矢量函数 的旋度可以通过下式计算（推导过程省略） （1-18）此式也可用行列式计算为 （1-19）kjiA)()()()(tAtAtAtzyxxyzrotAAAxyz AA ijkijkxyzxyzAAAijkA例题1-8 已知描述场的矢量函数为 试求：场中点 处矢量的旋度。解 由旋度的计算公式，可得带入P点坐标值，可得矢量在P点的旋度为 2()Aijkxyyzxz(1,2,1)P2()ijkAxyzxyyzxz22()()()()()()2()ij+kki+jijkxzxyyzxyyzxzyzxyzxyzxy 26AijkP 1.3.3斯托克斯定理由

19、前面的分析可知，矢量场在某点的旋度是环流的面密度，表示的是场中该处单位面积的环流，由此可知，矢量场旋度的面积分应等于该矢量沿包围面积的闭合环路的总环流（具体推导过程从略），即 （1-20）式（1-20）表达的内容称为斯托克斯定理：矢量场中某矢量的旋度在面积S上的面积分等于该矢量沿包围该面积的闭合回路L上的线积分。斯托克斯定理给出了矢量的旋度的面积分与该矢量沿闭合回路线积分之间的一个变换关系，是矢量分析中的另外一个重要的恒等式，在以后学习的电磁场理论中也会经常用到。AsAlsldd例题1-9已知描述矢量场的函数为试求：（1）矢量沿闭合回路 的环流；（2）矢量的旋度表达式；（3）对于此闭合回路验证

20、斯托克斯定理。解 （1）由于闭合回路在XOY平面上，线元可表示为 ，如图1-4所示。根据环流公式，有 22(2)()()Ai -j -kxyyzy z222(0)xyazlijddxdy图图1-4 例题例题1-9用图用图()A lAijllddxdy22(2)()() ()i -j -kijlxyyzy zdxdy 根据已知，上式中 ，则有 此式中有两个积分变量，为统一变量，设线元对应半径与OX轴正向夹角为 ，则线元所在处坐标可分别表示为带入上式，则有 0z (2) ()A liijlldxydxdy(2)lxy dxcosxasinya20(2 cossin )(sin )Alldaaad2

21、2220sin(2 )sinaad2a（2）根据旋度公式，利用行列式计算可得 （3）闭合回路包围面积的法向为z轴正向，对于闭合回路包围的面积计算矢量旋度的面积分，可得比较此结果与（1）问结果，可知斯托克斯定理得证。222ijkAxyzxyyzy z( 22)(00)(0 1)=i+j+kkyzyz 2Ask ksssddsdsa（）AsAlsldd（）1.4标量场的方向导数与梯度在矢量场中，我们常引入矢量场线来形象描述场的特性及场中矢量分布情况。在标量场中，我们则常引入等值面来形象描述场的特性及空间分布情况。在标量场中，描述场的标量函数取得相同数值的点构成的空间曲面，称为等值面。例如，在电场中

22、，电位相等的点构成的等值面称为等位面；再如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面。等值面具有如下特点：（1）标量场中，不同的等值面对应于不同的标量值，标量场的分布情况可以用一族等值面进行描述；（2）标量场中任意一点都对应于一个确切的标量值，因而场中的任意两个等值面互不相交。1.4.1标量场的方向导数等值面描述场的分布情况，但不能描述一个区域场的变化情况，为描述标量场中任一点的附近区域标量变化规律，我们引入标量场的方向导数和梯度的概念。标量 在场中某点P处沿 方向对距离的变化率称为 沿 方向的方向导数，记为 。标量的方向导数是标量，只有大小和正负，但无方向。标量场中某点的方向导数大于零，则标量沿

23、 方向是增加的；若某点的方向导数小于零，则标量沿 方向是减小的；若某点的方向导数等于零，则标量沿 方向无变化。llllll例：温度场：例：温度场：甲甲乙乙丙丙甲甲：（每米温度变化为）：（每米温度变化为）（0C-30C）/100m = -3/10 /100m = -3/10 C/m乙：（每米温度变化为）乙：（每米温度变化为）（0C-30C）/200m = -3/20 /200m = -3/20 C/m丙：（每米温度变化为）丙：（每米温度变化为）（0C-30C）/80m = -3/8 /80m = -3/8 C/m同一温度场中，等温面沿不同方向的变化率是不同的。同： l甲甲的方向导数为-3/10-

24、3/10 l乙乙的方向导数为-3/20-3/20 l丙丙的方向导数为-3/8-3/8 一般情况下，标量场一般情况下，标量场 u 在在M0点沿点沿l 方向的方向导数方向的方向导数为：为：在直角坐标系中，标量沿 方向 的方向导数可根据下式进行计算 （1-21）式（1-21）中， 分别是 沿三个坐标轴的方向余弦，即把此式带入式（1-21），可得方向导数的另一个计算公式为 （1-22）llxyzlxlylzl,xyzlllcos,cos,cosxyzlllabgcoscoscoslxyzabg1.4.2标量场的梯度由式（1-22）可知，标量的方向导数与 方向有关，因而，即使在场中同一点，方向导数沿不同

25、的方向也会有不同的值，其中的最大值有确切的方向。为描述这个最大的方向导数，我们引入一个矢量标量的梯度：标量场中标量在点P处的梯度沿标量 变化率最大的方向，梯度的大小等于方向导数在该点的最大值，并记作 ，即 （1-23）式中， 为标量 随距离变化率最大的方向上的单位矢量。lgradmaxelgradlel式（1-23）是梯度的定义式，在具体计算中，用定义式计算梯度比较繁难，因而，有必要探讨简便的梯度计算公式。在直角坐标系中，若以 表达 方向的单位矢量，则标量 沿 方向的方向导数可写为coscoscosei+j+klabgllcoscoscoslxyzabgcoscoscosxyzabgijkij

26、k此式表明， 沿 方向的方向导数是矢量 在 方向的投影。若使 方向与此矢量方向一致，将得到 最大的方向导数，可见，矢量 的模即是最大的方向导数值，其方向即为取得最大方向导数的方向，即此矢量应为标量 的梯度。利用矢量微分算子 ，在直角坐标系中，标量 的梯度的计算式可表示为 （1-24）标量的梯度是一个矢量，其大小和方向就是 在场点最大变化率的大小和方向。因此，标量 的梯度指向 增加最快的方向。标量 沿某个方向的方向导数等于梯度在该方向的投影，即 （1-25）llijkxyzlijkxyzkjizyxijkgradxyz ell 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系: :标量场沿l 方向的方向

27、导数等于梯度沿该方向的投影。例题1-10 已知标量场函数 。试求：（1）标量 在点 处的最大变化率的大小及其方向；（2）在P点标量 沿X轴正向的方向导数。解 （1）最大变化率即是标量的梯度，根据梯度计算公式（1-24），有 在带入P点坐标值，得P处梯度的大小为222xxyz2(2)22ijkijkxyxyzxyz34pij9 165p(2,1,0)P梯度的方向可用该方向的单位矢量表示为梯度的方向也可以用梯度矢量与坐标轴正向之间夹角的余弦表示（数学上称为方向余弦），有兴趣的可以自行练习，在此不再赘述。（2）根据方向导数与梯度之间关系式，可得P点函数 沿X轴正向的方向导数为 由此结果可看出，梯度沿

28、X轴正向的方向导数即是梯度在OX轴的分量。340.60.855ppijij(34 )3iijippl 例1-11 已知在点电荷 激发的静电场中，点 处电位的表达式为 （式中，r表示场源电荷到场点的距离，相应的，场源电荷到场点的矢径可表示为 ）。静电场中场强与电位的关系为：场强等于电位的负梯度。试求：静电场中，点 处场强表达式。解 由已知可知，点电荷 激发的静电场中某点的电位仅随场源电荷到场点的距离r变化，因而，电位变化率最大值的方向应是沿 方向，故，此问题中求电位的梯度其实就是对r求导数即可，所得结果方向应沿 方向（径向单位矢量用 表示）。即静电场中场强表达式为 备注：此式求解时选择的坐标系不

29、是空间直角坐标系，而是球面坐标系， 表示的是球面坐标系中沿 方向的单位矢量，关于球面坐标系的相关内容将在下一节中进行介绍。qq( , , )P x y z04qrerijkxyz( , , )P x y zrr200144Eeerrqqrrree err1.4.3格林定理格林定理又称为格林恒等式。根据梯度相关知识可知，一个矢量可以表示成一个标量的梯度，用此方法，将本章第2节式（1-15）表示的散度定理中矢量函数 表示为一个标量函数的梯度 与一个标量函数 的乘积，即令 ，则散度定理可变换为 （1-26）哈密顿算符是矢量微分算子，它的运算规则符合微分运算基本规则，根据数学公式 ，式（1-26）左侧

30、被积函数可变形为AA sVsdvd ()uvuvuv2 式（1-26）右侧被积函数是两个矢量的点乘，根据点乘运算规则及方向导数与梯度的关系，有式中， 向为面的法向。把此二式带回式（1-26），可得 （1-27）式（1-27）表达的内容称为格林第一恒等式。将式（1-27）中 与 进行对调，则上式可变形为 （1-28）将式（1-27）与式（1-28）相减，可得格林第二恒等式，即 （1-29）cossddsdsn a n2Vsdvdsn 2Vsdvdsn22Vsdvdsnn 格林定理不仅把一个体积中的积分问题转化为包围其体积的闭合面上的积分问题，而且还给出了两个标量场之间的变换关系。如果已知其中一个

31、标量场的分布情况，根据格林定理即可求得另一个标量场的分布情况，因而，格林定理也是一个在电磁场中常用的定理。1.5 正交曲面坐标系 场论 空间直角坐标系是最常见的坐标系，但在电磁场理论中，有时研究的问题比较复杂，使用空间直角坐标系反而会使问题变得更为繁琐。为了研究问题方便，我们还需要使用柱面坐标系（也称圆柱坐标）和球面坐标系，本节将分别介绍这两种坐标的基本知识。1.5.1柱面坐标系柱面坐标系中一个场点M的坐标是三个有序数（ ，如图1-5所示。其中 是场点M到柱面轴线OZ的距离； 是过点M且以OZ轴为界的半平面与XOZ平面之间的夹角；Z是点M对应的OZ轴的坐标。（1）三个坐标变化的范围分别为 ,

32、, ) z 020z( , , )Mz xyz图图1-5 柱面坐标系柱面坐标系（2）在柱面坐标系中，坐标曲面是：=常数，是以OZ轴为轴的圆柱面； 常数，是以OZ轴为界的半平面； 常数，是平行于XOY平面的平面。 z（3）在柱面坐标系中，坐标曲线是： 曲线，单位矢量为 ，表示垂直于OZ轴向外的径向； 曲线，单位矢量为 ，表示与OZM面垂直且与OZ轴成右手螺旋关系的方向； 曲线，单位矢量为 ，表示OZ轴的正向。zeeez（4）点M在空间直角坐标中的坐标与在柱面坐标中的坐标之间的换算关系为（5）柱面坐标系中散度、旋度、梯度的计算公式分别为（推导过程略） （1-30） （1-31） （1-30）cos

33、xsinyzz()()1AAzAAAdivz1eeeAAzzrotzAAA 1eeezgradz 1.5.2球面坐标系 球面坐标系中一个场点M的坐标是三个有序数（ ，如图1-6所示，其中 r 是场点M到原点的距离； 是有向线段 与OZ轴正向的夹角； 是过点M且以OZ轴为界半平面与XOZ平面之间的夹角。（1）三个坐标的变化范围为 , , )r OM r0020图图1-4球面坐标系球面坐标系（2）在球面坐标系中，坐标曲面是： 常数，是以原点O为球心的球面； 常数，是以OZ轴为轴的圆柱面； 常数，是以OZ轴为界的半平面。（3）坐标曲线是 曲线、 曲线、 曲线，对应的三个方向单位矢量分别表示为 、 、

34、 。（4）点M在直角坐标系中坐标与其球面坐标系中坐标之间的关系为rrereecossinrx sinsinry cosrz （5）球面坐标系中散度、旋度、梯度的计算公式分别为 （1-33） （1-34） （1-35）22(sin)()1sinsinAArAAr Adivrrrr2sin1sinsineeeAArrrrrotrrArArA 11sineeergradrrr 例题1-12 分别在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系中求位置矢量 的散度和旋度。解 直角坐标系中，位置矢量 可表示为 ，则其散度和旋度分别为 rrrijkxyz3rxyzxyzijkrxyzxyz()()()0ijkzyxz

35、yzyzzxxy 柱面坐标系中，位置矢量 可表示为 （ ），则其散度和旋度分别为 rreezz01()()rzz 1(2)310eeerzzz1)0eeeezzzz 球面坐标系中，位置矢量 可表示为 （ ， ），则其散度和旋度分别为rrerr00221()(sin0)(0)sinsinrrrrrrr 221()3rrrr2sin1sin00eeerrrrrrr21sinsin0eerrrrr比较几个坐标系中得出的计算结果可知，无论采用哪种坐标系，位置矢量 的散度均为3，而旋度均为0。选择的坐标系不同，但得到的描述场的量相同，反映场的性质相同无旋发散场；同一个矢量，在不同的坐标系中求解散度和旋度，计算的繁琐程度各不相同，就此题而言，在球面坐标系中计算相对简洁（计算过程中涉及的项数明显少），因而，对于不同情况，选择合适的坐标系进行矢量的分析显得尤为重要。r1.6 亥姆霍兹定理由前面的分析我们可以总结，矢量场的散度和旋度分别确定矢量场的通量源强度和漩涡源强度。任何一个物理场必须有源，场是同源一起出现的