材料力学(I)第九章

1、1第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9- -1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9- -2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9- -3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数9- -4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图9- -5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9- -6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面29- -1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2. 作用于杆上的

2、轴向压力有“偶然”偏心，3. 材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定3 对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力； 对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏(压溃)。 对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定4 图a为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求Fd 关系所需

3、挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=F(e+d-w)，这样得到的挠曲线近似微分方程EIz w=F(e+d -w)和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)5 按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力F 与最大侧向位移d 的关系曲线如图b所示。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b) 由图可见虽然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的Fd 关系曲线其特点与图b相同。6抽象的细长中心受压直杆 由图b可知，当偶然偏

4、心的偏心距e0时，细长压杆的F-d 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d 关系曲线将是折线OAB。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定7 由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当FFcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d0)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(criti

5、cal force)。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定8 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定109-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本节以两端球形铰支(简称两端铰

6、支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)11 在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为 (a) crwFxMwEI 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)(a)上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。 xyxwdddd12令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通

7、解为02 wkw(b)kxBkxAwcossin(c)第九章第九章 压杆稳定压杆稳定此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F = Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。13 将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到0sinklA第九章第九章 压杆稳定压杆稳定kxBkxAwcossin(c)(a)注意

8、到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w 0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=014满足此条件的kl为，2 ,0kl或即，2 0crlEIF 由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 klp 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。0crlEIF第九章第九章 压杆稳定压杆稳定由klp有crlEIF22crlEIF亦即15从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：22crlEIF 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式

9、(c)得xlAwsin第九章第九章 压杆稳定压杆稳定注意到当x= l /2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于klp，亦即对应于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为lxwsind可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。16需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)179-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数

10、压杆的长度因数 现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定18 例题例题9- -1 试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆相应的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面，亦即杆最容易发生弯曲的平面。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定19 解：解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为 wFxMdcr杆的挠曲线近似微分方程则为wFwEI dcr这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(d -w)， 亦为正。将上式改写为 xyxwddddd EIFwEIFwcrcr

11、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定20并令 有EIFkcr2d22kwkw 此微分方程的通解为dkxBkxAwcossin从而亦有kxBkkxAkwsincos 根据边界条件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不会等于零，故知A0，从而有wBcoskx+d。再利用边界条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为EIFkcr第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a) cos1kxwd21至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利用 x = l 时 w = d 这一关系，从而得出从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl = 0。满足此条件的kl的最小值

12、为kl = p/2，亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：2crlEIF 2222cr24lEIlEIF(b)klcos1dd0cos kld亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定22 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的挠曲线方程：lxw2cos1d第九章第九章 压杆稳定压杆稳定23 例题例题9-2 试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆相应的挠曲线方程。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)24 解：解：1. 在推导临界力公式时需要注意，在符合杆端约束条件的

13、微弯状态下，支座处除轴向约束力外还有无横向约束力和约束力偶矩。 在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中发生错误，那么得到的结果将必定是错误的。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b) 图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶矩MB，并且根据整个杆的平衡条件MB 0可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy 。252. 杆的任意x截面上的弯矩为 xlFwFxMycr从而有挠曲线近似微分方程：crxlFwFwEIy 上式等号右边的负号是因为对应于正值的w， 为负而加的。 xyxwdddd第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(b)

14、26令 k2=Fcr /EI，将上式改写为xlEIFwkwy 2亦即xlFFkwkwy cr22第九章第九章 压杆稳定压杆稳定此微分方程的通解为(a) cossincrxlFFkxBkxAwy从而亦有(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。27 对于此杆共有三个边界条件。由边界条件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。将以上A和B的表达式代入式(a)有(c) cossin1crxlkxlkxkFFwy第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(a)再利用边界条件x=l，w=0，由上式得0cos

15、sin1crkllklkFFy28由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 ，从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：49. 4crlEIF2222cr7 . 049. 4lEIlEIF0cossin1kllklkklkl tan亦即第九章第九章 压杆稳定压杆稳定29 3. 将 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。第九章第九章

16、压杆稳定压杆稳定(b)30压杆的长度因数和相当长度第九章第九章 压杆稳定压杆稳定31 表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：22cr lEIF式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度 l。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定32 运用欧拉公式计算

17、临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销第九章第九章 压杆稳定压杆稳定33对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，22cr5 . 0lEIFz对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，22crlEIFy而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定xyz轴销349- -4 欧拉公式的应用范围欧拉公式

18、的应用范围临界应力总图临界应力总图. 欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scrFcr /A来计算，亦即(a) /222222crcrsEilEAlEIAF第九章第九章 压杆稳定压杆稳定35式中，scr称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；l /i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slend

19、erness)或柔度，记作，即AIi/il 根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应用条件就是p22crssE亦即 p2sEp 或写作第九章第九章 压杆稳定压杆稳定36可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有p2psE100Pa10200Pa10206692p2psE 通常把p的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把p的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定37 图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(p)的scr -曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的p要大一些。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定38. 压杆的临界应力总图 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力scr随柔度 变化的关系曲线。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 在p的部分，有欧拉公式scr p2E/2表达scr关系；但在压杆柔度很小时，由于该理论存在的不足，计算所得scr可能会大于材料的屈服极限s