地图投影基本理论

1、第 二 章地图投影基本理论学习指导学习指导学习目标与要求学习目标与要求1掌握地图投影的概念与若干定义掌握地图投影的概念与若干定义2掌握地图投影的基本公式掌握地图投影的基本公式3掌握等角条件、等面积条件与等距离条件掌握等角条件、等面积条件与等距离条件 4了解地图投影的类型了解地图投影的类型学习重点学习重点 1掌握主方向、变形椭圆的概念掌握主方向、变形椭圆的概念2掌握地图投影长度比、面积比、角度变形的基本公式掌握地图投影长度比、面积比、角度变形的基本公式3掌握等角条件、等面积条件与等距离条件掌握等角条件、等面积条件与等距离条件学习难点学习难点1长度比的基本公式长度比的基本公式2投影的三种条件投影的

2、三种条件地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而被表示在平面上。被表示在平面上。地图投影地图投影：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。到平面上。主要内容主要内容：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。如果地球表面上有一点如果地球表面上有一点A (，)，它在平面上的对应点是，它在平面上的对应点是A(x，y)，此两

3、点坐标之间可用下列函数关系式表示：，此两点坐标之间可用下列函数关系式表示： (2-1)第一节地图投影的概念与若干定义第一节地图投影的概念与若干定义由于球面上经纬线是连续而规则的曲线，而地图上一定范由于球面上经纬线是连续而规则的曲线，而地图上一定范围之内经纬线也必定是连续和规则的，因此规定：围之内经纬线也必定是连续和规则的，因此规定：在一定的区域内，函数在一定的区域内，函数f1、f2应单值、有限而连续。应单值、有限而连续。如果从如果从(2-1)中消去中消去，可得经线投影方程式：，可得经线投影方程式： F1(x，y，)=0(2-2)如若消去如若消去，便有纬线投影方程式：，便有纬线投影方程式： F2

4、(x，y，)=0(2-3)如在如在(2-1)式中令式中令0常数，则方程常数，则方程 (2-4) 表示经度为表示经度为0的经线方程的经线方程 同样，如同样，如0常数，则方程常数，则方程 (2-5)表示纬度为表示纬度为0的纬线方程式。的纬线方程式。以上各式就是地图投影中曲面与平面关系的基本表达式。以上各式就是地图投影中曲面与平面关系的基本表达式。地球表而上的长度、面积、角度经过投影，一般地其量值都地球表而上的长度、面积、角度经过投影，一般地其量值都会发生某种变化。为此，给定以下一些基本定义：会发生某种变化。为此，给定以下一些基本定义：长度比长度比 地面上微分线段投影后长度地面上微分线段投影后长度d

5、s与它固有长度与它固有长度ds之之比值：比值：面积比面积比P地面上微分面积投影后的大小地面上微分面积投影后的大小dF与它固有的面积与它固有的面积dF之比值：之比值：(2-6)(2-7)在同一个投影中，不同点上的长度比和面积比的数值一般在同一个投影中，不同点上的长度比和面积比的数值一般是不固定的。长度比和面积比的变化显示了投影中长度和面积是不固定的。长度比和面积比的变化显示了投影中长度和面积的变化。为确切地赋予这种变化在数量上的描述，应引进长度的变化。为确切地赋予这种变化在数量上的描述，应引进长度变形与面积变形的概念。变形与面积变形的概念。长度变形长度变形 长度比与长度比与1之差值。之差值。 面

6、积变形面积变形 面积比与面积比与1之差值。之差值。 角度变形角度变形某一角度投影后角值某一角度投影后角值与它在地面上固有的角度与它在地面上固有的角度值值之差值：之差值： - (2-10)(2-8)(2-9)主比例尺主比例尺计算地图投影或制作地图时，必须将地球计算地图投影或制作地图时，必须将地球(椭球体椭球体或球体或球体)按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率称为地图的按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率称为地图的主比例尺，或称普通比例尺。因而一幅地图上注明的比例尺实主比例尺，或称普通比例尺。因而一幅地图上注明的比例尺实际上仅是该图的主比例尺。际上仅是该图的主比例尺。 局部比例尺局部比例尺地图

7、上除保持主比例尺的点或线以外其它部分地图上除保持主比例尺的点或线以外其它部分上的比例尺。局部比例尺的变化比较夏杂，它们依投影的性质上的比例尺。局部比例尺的变化比较夏杂，它们依投影的性质不同，常常是随线段的方向和位置而变化的。不同，常常是随线段的方向和位置而变化的。为方便起见，在研究投影和推导公式时，常令主比例尺数值为方便起见，在研究投影和推导公式时，常令主比例尺数值为为1。第二节地图投影的基本公式第二节地图投影的基本公式为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素（线段、面积、角度）与它们在平面上的表象的对应关系式，以（线段、面积、角

8、度）与它们在平面上的表象的对应关系式，以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。球面微分梯形球面微分梯形ABCD，其间经差为，其间经差为d，纬差为，纬差为d。AC为微为微分梯形的对角线分梯形的对角线dS，它与经线，它与经线AP的夹角为的夹角为。沿经线微分线段沿经线微分线段沿纬线微分线段沿纬线微分线段对角线对角线AC可表示为：可表示为：C点对点对A点方位角点方位角：sin=rdL/ds，cos=MdB/ds梯形梯形ABCD的面积：的面积：dF=MrdBdL 微分梯形在平面上的表象为平行四边形微分梯形在平面上的表象为平行四边形ABCDBxDACdsmnd

9、sdxdyOXYdsn对下式微分对下式微分得得对各偏导数组合做以下记号对各偏导数组合做以下记号将dx,dy的全微分式代入于是有若先后取dL=0，dB=0，则可获得平面上经、纬微分线段的表达式对角线对角线AC与与x轴之夹角轴之夹角有关系式：有关系式：dxdydsdxdsdytancossinBxDACdsmndsdxdyOXYdsndxdxdydytan 是任意方向与轴夹角。当是任意方向与轴夹角。当d和和d为零时，对应经纬为零时，对应经纬线方向与轴夹角线方向与轴夹角yEdEdydsdymm1sinxEdEdxdsdxmm1cosyGdGdydsdynn1sinxGdGdxdsdxnn1cos经纬

10、线投影后的夹角经纬线投影后的夹角mnBAD360EGHyxyxEGmn1)sin(sinEGFyyxxEGmn1)cos(cos经纬线投影后的夹角经纬线投影后的夹角 与与90度之差值度之差值HFtan1)90tan(tan微分线段微分线段ds的方位角的方位角（以经线顺时针方向计算至（以经线顺时针方向计算至 ds，即，即的投的投影）影）EdsHddxydyxEdsm1)sin(sinEdsFdEddyydxxEdsm1)cos(cos微分梯形投影后的面积，即（以经线顺时针方向计算至微分梯形投影后的面积，即（以经线顺时针方向计算至 ds，即即的投影），即平行四边形的投影），即平行四边形ABCD的面

11、积：的面积：dHddsdsdFnmsin-等角条件、等面积条件与等距离条件等角条件、等面积条件与等距离条件等角条件等角条件：1）经纬线投影后正交，）经纬线投影后正交，902）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，EGHF 或0EsdEddsMdEsdHddsrd0yyxxMErGdsds把、代入前式，并由后式求出后将其代入前式得把、代入前式，并由后式求出后将其代入前式得yxMryyMrx等面积条件等面积条件 dF=dFdHddsdsdFnmsindF=MrddMryxyxMrH 或而等距离投影条件：沿某特定方向长度比为等距离投影条件：沿某特定方向长度

12、比为1。12222222drdMdFdGdEddsds当当 时，为沿经、纬线长度比。时，为沿经、纬线长度比。00dd沿经线等距离：沿经线等距离：沿纬线等距离：沿纬线等距离：1MEm1rGn等角投影条件：等角投影条件：等面积投影条件：等面积投影条件：MErGdsdsnm MrHEGHyxyxEGmn1)sin(sinMrEGsin1sinnm 小比例尺制图时，用球体代替地球椭球时，等角、等积、小比例尺制图时，用球体代替地球椭球时，等角、等积、等距条件如何表示？等距条件如何表示？cosRrNMR-等角条件、等面积条件与等距离条件等角条件、等面积条件与等距离条件n等角条件n等面积条件0yyxxMEr

13、GdsdsxMryyMrx或MryxyxMrH 或等距离投影条件等距离投影条件沿经线等距离：沿经线等距离：沿纬线等距离：沿纬线等距离：1MEm1rGn等角投影条件：等角投影条件：等面积投影条件：等面积投影条件：nm 1sinnmn一点上任意方向长度比的定义：一点上任意方向长度比的定义：-4 地图投影中变形的理论地图投影中变形的理论它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。当当=0或或=90时，即为时，即为2222dsdFdGdEddsds将：将：sin=rd/ds，cos=Md/ds 代入上式得：代入上式得：MEm rGn引入引入m、n，（，（1）式也可表示为

14、：）式也可表示为：rMnmEG（1）主方向与极值长度比 将（）式对将（）式对求一阶导数，并设在求一阶导数，并设在 0时有极值时有极值02cos22sin2sin002022MrFrGMEdd220220cos2tan22tannmmnrGMEMrF或化简后有：化简后有：考虑正切函数周期，上式有二解：考虑正切函数周期，上式有二解：0及及0+180。对应。对应极值长度比的方向有极值长度比的方向有0及及0+90。结论：结论：极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。称这两个特殊的方向为主方向主方向。将极值长度比的方向将极值长度比的方向0及及0+9

15、0代入（代入（1）式的二阶导数，）式的二阶导数，则二者必反符号。也即一个为极大值，一个为极小值。则二者必反符号。也即一个为极大值，一个为极小值。在平面上两个主方向仍保持在平面上两个主方向仍保持正交。正交。ddFEddHFdEdHdtantantanrMddMdrdtantantanMFErHM将极值长度比的方向将极值长度比的方向0及及0+90代入右式代入右式000tantantanMFErHM0001cotcottanMFErHM)cot(tantantan00222222010 ErMFFMrEMHFMrGMEr220002cot2cottan22022tanrGMEMrF1tantan01

16、0 主方向与极值长度比n极值长度比极值长度比：一点上各长度比中的最大值与最小值。一点上各长度比中的最大值与最小值。n极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上n主方向主方向：极值长度比的两个互相垂直的方向。：极值长度比的两个互相垂直的方向。n在平面上两个主方向仍保持在平面上两个主方向仍保持正交。正交。 变形椭圆变形椭圆 用来论述和显示投影变形的工具。用来论述和显示投影变形的工具。 地面一点的微分圆地面一点的微分圆(也称单位圆也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微，在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。

17、分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。222ryxnyymxx122222nrymrxrnymx斜坐标系在应用上不甚方便。斜坐标系在应用上不甚方便。主方向投影后保持正交且为极值。主方向投影后保持正交且为极值。取主方向的直径作为微分圆的坐标轴，在对应平面上它们取主方向的直径作为微分圆的坐标轴，在对应平面上它们成为椭圆的长短半轴。成为椭圆的长短半轴。以以1和和2表示沿主方向的长度比。表示沿主方向的长度比。12221ryrx如用如用、b表示椭圆的长短半轴，则表示椭圆的长短半轴，则a=1rb=2r令微分圆半径令微分圆半径r=1，则有：，则有：a=1b=2结论：结论：微分椭圆长、短半

18、轴的大小，等于微分椭圆长、短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。点上主方向的长度比。如果一点上主方向的长度比如果一点上主方向的长度比(极值长度比极值长度比)已经决定，则微分椭已经决定，则微分椭圆的大小及形状即可决定。圆的大小及形状即可决定。 求定一点上与主方向夹角为求定一点上与主方向夹角为的的OAOA半径的长度比半径的长度比rrOAOA2222)()(byaxrbyyaxxyxr而22222222sincos)()(barybrxarr上式即为微分圆上任一点长度比与极值长度比之关系式。上式即为微分圆上任一点长度比与极值长度比之关系式。变形椭圆的方位角变形椭圆的方位角变形椭圆长半轴与经线的夹角

19、变形椭圆长半轴与经线的夹角22220bmmaabtg122byaxxy00mOn在直角三角形在直角三角形AOA0中中0000sincosmAAymAOx代入椭圆方程代入椭圆方程1sincos20222022bmam1)tan1 (tan)tan1 (0220220222bmam用三角基本公式可化上式为用三角基本公式可化上式为化简后即为化简后即为得得沿经、纬线长度比与极值长度比的关系式沿经、纬线长度比与极值长度比的关系式n一点上任意方向长度比与沿经、纬线长度比的关系式一点上任意方向长度比与沿经、纬线长度比的关系式22sin2nmnmbasinmnab 2/ )2cos1 (cos2/ )2cos

20、1 (sin002002以以a、b表示极值长度比的二极值，则有表示极值长度比的二极值，则有当当 时时有极值且有极值且220cos2tannmmn由可得由可得 代入代入(2)式式002cos2sin及(2)02/sin4222222222nmnmnme利用一元二次方程根与系数的关系可最终获得利用一元二次方程根与系数的关系可最终获得面积比用沿经、纬线长度比表示面积比用沿经、纬线长度比表示面积比引用公式引用公式可得可得sinsinnmMrEGMrHdMrddHddFdFPsinmnab abP rMnmEG角度变形地面上某一方向与主方向组地面上某一方向与主方向组成的角度与它投影后角度关系成的角度与它

21、投影后角度关系tgbaaxbyxytg最大角度变形最大角度变形tgbatgtgtgbatgtg)1(coscos)sin()1(coscos)sin()sin()sin()sin()sin(babababa以表示最大值以表示最大值2/4/454/452/900004/45tantantan)4/45tan(00abab4/45cot)4/45tan(00ab)4/45tan(0111A1A3角度变形的公式重要关系式总结1长度比公式 2面积比公式 经纬线夹角变形公式经纬线夹角变形公式经纬线投影后的夹角为经纬线投影后的夹角为经纬线投影后的夹角变形为经纬线投影后的夹角变形为 最大角度变形公式最大角度

22、变形公式 a、b作为主方向的长度比作为主方向的长度比(极值长度比极值长度比)。以上公式中以上公式中E E、F F、G G、H H称为一阶基本量，称为一阶基本量，或称高斯系数。具体或称高斯系数。具体含义如右：含义如右：在在等角投影等角投影中没有角度变形，而中没有角度变形，而面积变形最大面积变形最大。这。这种投影主要是依靠增大面积变形而达到保持角度不变种投影主要是依靠增大面积变形而达到保持角度不变( (即图形相似即图形相似) )的。在的。在等积投影等积投影中没有面积变形，但中没有面积变形，但角角度变形最大度变形最大，即这种投影主要是依靠增大角度变形而，即这种投影主要是依靠增大角度变形而保持面积相等

23、。至于等距离投影，既有角度变形又有保持面积相等。至于等距离投影，既有角度变形又有面积变形，两种变形其量值近似相等，而且这种投影面积变形，两种变形其量值近似相等，而且这种投影的变形值也是介于等角与等面积投影之间的。的变形值也是介于等角与等面积投影之间的。等变形线等变形线等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。用来显示投影变形的分布及变化规律。用来显示投影变形的分布及变化规律。 在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变

24、形变化状况。变形变化状况。计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法描绘出一定数量的等变形线。用插值的方法描绘出一定数量的等变形线。在制图区域较大而且变形分布亦较复杂时经常采在制图区域较大而且变形分布亦较复杂时经常采用的一种方法。用的一种方法。1、依外在的特征进行分类依外在的特征进行分类： 在投影平面上经纬线投影的形状具有直观的明显性在投影平面上经纬线投影的形状具有直观的明显性 2、依内在的性质来进行分类依内在的性质来进行分类： 投影内蕴的变形的实质投影内蕴的变形的实质在决定投影的分类时，应把两者结合起来，才能较完整地在决定投影的分类时，应

25、把两者结合起来，才能较完整地表达投影。表达投影。-5地图投影的分类分析投影中经纬度与投影直角坐标分析投影中经纬度与投影直角坐标(或极坐标或极坐标)之间的关系，之间的关系，无非存在如下几种情况：无非存在如下几种情况： .5.1地图投影按经纬线形状分类以上这些关系可以用下列图解来说明经纬线的形状：以上这些关系可以用下列图解来说明经纬线的形状：相应于图相应于图中的类别中的类别投影名称投影名称经纬线形状经纬线形状限定特征限定特征经线经线纬线纬线C（右）（右）C（右）（右）圆锥投影圆锥投影方位投影方位投影直线束直线束直线束直线束同心圆弧同心圆弧同心圆同心圆经线间隔相等，交经线间隔相等，交于纬线圆心于纬线圆心同上，且经线夹同上，且经线夹角等于经差角等于经差C（左）（左）圆柱投影圆柱投影平行直线平行直线平行直线平行直线经纬线正交经纬线正交B2（右）（右）B2（右）（右）伪圆锥伪圆锥伪方位伪方位对称曲线对称曲线对称曲线对称曲线同心圆弧同心圆弧同心圆同心圆B2（左）（左）A （右）（右）伪圆柱伪圆柱多圆锥多圆锥对称曲线对称曲线对称曲线对称曲线平行直线平行直线同轴圆弧同轴圆弧不同位置的情况，具体地说，可以分为：正轴投影(极投影)斜轴投影(水平投影)横轴投影(赤道投影)为调整变形分布，投影面可以与地球相切或相割。 .5.2 按内蕴的特征(