北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch83小波与多分辨

1、近代数字信号处理近代数字信号处理(Advanced Digital Signal Processing) 电子信息工程学院电子信息工程学院信号与图像处理研究室信号空间信号空间(signal space)尺度函数尺度函数(scaling function)j j (t)小波函数小波函数(wavelet function)y (t)多分辨分析多分辨分析(MRA)尺度函数系数尺度函数系数h0n与小波函数系数与小波函数系数 h1n的特性的特性尺度函数尺度函数j j(t)与小波函数与小波函数y(t)的设计方法的设计方法 为了从数学概念和工程概念上更好地理解小为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，

2、将通过分辨率的概念来阐述小波理论。波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。 由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的所有信号。该特定的信号集合，称为所有信号。该特定的信号集合，称为。 L2(R)信号空间包含所有定义在实数域信号空间包含所有定义在实数域R上的上的信号，且每个信号都满足：信号，且每个信号都满足： ttxtd)(2R 信号空间信号空间L2(R)称之为平方可积空间称之为平方可积空间 。由尺度函数由尺度函数j j (t)经过平移经过平移k而得到的函数定义为而得到的函数

3、定义为)()(kttkjjZk2Lj定义所有可由信号定义所有可由信号j jk (t)线性表达的信号空间线性表达的信号空间为为)(Span0tVkkj称为由信号称为由信号j jk (t)张成的闭信号空间张成的闭信号空间 ，且，且20LV 则表明存在着则表明存在着kkktatx)()(j同时也意味着同时也意味着)(Span)(0tVtxkkj 若信号若信号x(t)可以由信号可以由信号j jk (t)线性表达，线性表达， 则同理可以得到由信号则同理可以得到由信号j jj,k(t)张成的信号空间张成的信号空间Vj 若由若由尺度函数尺度函数j j (t)经过展缩和平移而得到的经过展缩和平移而得到的不同尺

4、度不同尺度 j 下的尺度函数下的尺度函数j jj,k(t)定义为定义为)2(2)(2,kttjjkjjjZkj,)2(Span)(Span,ttVjkkkjkjjjZkj,由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号1102t)(tj尺度 j=1尺度 j= 0尺度 j=1)(2tj)(t/2j 由于信号由于信号j jj,k(t)比比j jj 1,k(t)在时域上更窄，在时域上更窄，因此因此j jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号可以表达更多的信号，即信号j jj,k(t)张成的信张成的信号空间号空间比信号比信号j jj 1,k(t)张成的信号空间张成的信号空

5、间大。大。jjVV1ZjVVVVVVV21012同理可得：同理可得：0V2LV 由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：0123VVVV2L 通过尺度函数通过尺度函数j j (t)的尺度展缩，就可以改变的尺度展缩，就可以改变尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨率及信号空间之间的关系。率及信号空间之间的关系。 若信号若信号x(t)可以由尺度函数可以由尺度函数j jj,k(t)表达，则信表达，则信号号x(2t)可以由尺度函数可以由尺度函

6、数j jj+1,k(t)表达，即表达，即jVtx)(1)2(jVtx 根据信号空间的包含关系，根据信号空间的包含关系，若存在若存在 则必然则必然 jVtx)(1)(jVtx 这表明若信号这表明若信号x(t)可由尺度函数可由尺度函数j jj,k(t)线性表达，线性表达，则必然可以由尺度函数则必然可以由尺度函数j jj+1,k(t)线性表达。线性表达。 低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。 0)(Vt j1)(Vt j)2(2)(0ntnhtnjj h0n是尺度函数系数是尺度函数系数(scaling function coefficient)，也称为尺度

7、滤波器也称为尺度滤波器(scaling filter)单位脉冲响应。单位脉冲响应。 该式称为尺度函数该式称为尺度函数j j(t)的的，该递归方程是尺度函数理论的基础。该递归方程是尺度函数理论的基础。 1101/2t)(Htj1102t)(Ttj) 12()2()(HHHtttjjj)22(21) 12()2(21)(TTTTttttjjjj221,21,2210nh21,210nhHaar尺度函数尺度函数 三角尺度函数三角尺度函数 )2(2)(2/,kttjjkjZkj, 根据信号空间的概念，由尺度函数根据信号空间的概念，由尺度函数j j(t)同样可同样可以以定义小波函数定义小波函数 (t)，

8、再由小波函数，再由小波函数 (t)经过尺度经过尺度展缩与平移得到小波信号展缩与平移得到小波信号 j,k(t)，即，即)(tj)(t)(tj,k 小波信号小波信号 j,k(t)设计为尺度信号设计为尺度信号j jj,k(t)的正交的正交信号，即存在信号，即存在 0d)()()(),(,tttttljkjljkjjjZlkj ,)(Span,tkjkjjV)(Span,tkjkjW0VWjj1jjjVVW WjVjjjjWVV1正交和 将信号将信号x(t)展开为尺度信号展开为尺度信号j jj,k(t)和小波信号和小波信号 j,k(t)，可以更有效地表达信号，可以更有效地表达信号x(t)中的不同分量，

9、中的不同分量，有利于信号的分析与处理。有利于信号的分析与处理。 001WVV100112WWVWVV321002WWWWVL0123VVVV0V0W1W2W3200WWWV初始尺度初始尺度j=3654332WWWWVL1012332WWWWWVL321200000jjjjjWWWWVL210122WWWWWL初始尺度初始尺度j= 3初始尺度初始尺度j=j0初始尺度初始尺度j信号信号x(t)也可完全由小波信号表达也可完全由小波信号表达信号信号x(t)可由小波信号和尺度信号共同表达可由小波信号和尺度信号共同表达 由于小波函数由于小波函数 (t)隶属于由尺度信号隶属于由尺度信号j j(2t k)张成

10、的信号空间张成的信号空间V1，表明，表明 (t)可以由可以由j j(2t k)线性线性表达，这就是表达，这就是方程：方程：10VW 0)(Wt 1)(Vt )2(2)(1ntnhtnjZnh1n称为小波函数系数称为小波函数系数(wavelet function coefficient)。 若尺度函数若尺度函数j j(t)与小波函数与小波函数 (t)满足正交性，即满足正交性，即0)()(dtkttj1 )1(01nhnhn1) 1(01nNhnhn当当h0n为有限长序列，且长度为有限长序列，且长度N为偶数时，则有为偶数时，则有则小波函数系数则小波函数系数h1n与尺度函数系数与尺度函数系数h0n

11、满足满足 尺度函数尺度函数j j(t)与小波函数与小波函数 (t)的对应关系的对应关系1101/2t)(Ht11101/2t)(Htj1 , 0 ;21 ,210nnh1 , 0 ;21 ,211nnh) 12()2()(HHHtttjj) 12()2()(HHHtttjjj1) 1(01nNhnhn2)(Ltx321200000jjjjjWWWWVL)()()(,000tdtctxkjkjjkjkkjkjj kkjkjtc)(,00j对应信号对应信号x(t)中的中的 )(,0tdkjkjjkj对应信号对应信号x(t)中的中的 由低分辨率的尺度信号由低分辨率的尺度信号j jj0,k(t)表达表

12、达 由高分辨率的小波信号由高分辨率的小波信号 j,k(t)(j j0)表达表达 )()(,tdtxkjkjkj 210122WWWWWL 展开系数展开系数cj k反映了信号反映了信号x(t)中的低频分量的分中的低频分量的分布情况，而一系列展开系数布情况，而一系列展开系数dj k反映了信号反映了信号x(t)中的中的高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离散小波变换散小波变换DWT。 这表明信号这表明信号x(t)也可以完全由小波信号表达。也可以完全由小波信号表达。100200300400-101100200300400-101100200300400

13、-101100200300400-101100200300400-101100200300400-101 Doppler信号kktkc)(,00j)(, 00tkdkk)(, 11tkdkk)(,22tkdkk)(,33tkdkk 当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，信号的小波展开系数信号的小波展开系数cjk和和djk由内积计算由内积计算 tttxttxckckjkjkjjd )()()(),(,jj tttxttxdkdkjkjkjjd )()()(),(,ttkdttkcttxkjjjkjd| )(|d| )(|d| )(|22200j 1d|

14、)(|2ttj 1d| )(|2tt kjjjkjkdkcttx00222| | |d| )(|信号的信号的DWT满足满足Parseval能量守恒能量守恒 nnh202. 若若j j(t)与与 (t)满足正交性，则存在满足正交性，则存在0d )( tt1d )( ttj)2(2)(0ntnhtnjj1. 若若 ，并且，并且 nnh014. 若实现若实现 (t)的正交性的正交性 ，则，则 d)()(ktkttnknkhnh2115. 若实现若实现j j(t)与与 (t)的正交性的正交性 ，则，则 0d )()(tltktjnknhnh02103. 若实现若实现j j(t)的正交性的正交性 ，则，

15、则 d)()(ktkttjjnkknhnh200试分别设计长度试分别设计长度N=2,4的尺度函数系数的尺度函数系数h0n和小波函数系数和小波函数系数h1n ，且尺度函数，且尺度函数j j(t)和小波函数和小波函数 (t) 满足正交性。满足正交性。当当N=2时时，根据尺度函数，根据尺度函数j j(t) 的特性的特性nnh202 1 000 hh根据尺度函数根据尺度函数j j(t)的正交性约束条件的正交性约束条件 nkknhnh2001 1 02020 hh1 , 0 ;21 ,210nnh1 , 0 ;21 ,211 nnh试分别设计长度试分别设计长度N=2,4的尺度函数系数的尺度函数系数h0n和小波函数系数和小波函数系数h1n ，且尺度函数，且尺度函数j j(t)和小波函数和小波函数 (t) 满足正交性。满足正交性。当当N=4时，同理可得时，同理可得232 1 00000hhhh1321 020202020hhhh0 3 1 200000hhhh22/)sin()cos(1 (00h22/)sin()cos(1 ( 1 0h22/)sin()cos(1 (20h22/)sin()cos(1 (30h引入一个自由度变量引入一个自由度变量 试分别设计长度试分别设计长