第09章 正弦稳态电路的分析

1、RULUCU相量法的三个基本公式相量法的三个基本公式 以上公式是在电压、电流以上公式是在电压、电流关联关联参考方向的条件参考方向的条件下得到的；下得到的； 如果为如果为非关联非关联参考方向，则以上各式要变号。参考方向，则以上各式要变号。 以上公式既包含电压和电流的以上公式既包含电压和电流的大小大小关系，又包关系，又包含电压和电流的含电压和电流的相位相位关系。关系。RIRjLLI1jCIC1jCIC 正弦量相应符号的正确表示正弦量相应符号的正确表示瞬时值表达式瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30)A变量，变量，小写小写字母字母有效值有效值I = A210常数，大写字母常数，大

2、写字母最大值最大值常数，大写字母常数，大写字母最大值相量最大值相量mI有效值相量有效值相量A /3010I30/ 210A 30/ 25常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，大写字母加点Im=10AA 259.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳9.2 9.2 电路的相量图电路的相量图9.3 9.3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率9.5 9.5 复功率复功率9.6 9.6 最大功率传输最大功率传输第九章第九章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳一、阻抗一、阻抗1、定义、定义N0+-

3、 -UIdefUZI()uiUIZZ阻抗模阻抗模| Z | = U / I阻抗角阻抗角iuZ阻抗阻抗 Z 的代数形式可写为的代数形式可写为Z= R + jX其实部为其实部为电阻电阻，虚部为，虚部为电抗电抗。2、R、L、C 对应的阻抗分别为：对应的阻抗分别为：RZLZCZ3、感抗和容抗、感抗和容抗感抗感抗LXL容抗容抗CXC1反映电感对电流的阻碍作用反映电感对电流的阻碍作用反映电容对电流的阻碍作用反映电容对电流的阻碍作用)1(CXC或Rj L1jC感抗（感抗（XL =L ）是频率的函数是频率的函数XL = 0 时时XL = 0关于感抗的讨论关于感抗的讨论us+_LR直流直流US+_RUS+-1C

4、XCus+-关于容抗的讨论关于容抗的讨论直流直流是频率的函数是频率的函数容抗容抗1CXC（）0 时时 CX 4、RLC串联电路串联电路如果如果N0内部为内部为RLC串联电路，则阻抗串联电路，则阻抗 Z 为为UZI1jjRLC1j()RLCjRXZZ22XRZ)arctan(RXZRX|Z|Z阻抗三角形阻抗三角形N0+- -UI 当当L 1/C ，X 0，0，电压电压 u 超前电流超前电流 i，称，称 Z 呈呈感性感性； 当当L 1/C ，X 0， 0，或，或 X 0 ， 或或X = 01j()jZRLRXC)arctan(RXZ二、导纳二、导纳1、定义、定义defIYU()iuIUYY导纳模导

5、纳模 | Y | = I / U导纳角导纳角uiY导纳导纳Y的代数形式可写为的代数形式可写为Y= G + jB其实部为其实部为电导电导，虚部为，虚部为电纳电纳。例：例： Z=3+j4Y=1/3 + j1/4Y = 3/25 j 4/25N0+- -UI2、单个元件、单个元件R、L、C 的导纳的导纳RGYR111jjLYLL jCYC3、感纳和容纳、感纳和容纳感纳感纳LBL1容纳容纳CBC三、阻抗的串联三、阻抗的串联neqZZZZ 21特点：特点：阻抗串联时，通过各阻抗的电流是阻抗串联时，通过各阻抗的电流是同一个电流同一个电流。+- -uiZ1Z2Zn对于对于 n 个阻抗串联而成的电路，其等效阻

6、抗个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗各个阻抗的电压分配为各个阻抗的电压分配为,UZZUeqkk,个阻抗的电压为第kUk.为总电压Uk = 1,2,n+- -uiZ1Z2Zn四、阻抗四、阻抗(导纳导纳)的并联的并联neqYYYY 21特点：特点：导纳并联时，各导纳上的电压是导纳并联时，各导纳上的电压是同一个电压同一个电压。对对 n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳个导纳并联而成的电路，其等效导纳+- -uiY1Y2Yn各个导纳的电流分配为各个导纳的电流分配为,IYYIeqkkk = 1, 2, , n+- -uiY1Y2Yn.为总电流I为第为第k个导纳的电流个导纳的电流, ,Ik例：例：如图如图R

7、LC串联电路。串联电路。R=15 ，L=12mH，C=5 F，端电压端电压 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。求：求：i 和各元件的电压相量。和各元件的电压相量。解：解：用相量法。用相量法。1000 (V)U 5000(rad/s)1jjZRLC36115j(5000 12 10)50005 10 15j202553.13 ()1000453.13 (A) 2553.13UIZ RURI6053.13 (V) 1553.134j240 36.87 (V)LULI1j160143.13 (V)CUIC ( )4 2 cos(500053.13 )(A)i tt如图如图RLC串联电

8、路。串联电路。R=15 ，L=12mH，C=5 F，端电压，端电压 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。求：。求：i 和各元件的电压相量。和各元件的电压相量。9.2 9.2 电路的相量图电路的相量图一、相量图一、相量图 相关的电压和电流相量在复平面上组成。相关的电压和电流相量在复平面上组成。在相量图上，除了按比例反映各相量的模外，在相量图上，除了按比例反映各相量的模外，最重要的是确定各相量的相位关系。最重要的是确定各相量的相位关系。二、相量图的画法二、相量图的画法 选择某一相量作为参考相量，而其他有选择某一相量作为参考相量，而其他有关相量就根据它来加以确定。参考相量的初关相量就根

9、据它来加以确定。参考相量的初相可取为零，也可取其他值，视不同情况而相可取为零，也可取其他值，视不同情况而定。定。1、串联电路、串联电路 取电流为参考相量，从而确定各元件的电压取电流为参考相量，从而确定各元件的电压相量；表达相量；表达KVL的各电压相量可按向量求和的方的各电压相量可按向量求和的方法作出。法作出。2、并联电路、并联电路 取电压为参考相量，从而确定各元件的电流取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量；表达相量；表达KCL的各电流相量可按向量求和的方的各电流相量可按向量求和的方法作出。法作出。3、串并联电路、串并联电路 从局部开始从局部开始453.13 (A)I 24036.87 (

10、V)LU160143.13 (V)CURUIUCULUCLUU53.1以上一节中例题为例以上一节中例题为例6053.13 (V)RU 1000 (V)U V1V2V1读数为读数为10V，V2读数为读数为10V，V0的读数为？的读数为？V01U+ -2U+ -IV0的读数为的读数为 14.14 VI1U2U0U+ +- -0U例例下图中已知：下图中已知：I1=10A、UAB =100V，求：求： A 、UO 的读数的读数解题方法有两种：解题方法有两种： 1.利用复数进行相量运算利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果利用相量图求结果AAB C25 j5UOC1j101I2II解法解法1:利用复数

11、进行相量运算利用复数进行相量运算已知：已知： I1=10A、 UAB =100V，则：则：210010245 A5j5I 11090j10 AI A01021IIIA读数为读数为 10安安求：求：A、UO的读数的读数即：即：AB1000 VU设：设：为参考相量，为参考相量，ABUAAB C25 j5UOC1j101I2II1210 0 AIII1(j10)j100 VCUI 1j100100100245 VoCABUUU Uo读数为读数为141伏伏求：求：A、UO的读数的读数已知：已知： I1=10A、 UAB =100V，AAB C25 j5UOC1j101I2II解法解法2: 利用相量图求

12、解利用相量图求解设：设：V0100ABUABU2I45由已知由已知条件得：条件得：10A1I、领先、领先 901I2IA21055100222IABU 45落后于落后于I=10 A、 UO =141V由图得：由图得：21IIIABCoUUU1求：求：A、UO的读数的读数已知已知: I1=10A, UAB=100V，UC1=I10=100VuC1落后于落后于 i 901CUOUIBj5UOAA C25 C1j101I2II9.3 9.3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、阻抗、导纳和阻抗、导纳和KCL、KVL的相量

13、形式，它们在形的相量形式，它们在形式上与线性电阻电路相似。式上与线性电阻电路相似。0i0u0I0URiu Gui IZUUYI对于电阻电路有：对于电阻电路有：对于正弦电流电路有：对于正弦电流电路有： 用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析。分析。 差别差别仅在于所得电路方程为以仅在于所得电路方程为以相量形式相量形式表示表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为计算则为复数运算复数运算。例：电路中的独立电源全都是同频正

14、弦量。试列例：电路中的独立电源全都是同频正弦量。试列出该电路的出该电路的结点电压结点电压方程和方程和回路电流回路电流方程。方程。1Z2Z3Z4Z5Z1SU3SU5SI12解：电路的结点电压方程为解：电路的结点电压方程为1nU2nU1nU2nU)(321YYY3Y- -11SUY33SUY+3Y- -)(543YYY+)(43YY 33SUY5SI- -+1Z2Z3Z4Z5Z1SU3SU5SI网孔电流方程网孔电流方程1 lI2lI3lI1lI1lI2lI2lI3lI3lI)(21ZZ 2Z- -+ 01SU+2Z- - - - -)(432ZZZ+4Z3SU3lI5SI9.4 9.4 正弦稳态电

15、路的功率正弦稳态电路的功率一、瞬时功率一、瞬时功率N+u- -i一端口内部不含独立电一端口内部不含独立电源，仅含电阻、电感和源，仅含电阻、电感和电容等无源元件。电容等无源元件。它吸收的瞬时功率它吸收的瞬时功率 p 等于电压等于电压 u 和电流和电流 i 的乘积的乘积p =u i在正弦稳态情况下，设在正弦稳态情况下，设)cos(2utUu)cos(2itIi瞬时功率瞬时功率p = )cos(2utU)cos(2itI)2cos()cos(iuiutUIUIiu令令为电压和电流之间的相位差为电压和电流之间的相位差)2cos(cosiutUIUIp瞬时功率有两个分量：瞬时功率有两个分量：第一个为第一

16、个为恒定恒定分量，第二个为分量，第二个为正弦正弦分量。分量。coscos(2)coscos(22)coscos(22)cossin(22)sincos 1cos(22)sin(22)sinuiuuuuupUIUItUIUItUIUIttUItUItcos 1cos2()sinsin2()uupUItUIt第一项是第一项是不可逆不可逆部分部分(0)；第二项是第二项是可逆可逆部分，说明能量在外施电源与一端部分，说明能量在外施电源与一端口之间来回交换。口之间来回交换。二、平均功率二、平均功率又称又称有功功率有功功率，是指瞬时功率在一个周期内的平均值。，是指瞬时功率在一个周期内的平均值。01dTPp

17、tT01coscos(2)dTuiUIttTcosUI功率因数功率因数cos单位：瓦（单位：瓦（W）电阻电阻R0=122GURIUIPR电感电感L 90=00LP电容电容C 90=00CP定义：定义：电路中消耗平均功率的电路中消耗平均功率的只是电阻元件。只是电阻元件。Z=3+j4 UU10 /30 V计算负载计算负载Z所消耗的有功功率所消耗的有功功率P = 102/5P = 102/3I = 10 / |Z| = 2AP = UIcos =222520WPIR222312WPIR 10 2 cos53.112W 三、无功功率三、无功功率defsinQU I反映了内部与外部往返交换能量的情况。反

18、映了内部与外部往返交换能量的情况。单位：乏（单位：乏（Var)电阻电阻R00RQ电感电感L 90LULIUIQL22电容电容C 90221CUICUIQC四、视在功率四、视在功率defSU I电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。单位：伏安（单位：伏安（VA）有功功率有功功率P、无功功率、无功功率Q和视在功率和视在功率S存在下列关系：存在下列关系：cosSP sinQS22QPS)arctan(PQ例：如图所示为例：如图所示为测量电感线圈测量电感线圈R、L的实验电路的实验电路,已已知电压表的读数为知电压表的读数为50V,电流表的读数为电流表的读数为1A

19、,功率表功率表读数为读数为30W,电源的频率电源的频率f =50Hz,试求试求R、L之值。之值。解：可先求得线圈的阻抗解：可先求得线圈的阻抗/jZZRLIUZ =5030cosUI13.53解得：解得： 13.53/50Z=30 + j40R = 30 40L= 127 mH另一种解法另一种解法302RIR = 30 223050 L22)( LRZ而而故可求得：故可求得：= 40 = 2f = 314 rad/s9.5 9.5 复功率复功率一、复功率一、复功率设一个一端口的电压相量为设一个一端口的电压相量为 ，电流相量为，电流相量为 ，UIdef*SU I iuUI/cosjsinUIUI=

20、 P + jQ复功率定义为复功率定义为*I的共轭复数是式中I二、有功分量和无功分量二、有功分量和无功分量一个不含独立电源的一端口可以用等效阻抗一个不含独立电源的一端口可以用等效阻抗Z表示。表示。UaUrUIeRjeXUaUrUI相量图相量图的有功分量同相称为与电流UIUacosUUaIUUIPacos而有功功率UaUrUI的无功分量称为正交与UIUr,sinUUr复功率可写为复功率可写为* SU I * I Z IZI2 jeeZRX其中其中UaUrUIIUUIQrsin而无功功率可以证明可以证明正弦电流电路中总的有功功率正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和，是电路各部分有功功率

21、之和，总的无功功率是电路各部分无功功率之和，总的无功功率是电路各部分无功功率之和，即有功功率和无功功率分别守恒。即有功功率和无功功率分别守恒。电路中的复功率也守恒，电路中的复功率也守恒，但视在功率不守恒。但视在功率不守恒。三、功率因数的提高三、功率因数的提高cosUIP cos是电路的功率因数。是电路的功率因数。 电压与电流间的相位差或电路的功率因数电压与电流间的相位差或电路的功率因数决定于电路（负载）决定于电路（负载）的参数。的参数。 只有在电阻负载的情况下，电压和电流才只有在电阻负载的情况下，电压和电流才同相，其功率因数为同相，其功率因数为1。 对于其它负载来说，其功率因数均介于对于其它负

22、载来说，其功率因数均介于0与与1之间。之间。40W白炽灯白炽灯 cos140W日光灯日光灯 cos0.5A364. 05 . 022040cosUPI发电与供电发电与供电设备的容量设备的容量要求较大要求较大A182.022040UPIcosUIP 例：例：如果电源的额定电流是如果电源的额定电流是36.4A，白炽灯可以接白炽灯可以接200个；个；日光灯只能接日光灯只能接100个。个。 功率因数不等于功率因数不等于1时，电路中发生时，电路中发生能量互换能量互换，出现无功功率。这样引起下面两个问题：出现无功功率。这样引起下面两个问题：1、发电设备的容量不能充分利用、发电设备的容量不能充分利用2、增加

23、线路和发电机绕组的功率、增加线路和发电机绕组的功率损耗损耗提高功率因数的意义提高功率因数的意义RjLU电感性负载并联电容器。电感性负载并联电容器。1j CI1I2IU1I2II1)(2I)(IO2jICU提高功率因数的常用方法：提高功率因数的常用方法：补偿容补偿容量不同量不同全全不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加, 经济效果不明显经济效果不明显)欠欠过过使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同)U1I2II1O2I2jIC UCUI2UIC2并联电容并联电容C的计算的计算11sinIsinI 提高功率因数，是指提高提高功率因数，是指提高电源或电网电源或电网的功的功

24、率因数，而率因数，而不是不是指提高某个指提高某个电感性负载电感性负载的功率的功率因数。因数。 并联电容后并并联电容后并不改变不改变原负载的工作状况，原负载的工作状况， 所以电路的有功功率并没有改变，只是所以电路的有功功率并没有改变，只是改改变变了电路的了电路的无功无功功率，从而使功率因数得到提功率，从而使功率因数得到提高。高。提高功率因数的含义提高功率因数的含义例：正弦电压为例：正弦电压为50Hz，380V，感性负载吸收的功率，感性负载吸收的功率为为20kW，功率因数，功率因数0.6。若使电路的功率因数提高。若使电路的功率因数提高到到0.9，求在负载的两端并接的电容值。，求在负载的两端并接的电容值。11cosUIP A72.871I6 . 0cos113.531cosUIP I = 58.48 A9 . 0cos84.25U1I2II1ORjLU1jCI1I2I例：正弦电压为例：正弦电压为50Hz，380V，感性负载吸收的功率为，感性负载吸收的功率为20kW，功率因数功率因数0.6。若使电