冲击波第四讲

1、2.4 雨贡纽曲线及瑞利曲线雨贡纽曲线及瑞利曲线n冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本性质。性质。n为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即u0=0，这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨论结果的普遍意义。论结果的普遍意义。n瑞利直线是瑞利直线是(2.6)式，可写为式，可写为 （2.43） 20020()Dppn雨贡纽关系式的一般雨贡纽关系式的一般形式

2、是形式是 （2.44）000001,2epepppn对于理想气体，它是对于理想气体，它是(2.13)式，即式，即 （2.45）n对取实用状态方程对取实用状态方程(2.30)式的凝聚介质，式的凝聚介质，它是它是(2.31)式，即式，即 （2.46）其中其中 。0001111pp0*0211pp2*00pcn再则，再则，(2.45)式及式及(2.46)式都表明，沿雨贡纽曲式都表明，沿雨贡纽曲线压力线压力p可以由可以由0变到变到，而比容，而比容则只能在则只能在max与与min之间变化，之间变化，n对于理想气体相应对于理想气体相应p=0及及p=有有n对于凝聚介质对于凝聚介质max011min011ma

3、x0min011n关于曲线的形状，由关于曲线的形状，由(2.45)式及式及(2.46)式都看出，理想式都看出，理想气体和凝聚介质的雨贡纽关气体和凝聚介质的雨贡纽关系式都有系式都有 （2.47）n对大多数介质，都假设对大多数介质，都假设其状态方程其状态方程p=g(，S)具有如下性质：具有如下性质： （2.48） 2200dpdd pd000Sggg瑞利直线上熵的变化瑞利直线上熵的变化n定理一定理一 若介质的状态方程若介质的状态方程p=g(，S)满足条件满足条件(2.48)式，则沿瑞利直线熵式，则沿瑞利直线熵S最多只有一个极大值。最多只有一个极大值。n现将瑞利直线的方程现将瑞利直线的方程(2.43

4、)写为写为 (2.49)n其中斜率其中斜率 ，对于给定的直线它是一个常数，对于给定的直线它是一个常数，沿直线微分，得沿直线微分，得 。考虑到沿直线还满足状。考虑到沿直线还满足状态方程态方程p=g(，S)，于是，于是n由此得由此得dpd 00pp Sg dg dSd SgdSdg220D n再作一次微商，得再作一次微商，得 （2.50）n若假设沿直线若假设沿直线(2.49)式式)熵有极值，则应有熵有极值，则应有n而由而由(2.50)式且考虑到条件式且考虑到条件(2.48)式，这时有式，这时有 （2.51）n这就是说，若这就是说，若S有极值，则是极大值。由此也同时得知，有极值，则是极大值。由此也同

5、时得知，沿该直线沿该直线S不可能是常数。现在假设沿该直线不可能是常数。现在假设沿该直线S有两个以有两个以上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值，上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值，但是，由但是，由(2.51)式知道，所有的熵的极值都是极大值，所式知道，所有的熵的极值都是极大值，所以，沿瑞利直线熵以，沿瑞利直线熵S最多只能有一个极大值。定理一证完。最多只能有一个极大值。定理一证完。2222SSSSSSgggd SdSdSdggdgd 0dSd220Sgd Sdg 瑞利直线上雨贡纽函数的变化瑞利直线上雨贡纽函数的变化n定理二定理二 瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的

6、极瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的极值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的极值点。极值点。n下列函数称为雨贡纽函数：下列函数称为雨贡纽函数： （2.52）n显然，显然，H(，p)=0就是雨贡纽曲线。就是雨贡纽曲线。 0001,2Hpeeppn现对（现对（2.52）式求微分，得）式求微分，得 （2.53）n考虑到考虑到de=TdSpd，(2.53)式化为式化为 (2.54)n因为沿直线因为沿直线(2.49)式有式有(0)dp(pp0)d=0，所以沿该直线有，所以沿该直线有 dH=TdSn可见，在该直线上当可见，在该直线上当dS=0时，就

7、有时，就有dH=0，反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵S的极的极值点与雨贡纽函数值点与雨贡纽函数H的极值点相重合。的极值点相重合。001122dHdedpppd0012dHTdSdpppdn定理三定理三 若状态方程满足条件若状态方程满足条件(2.48)式，式，则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有一个极值点。一个极值点。n这实际上是以上两个定理的推论。因为这实际上是以上两个定理的推论。因为沿瑞利直线沿瑞利直线S与与H的极值点重合，而的极值点重合，而S的的极值点最多只有一个，所以极值点最多只有一个，所以H的极值点的极值点也最多只能有一个

8、。也最多只能有一个。冲击波解的确定性冲击波解的确定性n要证明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点要证明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点除初始点除初始点(0，p0)之外只有一个。之外只有一个。n现假设现假设R直线与直线与H曲线的交点超过两点，曲线的交点超过两点，即出现如图即出现如图(a)所示的情况，则沿所示的情况，则沿R直线直线函数函数H的变化至少要出现两个以上极值，的变化至少要出现两个以上极值，这与定理三矛盾。因此，这与定理三矛盾。因此，R直线与直线与H曲线曲线相交的图像只能是如图相交的图像只能是如图(b)所示的情况，所示的情况，即交点最多只能有两个，一个是波前的即交点最多只能有两个，一个是波前的“0”状

9、态，另一个就是波后状态。状态，另一个就是波后状态。瑞利直线（波速线）的物理意瑞利直线（波速线）的物理意义义波速线是一定波速的冲击波传过具有同一波速线是一定波速的冲击波传过具有同一初始状态初始状态 (p0, v0)的不同介质所达到的的不同介质所达到的终点状态的连线。终点状态的连线。雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意义义冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速冲击波传过同一初始状态点冲击波传过同一初始状态点(p0, v0)的同的同一介质所达到的终点状态的连线。一介质所达到的终点状态的连线。雨贡纽曲线与等熵线的关系雨贡纽曲线与等熵线的关系

10、 n首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初始点处二阶相切。始点处二阶相切。n同前同前H(，p)=0或或p=G()表示雨贡纽曲线，而等熵表示雨贡纽曲线，而等熵线为线为p=g(，S0)，其中熵，其中熵S=S0为常数。为常数。n由状态方程由状态方程p=g(，S)可得可得S=S(，p)，于是沿雨贡，于是沿雨贡纽曲线有纽曲线有S=S(，G()=S()，即熵只是，即熵只是的函数。的函数。所以，对雨贡纽曲线有所以，对雨贡纽曲线有 ,pGgSn对此式求微商，得对此式求微商，得n在初始点在初始点(0，p0)处有处有 ，于是得到，于是得到n这就证明了，雨贡纽曲

11、线这就证明了，雨贡纽曲线p=G()与等熵线与等熵线p=g(，S0)在在点点(0，p0)处二阶相切，图处二阶相切，图4.3中的曲线中的曲线S就代表过点就代表过点(0，p0)的等熵线。的等熵线。 SdGgg Sd 2222SSSSd Ggg Sg Sg Sd000SS00020002,dGgSdd GgSdn对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线（2.45）式求微商，得）式求微商，得n于是，在点于是，在点(0，p0)处有处有n这与理想气体的等熵线这与理想气体的等熵线p=A(S)在该点的一阶、二阶微在该点的一阶、二阶微商完全相等。商完全相

12、等。0020411pdpd 2003208111pd pd 000dppd 2020021d ppd n对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是(2.46)式，求微商得式，求微商得n凝聚介质的等熵线是凝聚介质的等熵线是 ，它的微商为，它的微商为 n在在(0，p0)点以上两曲线的相应微商相等。点以上两曲线的相应微商相等。 2020411cdpd 2203208111cd pd 20 0pA Sc22dpcd 22231d pcdn现在来看等熵线在(，p)平面上的分布情况。根据(2.48)式的前两点性质可知，等熵线也是单调向上凹的。又根据gS0得知，若S1S0，则对相同的值有，即熵

13、值大的等熵线在上方。所以，不同熵值的等熵线的分布如图4.5所示。n下节将证明，沿雨贡纽曲线熵随的减小而增加，即 ，又已知H=0与p=g(，S0)两曲线在(0，p0)处相切，所以曲线H=0位于等熵线p=g(，S0)的上方。n由于沿雨贡纽曲线 有n而根据条件(2.48)式有g0，所以当 时，有 （2.55）n并且 或 （2.56）n这说明雨贡纽曲线比等熵线陡，故雨贡纽曲线是自下而上与等熵线S=S (，p)S0相交。后一个不等式还可写为n这说明物质的等熵压缩率大于冲击压缩率。0HdS d ,pGgS0HdS dSHHdpdSggdd0HdpdHdpgd,HgSdpd ,Hp Sdpdp 二次冲击波的

14、雨贡纽曲线二次冲击波的雨贡纽曲线n设介质中通过第一个冲击波之后，接着又出现第二个设介质中通过第一个冲击波之后，接着又出现第二个冲击波。若第一个冲击波把介质的初始状态冲击波。若第一个冲击波把介质的初始状态(0，p0)变到了变到了(1，p1)，则状态，则状态(1，p1)就是第二冲击波的就是第二冲击波的波前状态。这两个冲击波的雨贡纽曲线是不重合的。波前状态。这两个冲击波的雨贡纽曲线是不重合的。n事实上，第一个冲击波的雨贡纽曲线H0(，p)=0是以点A(0，p0)为起点的(图4.6)，而第二冲击波的雨贡纽曲线H1(，p)=0的起点则是B(1，p1)。因为在点B(1，p1)处曲线H0是与等熵线S1即p=

15、g(，S1)相交，而曲线H1则是与该等熵线二阶相切，所以曲线H0与H1不可能重合。n因为点因为点B(1，p1)处的熵值处的熵值S1大于点大于点A(0，p0)处的熵处的熵值值S0，所以等熵线，所以等熵线S1位于等熵线位于等熵线S0的上方。对于曲线的上方。对于曲线H0，根据，根据(2.56)式在点式在点B处有处有 ；而；而对曲线对曲线H1来说，在该点则有来说，在该点则有 。因此，。因此，在点在点B处有处有n注意到这两者都是负值，所以曲线注意到这两者都是负值，所以曲线H0比比H 1陡，即第二陡，即第二冲击波的雨贡纽曲线冲击波的雨贡纽曲线H1在第一冲击波的雨贡纽曲线在第一冲击波的雨贡纽曲线H0的下方的

16、下方.11,HgSdp d11,HgSdp d10HHdpdpdd2.5 冲击波基本性质冲击波基本性质(1)穿过冲击波时，压力、密度等各量的变化，穿过冲击波时，压力、密度等各量的变化，与它们在可逆绝热过程中的相应变化之差，乃与它们在可逆绝热过程中的相应变化之差，乃是冲击波强度的三阶以上项。是冲击波强度的三阶以上项。n这里对两种过程作比较，指的是它们的初始状这里对两种过程作比较，指的是它们的初始状态相同，且变化后它们的量中有一个量的终态态相同，且变化后它们的量中有一个量的终态值也是相同的，比如说两种过程最终都变化到值也是相同的，比如说两种过程最终都变化到相同的密度值。相同的密度值。n2.4节证明

17、了，在初始点节证明了，在初始点(0，p0)处等熵线与处等熵线与雨贡纽曲线二阶相切，这实际上就证明了上述雨贡纽曲线二阶相切，这实际上就证明了上述性质性质。n(2)穿过冲击波时，熵的增量是冲击波强度的三阶量。穿过冲击波时，熵的增量是冲击波强度的三阶量。n现沿雨贡纽曲线微分三次，得现沿雨贡纽曲线微分三次，得 n在点在点(0，p0)处有即处有即dS=d2S =0，于是在该点有，于是在该点有 （2.57）n因在点因在点(0，p0)处有处有 ，所以（，所以（2.57）式）式给出给出 （2.58）n并且，当并且，当d0 （2.59）n这就证明了，熵是增加的，且其增量是冲击波强度的三阶这就证明了，熵是增加的，

18、且其增量是冲击波强度的三阶量。量。32102Td Sd d p2220d pd Gg d322230112022Td SdTd Sd TdSd d pd p33Td Sd （2.61）n或或 （2.62）2300201 112SSSppTp2300201 112SpSSTn(3)冲击波是压缩冲击波，即通过冲击波时压力和密度将冲击波是压缩冲击波，即通过冲击波时压力和密度将增加。增加。n因为冲击波是不可逆过程，所以通过冲击波时因为冲击波是不可逆过程，所以通过冲击波时SS00，于是由于是由(2.57)式或者式或者(2.62)式看出，只要沿雨贡纽曲线式看出，只要沿雨贡纽曲线在在(0，p0)点有点有 ，

19、则在该点就有，则在该点就有d 0，即穿过冲击波时密度下降，即穿过冲击波时密度下降，也就是产生所谓的稀疏冲击波。也就是产生所谓的稀疏冲击波。n以上结果说明，对于满足条件以上结果说明，对于满足条件(2.47)式或者式或者(2.48)式的式的介质，若沿雨贡纽曲线介质，若沿雨贡纽曲线dS0(即一定是即一定是dS0)，则必定，则必定有有dc0)，相对波，相对波后是亚声速后是亚声速(Du0。n根据根据(2.63)式知，在式知，在(0，p0)处有处有 ，于是得，于是得 Du0c0n而由（而由（2.64）式得，在）式得，在(1，p1)处有处有 ，略，略去下标去下标“1”，则得，则得 Duc0。 0022220

20、00000limSppppdpDucd冲击波波后能量的分配 n在在(，p)平面上我们可平面上我们可以清楚而直观地看出冲以清楚而直观地看出冲击波后动能和内能的大击波后动能和内能的大小。在图小。在图4.7中中H是雨贡是雨贡纽曲线，纽曲线，S是等熵线。当是等熵线。当冲击波把介质由其初始冲击波把介质由其初始状态状态A(0，p0)压缩到状压缩到状态态B(1，p1)时，介质的时，介质的比内能将增加为比内能将增加为n这在这在(，p)平面上对应平面上对应梯形梯形MABN的面积的面积(图图4.7中画水平线的部分中画水平线的部分)。10100112eeppn 若将介质绝热压缩到与上同样若将介质绝热压缩到与上同样的

21、比容的比容1，则此时比内能的增，则此时比内能的增加为加为n(保持熵保持熵S不变求积分不变求积分)，这在图，这在图4.7中对应面积中对应面积MAQN，即画垂，即画垂直线的部分。直线的部分。n 由上看到，当用不同的方式由上看到，当用不同的方式将一种介质压缩到相同的比容将一种介质压缩到相同的比容1时，冲击压缩所消耗的能量时，冲击压缩所消耗的能量要比绝热压缩消耗的多，其多要比绝热压缩消耗的多，其多出的这部分能量在图出的这部分能量在图4.7中对应中对应只画有水平线的只画有水平线的ABQ面积。面积。1010eepd n显然，这是保持比容显然，这是保持比容1不变而通过加热把介质不变而通过加热把介质压力从点压

22、力从点Q提高到点提高到点B处处p1值所消耗的热能。由值所消耗的热能。由热力学第一定律热力学第一定律de=TdSpd知，这部知，这部分能量为分能量为n这里这里 是线段是线段QB上的某上的某一平均温度。一平均温度。1110eeTdST SSTn冲击波波后介质获得冲击波波后介质获得的比动能为的比动能为n这在数值上等于图这在数值上等于图4.7中三角形中三角形ABC的面积。的面积。n所以，冲击压缩后介所以，冲击压缩后介质获得的总能为质获得的总能为n这对应图中矩形这对应图中矩形MCBN的面积。的面积。2101001122uupp2101010112eeuupn同时看到，受冲击之后介质的内能始终大于动能，超

23、出的部分是n对于强冲击波，p1p0，则由雨贡纽关系得n即内能近似等于动能，也就是说介质受强冲击后所获得的总能平均分配为内能和动能。由图4.7看出，原先内能多于动能的部分p0 (01)，主要是用于绝热压缩。现在当p1无限增大时，而1却是趋于有限值，所以用于绝热压缩的这部分能量总是有限的。于是，随着p1的增加，它在总能中所占的比例就越来越小，甚至可忽略不计。因此，可以认为，在强冲击波中几乎有一半能量是消耗于加热介质。2101000112eeuup210101101122eepuu2.6 冲击波熵增及耗散过程（略）冲击波熵增及耗散过程（略）n穿过冲击波时熵将增加，这一事实表明，在冲穿过冲击波时熵将增

24、加，这一事实表明，在冲击波波面上经历着耗散过程，各种耗散效应致击波波面上经历着耗散过程，各种耗散效应致使冲击波上出现熵增。但如前所述，决定这熵使冲击波上出现熵增。但如前所述，决定这熵增值本身大小的，是三个守恒定律。所以，如增值本身大小的，是三个守恒定律。所以，如果我们只关心冲击波上熵增的最终值，则根据果我们只关心冲击波上熵增的最终值，则根据三个冲击波关系式及具体介质的状态方程就足三个冲击波关系式及具体介质的状态方程就足以确定，而无需涉及耗散过程。然而实际的冲以确定，而无需涉及耗散过程。然而实际的冲击波是有宽度的，在其间介质经历剧烈的运动，击波是有宽度的，在其间介质经历剧烈的运动，为了进一步了解

25、冲击波现象，特别是冲击波的为了进一步了解冲击波现象，特别是冲击波的结构，就需要研究耗散作用过程。结构，就需要研究耗散作用过程。2.7 弱冲击波的声学近似弱冲击波的声学近似n下面将要证明，对于强度不大的冲击波，可以用简单下面将要证明，对于强度不大的冲击波，可以用简单波的连续过渡来近似替代冲击波的不连续过渡。这就波的连续过渡来近似替代冲击波的不连续过渡。这就是所谓的弱冲击波的声学近似，或弱冲击波近似。是所谓的弱冲击波的声学近似，或弱冲击波近似。 弱冲击波上的黎曼不变量弱冲击波上的黎曼不变量n现在证明：穿过弱冲击波时黎曼不变量的变化是冲击现在证明：穿过弱冲击波时黎曼不变量的变化是冲击波强度的三阶量。

26、波强度的三阶量。n已知在穿过冲击波时熵的变化是冲击波强度的三阶量，已知在穿过冲击波时熵的变化是冲击波强度的三阶量，所以，在弱冲击波情况下，可以把冲击波过渡近似地所以，在弱冲击波情况下，可以把冲击波过渡近似地视为等熵过程，于是在弱冲击波上黎曼不变量的定义视为等熵过程，于是在弱冲击波上黎曼不变量的定义 是有确定意义的。是有确定意义的。n冲击波有关系式冲击波有关系式 (2.65)n对此式微分两次，并以对此式微分两次，并以为自变量，然后代入为自变量，然后代入p=p0，=0，u=u0，就得冲击波在初始点处的微分关系，就得冲击波在初始点处的微分关系 (2.66)udpc2000uupp2dudpd n因雨贡