第5章误差理论

1、491492一、测量误差产生的原因493494495 钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。 偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。 偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观

2、测。496（四）误差处理原则497系统误差系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。iilX 498l1, l2, ln1,2,n分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。499 4910误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.

3、059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810004911d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0limlimn21nnnn特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限

4、缩小无限缩小( (d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分高斯误差分布曲线布曲线”。所以偶然误差所以偶然误差具有具有正态分布正态分布的特性。的特性。图6-1 误差统计直方图491322221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：4914nnm2n2221按观测值的改正值计算中误差4915m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1

5、m1m2m212m1m2+-22 114916二、相对中误差 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 K2K1，所以距离所以距离S2精度较高精度较高。例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。计算计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：

6、根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|4919一、算术平均值nlnlllnlniixn211x 算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然

7、值nn2211lXlXlX4920Xlim0limnlnnnnlXn根据偶然误差特性：Xnlx将上列等式相加，并除以n,得到：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值) v :4921n)1(ilxvii0lxnvvimin)(2lxvvnlxlx, 0)(取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。0)(2lxxdxvvd5-4 观测值的精度评定49221112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,两式取总和1nvvn1nvvm4923nllx01nvvm4924 次序观测值l(m)l(cm)改正值

8、v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017 (m)观测值中误差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。4925iilX nmilxivnlolx1nvvm真误差：解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正

9、数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差：例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VV V备注17642492764240376424247642465764248平均98315601 .nVVm-4-4+5+5+3+3-1-1-3-3764245V=0161625259 91 19 9VV=60距离丈量精度计算例算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ；xxm 5-5 误差传播定律4928n21dddD

10、.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4929 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPbaaPddbdbaa bP4930)1(,Piniabbiai nabnanbnbabbaaPP222, 0limnbannanbnbbaaPP22222222222,baPbaPmambmmambm49312222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4932iikxZnnxkxkxkZ 2211按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnm

11、nm 4933)1(nnvvnmmx对某观测量进行多次观测对某观测量进行多次观测(多余观测多余观测)取平均，取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。是提高观测成果精度最有效的方法。nkxZ xkmzm4934m1.0)mm2.0(500m35.67mm7.134500DmD0m1 . 0m35.67D4935yxzyxz222yxzmmm大气仪器读数瞄准对中方向22222大气仪器读数瞄准对中方向mmmmmm第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作 为自变量

12、。如果观测值之间是相关的，则得到 的结果将是不严格的。4936),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 函数式：函数中误差：观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX5-6 误差传播定律的应用493822220NnfCNSffSnnSnfCSdd

13、d4d0493922222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS49405 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多边形水平角观测角度闭合差的规定 多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：4941180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 12

14、3=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：3 . 435 . 7m测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm4943mm4 . 12 mmhmm22hhmm4944)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04945Lmmoh水准测量等级 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4946s

15、in,cosDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4947222222222222)(sin)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49482iimCP ioiioiPmmmmP1,224949nPnmmnn测回）测回()(, 又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差，则L(km)高差测量中误差及其权为：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(4950212211ppLpppLpLpLpxnnnPLPLxo4951nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,PPPmmxox495222ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式总和，并处以n，得到:nPmmnPmmo22nPmo1nPvvmo4953组号测回数各组平均值 LL权 P PL改正值 V Pv1232464024124024184024241218