第一章波函数与Schr

1、第一章第一章 波函数与波函数与SchrdingerSchrdinger方程方程1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 3 Schrdinger 方程方程4 量子态叠加原理量子态叠加原理1 波函数的统计解释波函数的统计解释 一一. . 实物粒子的波粒二象性（实物粒子的波粒二象性（Wave-particle dualityWave-particle duality） 19231923年，在爱因斯坦光子理论的启发下，德布年，在爱因斯坦光子理论的启发下，德布罗意提出一切实物粒子（如电子等）均具有波粒二罗意提出一切实物粒子（如电子等）均具有波粒二象

2、性，即实物粒子都伴随着一种波，称为象性，即实物粒子都伴随着一种波，称为德布罗意德布罗意波波或或物质波物质波（matter wavematter wave）：）：; hEph; pkE等等 价价（ 德布罗意德布罗意- -爱因斯坦公式爱因斯坦公式） 粒子的物质波波长粒子的物质波波长p、E 粒子的动量和能量粒子的动量和能量50 (18050 )/265 0.091nm d 0.165 nm 2 sindk 布拉格公式：布拉格公式： 微粒波动性的实验证实微粒波动性的实验证实1 1 戴维孙戴维孙- -革末实验（革末实验（19271927）54VU 当自由粒子速度较小时当自由粒子速度较小时 Ek E0 ，

3、按牛顿力学处理，按牛顿力学处理hp 02khm E如果电子经过加速电场获得动能如果电子经过加速电场获得动能kEeU2hmeU 1.23nmU当当U54V时时1.2354 0.167nm 可见，由德布罗意关系给出的电子波波长的理论可见，由德布罗意关系给出的电子波波长的理论值与实验结果吻合。值与实验结果吻合。 微粒波动性的实验证实微粒波动性的实验证实2 C2 C6060分子束光栅衍射实验（分子束光栅衍射实验（19991999）（a） C60分子束光栅衍射实验装置分子束光栅衍射实验装置(M. Arndt, et al., Nature,Vol.401, P680,1999)每每 秒秒 计计 数数每每

4、 50 秒秒 计计 数数(b) 实验结果实验结果图，圆圈代表图，圆圈代表C60 分子的计分子的计数，其中数，其中b 图图是无光栅时的是无光栅时的结果。结果。（c）简化分析：）简化分析：C60分子的双缝衍射示意图分子的双缝衍射示意图 粒子性和波动性是一对矛盾的属性，微观粒子的性质由这对彼此对立，但又相互补充的矛盾属性完全描述互补原理（Complementarity principleComplementarity principle）“波粒二象性是辐射（波粒二象性是辐射（radiationradiation）和实物粒子）和实物粒子（material particlematerial partic

5、le）都具有的内禀的和不可避免）都具有的内禀的和不可避免的性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各的性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各自有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物自有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物粒子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描粒子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描绘中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完绘中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完整的说明。整的说明。” * * * N.N.玻尔玻尔19271927直线运动的自由粒子波包直线运动的自由粒子波包二二. . 粒子波动性的两种错误看法粒子波动性的两种错误看法l观

6、点：观点：波包即粒子波包即粒子 薛定谔将德布罗意的位相波理解为像电磁场E和B那样的“物质波物质波”，代表一种真实的物理波动。波动就是一切，粒子不过是波的聚集，称之为“波群”，也即后来所说的“波包波包”，波包的大小即粒子大小，群速度即粒波包的大小即粒子大小，群速度即粒子速度子速度。 l什么是波包？什么是波包？单色平面波通常不存在，而实际的单色平面波通常不存在，而实际的波可则展开为各种波长平面波的迭加，称为波包。波可则展开为各种波长平面波的迭加，称为波包。(1) (1) 粒子由波组成粒子由波组成“波包论波包论”( (薛定谔薛定谔) )l 困难之处困难之处 理论分析表明，随传播时间的推移，自由粒子的

7、理论分析表明，随传播时间的推移，自由粒子的物质波波包会不断的扩散，粒子将变得越来越物质波波包会不断的扩散，粒子将变得越来越“胖胖”，因此粒子的结构是不稳定的。因此粒子的结构是不稳定的。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 与实验事实相矛盾！与实验事实相矛盾！物质波包的观点夸大了波动性，抹杀了粒子性，物质波包的观点夸大了波动性，抹杀了粒子性，带有片面性。其核心是将量子的波看成经典的波带有片面性。其核心是将量子的波看成经典的波(2) (2) 波由粒子组成波由粒子组

8、成如如声波声波，是介质分子（粒子）密度疏密变化而形，是介质分子（粒子）密度疏密变化而形成的一种分布。成的一种分布。观点：电子的波动性是由于大量的电子分布于空观点：电子的波动性是由于大量的电子分布于空间而形成的疏密波。间而形成的疏密波。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。其核其核心仍是将量子的粒子看成经典的粒子。心仍是将量子的粒子看成经典的粒子。这种看法是这种看法是与实验矛盾与实验矛盾的，它不能解释长时间的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。单个电子衍射实验。电子双缝实验电子

9、双缝实验单个电子多次重复性行为单个电子多次重复性行为单个电子显示出波动性！单个电子显示出波动性！电子究竟是什么东西呢？是粒子？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？还是波？“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是 经典的粒子也不是经典的波.我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典粒子和量子论中的粒子的差别？经典粒子和量子论中的粒子的差别？经典的波和量子的波经典的波和量子的波( (物质波物质波) )的区别？的区别？核心问题核心问题：经典概念中粒子意味着经典概念中粒子意味着：1. 1. 有一定质量、电荷等有一

10、定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”或或“原子性原子性”的的属性属性; ; 2 2有确定的运动有确定的运动轨道轨道，可以准确预言每一时刻的位，可以准确预言每一时刻的位置和速度（动量），是置和速度（动量），是决定性的描述决定性的描述。经典概念中波意味着经典概念中波意味着：1.1.实在物理量的空间分布作周期性的变化实在物理量的空间分布作周期性的变化; ; 2.2.干涉、衍射现象，其本质在于干涉、衍射现象，其本质在于相干叠加性相干叠加性。量子世界中的粒子量子世界中的粒子：1. 1. 有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”或或“原子性原子性”的的属性属性; ; 2 2有确定的运动有确定的运动轨

11、道轨道，可以准确预言每一时刻的位，可以准确预言每一时刻的位置和速度（动量），是置和速度（动量），是决定性的描述决定性的描述。（。（ ）量子世界中的波（物质波）量子世界中的波（物质波）：1.1.实在物理量的空间分布作周期性的变化实在物理量的空间分布作周期性的变化; ( ); ( )2.2.干涉、衍射现象，其本质在于干涉、衍射现象，其本质在于相干叠加性相干叠加性。（微粒的“轨道”是不可观测量，因而应摒弃；微粒的位置和动量亦不能同时确定* ）（波做概率解释，是几率波，其绝对值平方代表粒子出现几率）三三. . 波函数的统计解释波函数的统计解释（1 1） 波函数波函数 为了方便对物质波进行数学描述，薛定

12、谔引入了为了方便对物质波进行数学描述，薛定谔引入了函数函数 ，称为波函数（，称为波函数（复函数复函数），来表示物质波，），来表示物质波，并建立了波函数的偏微分方程并建立了波函数的偏微分方程薛定谔方程。薛定谔方程。n 自由粒子的波函数自由粒子的波函数单色平面波单色平面波,exp() exp()r tAi k rtiAp rEt （利用了德布罗（利用了德布罗意公式）意公式）k 波矢量；波矢量；p、E 自由粒子的动量和能量自由粒子的动量和能量n 力场中的粒子波函数力场中的粒子波函数kdetkctrrk i),()2(1),(23 实际的粒子通常受力场的作用（例如原子中的实际的粒子通常受力场的作用（例

13、如原子中的电子），其物质波波函数电子），其物质波波函数 (r,t)不能再用单色平面不能再用单色平面波描写，波描写，具体形式视情况而定，但是都可展开为具体形式视情况而定，但是都可展开为不同波长（波数）的单色平面波的叠加：不同波长（波数）的单色平面波的叠加：321( , )( , )(2)ip rr tc p t edp 或或单色平面波（自单色平面波（自由粒子波函数）由粒子波函数）自由粒子波函数自由粒子波函数的归一化因子的归一化因子xyzdpdp dp dp其中其中从数学上看，这从数学上看，这相当于将波函数相当于将波函数 (r,t)(r,t)做傅里叶做傅里叶展开，展开，C C是展开系数，且有明确的

14、物理意义。是展开系数，且有明确的物理意义。傅里叶逆变换傅里叶逆变换321( , )( , )(2)ip rc p tr t edr 3drd rdxdydz其中其中问题： c(p，t)的物理意义是什么呢？波函数 的物理含义？ 如果说粒子的波函数如果说粒子的波函数 代表粒子的空间分布，那代表粒子的空间分布，那么自由粒子的波函数在空间上是无限展延的，而作么自由粒子的波函数在空间上是无限展延的，而作为一个实物粒子，因其为一个实物粒子，因其“原子性原子性”，占有的空间体，占有的空间体积是十分有限的，显然彼此矛盾！积是十分有限的，显然彼此矛盾！ 玻尔曾经说：玻尔曾经说：“量子理论诠释的关键在于，必量子理

15、论诠释的关键在于，必须把彼此矛盾的波动和粒子这两种描述协调起须把彼此矛盾的波动和粒子这两种描述协调起来来”。因此上述对波函数的解释行不通！。因此上述对波函数的解释行不通！ 因此因此对波函数的物理诠释必须要求把波动和粒子对波函数的物理诠释必须要求把波动和粒子性融合在一起性融合在一起。1926年，玻恩对波函数的物理解释年，玻恩对波函数的物理解释做到了这一点！做到了这一点！（2 2） 概率波（概率波（Probability waveProbability wave） 波函数波函数 在空间某点的强度（在空间某点的强度（i.e.振幅绝对值的平振幅绝对值的平方方|(r,t)|2 ）和在这点找到粒子的概率成

16、正比。）和在这点找到粒子的概率成正比。 该点附近感光点的数目该点附近感光点的数目 该点附近出现的电子数目该点附近出现的电子数目 电子出现在电子出现在r r点附近的点附近的概率概率在电子衍射实验中，照相底片上在电子衍射实验中，照相底片上r r点附近衍射花样的强度（点附近衍射花样的强度（ |2 ）以电子的单缝衍射为例。以电子的单缝衍射为例。因此，量子力学中的波函数所描述的，并不像经典量子力学中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在物理量的空间波动，只不过是波那样代表什么实在物理量的空间波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的刻画粒子在空间的概率分布的概率波概率波而已而已。考虑自由粒子的波函

17、数,exp()ir tAp rEt 2,.r tconst 即自由粒子在空间各点出现的概率均等，符合自由粒子的物理描述，前面所述的矛盾也不存在了！ 由于由于|(r,t)|(r,t)|2 2 代表粒子出现的概率，因此玻代表粒子出现的概率，因此玻恩对恩对波函数的统计解释，把彼此矛盾的波和粒子波函数的统计解释，把彼此矛盾的波和粒子性统一在了一起性统一在了一起。换言之，波函数的概率解释，。换言之，波函数的概率解释，是实物粒子波粒二象性的内在要求。是实物粒子波粒二象性的内在要求。 另一方面，微观粒子的性质由彼此对立，但又相另一方面，微观粒子的性质由彼此对立，但又相互补充的矛盾属性，即波动性和粒子性，完全

18、描述互补充的矛盾属性，即波动性和粒子性，完全描述（互补原理互补原理）。）。微观粒子的运动状态（量子态）由波函数完全描述，只要给出了波函数就可得到体系所有性质（如位置、动量、角动量、动能、势能、电场、磁场等） 量子力学的基本假定之一量子力学的基本假定之一 量子力学中这种状态的描写方式与经典力学中量子力学中这种状态的描写方式与经典力学中描写质点运动状态的方式完全不同。在经典力学中，描写质点运动状态的方式完全不同。在经典力学中，质点的状态用质点的状态用（r，p）完全描述，只要给出质点的完全描述，只要给出质点的位置和动量，其他力学量（如能量等）均可表示为位置和动量，其他力学量（如能量等）均可表示为r

19、r和和p p的函数，因而也随之确定。但在量子力学中，的函数，因而也随之确定。但在量子力学中，由于波粒二象性，由于波粒二象性，r r和和p p不能同时有确定值（海森堡不能同时有确定值（海森堡的不确定原理），而波粒二象性现在被统一到波函的不确定原理），而波粒二象性现在被统一到波函数数中，所以量子力学中用波函数中，所以量子力学中用波函数描述量子态。描述量子态。显然，正是显然，正是波粒二象性决定了量子的和经典的描述波粒二象性决定了量子的和经典的描述方式本质的差别方式本质的差别。 总之，由于波粒二象性，微观粒子服从统计性规总之，由于波粒二象性，微观粒子服从统计性规律，用不确定的语言（如概率）描述；经典粒

20、子服律，用不确定的语言（如概率）描述；经典粒子服从决定性规律，用确定性语言（如轨道）描述。从决定性规律，用确定性语言（如轨道）描述。n 概率解释对波函数的要求概率解释对波函数的要求 根据波函数的统计解释，在空间根据波函数的统计解释，在空间r r点附近的体积元点附近的体积元xyz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2xyz 。 概率密度概率密度2, r t 概率波幅概率波幅, r t则在任意体积空间则在任意体积空间 中，找到粒子的概率：中，找到粒子的概率：223,r td rr tdxdydz 真实真实的波函数应满足归一化条件（平方可积）的波函数应满足归一化条件（平方可积）在全体积空间中，

21、找到粒子的概率应等于在全体积空间中，找到粒子的概率应等于1 1：223,1r td rr tdxdydz问题问题： 自由粒子的波函数满足归一化条件吗？自由粒子的波函数满足归一化条件吗？ 标准化条件标准化条件 粒子在某时刻在空间某点出现的概率应该单值、粒子在某时刻在空间某点出现的概率应该单值、有限，因此波函数应该是坐标有限，因此波函数应该是坐标r的单值、有限函数，的单值、有限函数，且且波函数及其各阶导数波函数及其各阶导数也要连续。波函数满足也要连续。波函数满足单单值、有限、连续性值、有限、连续性要求，称为要求，称为标准化条件标准化条件。 统计解释中只涉及波函数的振幅，因此波函数还统计解释中只涉及

22、波函数的振幅，因此波函数还存在下述不确定性：存在下述不确定性： 常数因子的不确定性常数因子的不确定性 若(r,t) 归一，C为常数，则(r,t)和C(r,t) 描述同一个物理状态，因为它们的相对概率相同22112222,r tCr tr tCr t即，和C表示同一个概率波，因此对于概率分布对于概率分布来说，重要的是相对概率来说，重要的是相对概率。 相位的不确定性相位的不确定性(r,t)和(r,t)ei（为实常数）代表同一个概率波，因两者的模从而概率密度相同。（3 3） 多粒子体系的波函数多粒子体系的波函数设体系由设体系由N N个粒子组成，则个粒子组成，则NNrdrdrdtrrr.),.,(21

23、221粒子粒子1 1出现在出现在( )( )中中同时同时粒子粒子2 2出现在出现在( )( )中中同时同时粒子粒子N N出现在出现在( )( )中的几率中的几率111,rdrr222,rdrrNNNrdrr,),.,(21trrrN体系的波函数体系的波函数(态函数态函数)21212( , ,., ).1NNr rr tdrdrdr 归一化条件归一化条件本节例题本节例题例例1 1 设粒子波函数为设粒子波函数为 ，求在，求在( (x, x+dx) )范范围中找到粒子的几率。围中找到粒子的几率。),(zyx 解：解： 根据波函数的统计解释，在空间根据波函数的统计解释，在空间r r点附近的体点附近的体

24、积元积元dxdydz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2dxdydz 。则在则在(x, x+dx)范围内范围内，找到粒子的概率：，找到粒子的概率：22, , ,x dxxdydzx y zdxdxx y zdydz 例例2 2 设二粒子体系的波函数为设二粒子体系的波函数为 ，求测得粒，求测得粒子子1 1在在 中的几率中的几率。12( , )r r 111,r rdr 解：由于解：由于 21212( , )r rdrdr 代表粒子代表粒子1 1出现在出现在( )( )中，中，同时同时粒子粒子2 2出现出现在在( )( )中的几率，故所求为中的几率，故所求为111,rdrr222,rdrr

25、21122,drr rdr 例例3 3 设设 ， 为常数，为常数，求归一化常求归一化常数数A A。 222xxAe解：由波函数归一化条件知道：解：由波函数归一化条件知道： 22221xxdxA edx2xedx利用积分公式利用积分公式12A四四. . 动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数 描述微观粒子运动状态的波函数不仅可以是坐标描述微观粒子运动状态的波函数不仅可以是坐标r r和时间和时间t t的函数，即的函数，即(r,t)(r,t)；也可以是动量；也可以是动量p p和时间和时间t t的函数，即的函数，即 (p(p，t)t)。（。（那么可以是那么可以是r r和和p p的函数？的函数

26、？）(r,t) 以坐标为自变量以坐标为自变量坐标表象坐标表象(re- presentation)中的波函数表示中的波函数表示 (p,t) 以动量为自变量以动量为自变量动量表象动量表象中中 的波函数表示的波函数表示同一个状态不同一个状态不同的描述方式同的描述方式表象表象 与与 “坐标坐标系系”问题：问题： 波函数波函数(r,t)和和 (p，t)之间的联系？之间的联系？ 波函数(r,t)可以展开为各种波长（波数）的平面波的叠加，按照德布罗意关系，也可展开为具有不同动量的单色平面波的叠加，即321( , )( , )(2)ip rr tc p t edpv vhvvvh将付氏展开系数C(p,t) (

27、p,t)321( , )( , )(2)ip rr tp t edpv vhvvvh付氏分波付氏分波（1） 按按(1)式，任意粒子波函数式，任意粒子波函数(r,t)包含包含各种动量成各种动量成分分的傅里叶分波，故在波函数的傅里叶分波，故在波函数所描写的状态下测所描写的状态下测量粒子的动量，不会有确定值，展开式中的每一种量粒子的动量，不会有确定值，展开式中的每一种动量值都有可能出现，换言之，动量值都有可能出现，换言之，每一个傅里叶分波每一个傅里叶分波所对应的动量值是以某一概率出现在测量中！所对应的动量值是以某一概率出现在测量中！问题：问题： 测到粒子动量为测到粒子动量为p的概率是多少？的概率是多

28、少？傅里叶逆变换傅里叶逆变换321( , )( , )(2)ip rp tr t edr （2）321( , )( , ) (1)(2)ip rr tp t edp 将波函数将波函数归一化：归一化：*3( , )( , )11( , ) ( , )(2)ip prr tr t drp tp t edrdp dp *( , ) ( , )ip prp tp tedr 3*( , ) ( , )2p tp tpp 2i xedx其中使用了积分其中使用了积分*( , )( , ) ( , ) ( , )r tr t drp tp tppdp dp22( , )( , )1p tdpr tdr2*(

29、, ) ( , )( , )p tp t dpp tdp若若 已归一化，则已归一化，则 也是归一化的也是归一化的( , )p t),(tr 所以，粒子波函数所以，粒子波函数(r,t)(r,t)的傅里叶展开系数的傅里叶展开系数 (p,t)(p,t)也做概率波解释，描述的是每一个可能的动也做概率波解释，描述的是每一个可能的动量值出现的概率量值出现的概率 。 动量表象下的波函数动量表象下的波函数( , )( , )p tr tvv故与具有类似的物理含义:| (p,t)|2 dp 测得测得粒子动量在粒子动量在p p附近，即附近，即 pp+dp内的概率；内的概率；| (p,t)|2 粒子动量分布的概率密

30、度粒子动量分布的概率密度 很明显，很明显，波函数波函数(r,t)(r,t)和和 (p,t)(p,t)不过是在不同不过是在不同的表象空间描述同一个量子态而已的表象空间描述同一个量子态而已！只是前者刻画！只是前者刻画的是粒子的位置分布概率，而后者刻画的是粒子的的是粒子的位置分布概率，而后者刻画的是粒子的动量分布概率。数动量分布概率。数学上，学上，和和 互为傅里叶变换互为傅里叶变换。 若给出粒子状态的波函数若给出粒子状态的波函数(r,t) (r,t) 解薛定谔方程解薛定谔方程相应的测量概率相应的测量概率123,t,t,t .rrrvvv222，123 .rrrvvv， ， ， 在此态下测量粒子的位置

31、，结果是一系列可能值：在此态下测量粒子的位置，结果是一系列可能值： 在此态下测量粒子动量，结果也是一系列可能值：在此态下测量粒子动量，结果也是一系列可能值：123 .pppvvv，相应的测量概率相应的测量概率123,t,t,t .pppvvv222， 由由(2)式计算式计算 实际上，不仅位置和动量，粒子的其它力学实际上，不仅位置和动量，粒子的其它力学量如角动量、能量等也都可以根据波函数计算量如角动量、能量等也都可以根据波函数计算出各自的测量概率。因此，出各自的测量概率。因此，只要给出了粒子的只要给出了粒子的波函数，粒子的所有力学量的测量概率都可以波函数，粒子的所有力学量的测量概率都可以知道知道

32、，也就是粒子的所有物理性质统统可以知，也就是粒子的所有物理性质统统可以知道。因此，道。因此，量子力学中粒子的状态由一个波函量子力学中粒子的状态由一个波函数完全描述！数完全描述！坐标表象：坐标表象： 位置概率密度位置概率密度（分布）（分布）2, r tv2, r tdrvv粒子粒子位置位置在在r r+dr内的内的概率概率2,1r tdrvv归一化条件归一化条件动量表象：动量表象： 动量概率密度动量概率密度（分布）（分布）2, p tv2, p tdpvv粒子粒子动量动量在在p p+dp内的内的概率概率2,1p tdpvv归一化条件归一化条件同一个量子态在不同表象中的描述！同一个量子态在不同表象中

33、的描述！2 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 一般来说，当微观粒子处于某种状态时，它的一般来说，当微观粒子处于某种状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，具有一力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，具有一系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出现，系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出现，当给定描述该状态的波函数当给定描述该状态的波函数后，力学量各种可能后，力学量各种可能值的相应概率就完全确定，利用值的相应概率就完全确定，利用统计平均统计平均的方法，的方法，就可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测就可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。换言之，

34、力学量平均值就是在值相比较。换言之，力学量平均值就是在所描述所描述的量子态下，相应力学量的观测结果。的量子态下，相应力学量的观测结果。一一. . 力学量的平均值力学量的平均值在统计物理中知道在统计物理中知道u 当可能值为离散值时当可能值为离散值时: : 一个物理量的统计平均一个物理量的统计平均值等于物理量的各种可能值乘上相应的值等于物理量的各种可能值乘上相应的概率求和；概率求和；（加权平均加权平均） u 当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时： 一个物理量出现的各一个物理量出现的各种可能值乘上相应的种可能值乘上相应的概率密度求积分。概率密度求积分。 如，气体分子速率在（0，+）内取值，则气

35、体分子速率的算术平均： 0vvf v dvf(v) 速率分布函数，亦做概率解释（概率密度）给定粒子的波函数给定粒子的波函数(r,t)：u 若波函数已归一化，则力学量若波函数已归一化，则力学量F的平均值的平均值 2*F rF rrdrr F rr drvvvvvvvvu 若波函数未归一化，则力学量若波函数未归一化，则力学量F的平均值的平均值 *r F rr drF rrr drvvvvvvvv( (相对概率密度相对概率密度) )力学量平均值的计算公式力学量平均值的计算公式注：注：这实际上是在坐标表象中计算这实际上是在坐标表象中计算F F的平均值，故要求的平均值，故要求F F要要 能表示成能表示成

36、r r的函数的函数（1 1）坐标平均值）坐标平均值2|() |xxxxdx 一维情况一维情况 设设(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|2 是是粒子出现在粒子出现在x点的概率密度，则点的概率密度，则 三维情况三维情况 设设(r)(r)是归一化，是归一化，|(r)|(r)|2 2 是粒是粒子出现在子出现在r点的概率密度，则点的概率密度，则2|() |rrrrdr vvvvv注注: : 为了方便，这里暂不考虑时间为了方便，这里暂不考虑时间t t 给定归一化波函数给定归一化波函数(r)，此量子态下粒子动量，此量子态下粒子动量平均值为平均值为（2 2）动量平均值）动量平均值 *prpr dr

37、 vv vvv要计算右边积分，必须给出动量要计算右边积分，必须给出动量p p与坐标与坐标r r的函数的函数关系。但是关系。但是由于波粒二象性，粒子的坐标由于波粒二象性，粒子的坐标r r和动量和动量p p不同时确定，因此不同时确定，因此“粒子在空间某点粒子在空间某点r r处的动量处的动量”是无意义的，即动量是无意义的，即动量p p不能表示成坐标不能表示成坐标r r的函数，的函数，p p p(r)p(r)。故。故上式积分在坐标表象中无法计算！上式积分在坐标表象中无法计算！如何计算粒子动量的平均值呢？如何计算粒子动量的平均值呢？二二. . 力学量用算符表示力学量用算符表示 何为算符？何为算符？ 量子

38、力学中的力学量为何要用算符表示？量子力学中的力学量为何要用算符表示？ 如何得到力学量算符表达式？如何得到力学量算符表达式？ 算符的运算规则？算符的运算规则？（见第三章）（见第三章）（1 1） 什么是算符什么是算符 数学上的算符（数学上的算符（OperatorOperator）代表一种运算，如）代表一种运算，如 加、减、乘、除、微分、积分等；在量子力学中，加、减、乘、除、微分、积分等；在量子力学中，算符代表算符代表对波函数（量子态）的一种运算对波函数（量子态）的一种运算，例如，例如2* .ddx 、经典力学经典力学 力学量是一个数力学量是一个数，如坐标，如坐标r、动量、动量p、 能量能量E、角动

39、量、角动量l等；等；量子力学量子力学 力学量是一个算符力学量是一个算符，用其经典力学量，用其经典力学量 符号上方加符号上方加“ ”表示，如：表示，如：rrvv坐标算符坐标算符ppvv动量算符动量算符返回返回（2 2）力学量为何要用算符表示力学量为何要用算符表示 先回到上一个问题：先回到上一个问题：“如何计算动量平均值如何计算动量平均值”？在在坐标表象坐标表象中，动量平均值中，动量平均值 * (3)prpr dr vv vvv该式无法计算。现改用该式无法计算。现改用动量表象动量表象，动量平均值，动量平均值*： *pp pp dp vv vvv代入波函数代入波函数 (p)(p)的傅里叶变换式：的傅

40、里叶变换式：321( )( )(2)ip rpr edrv vhvvvh*3 21( )( ) (2)ip rpr epp drdp v vhvvvvv vhip repv vhv得到得到iip rp repie v vv vhhvh3 21*( )(2)( )ip reppprdidr v vhvhhvvvv3 21= *)( )(2( ip rer drp dpiv vhvvhvvh *( )( )prir dr vvvvh *( )( )prir dr vvvvh结果又回到了坐标表象！结果又回到了坐标表象！对比对比(3)式：式： * (3)prpr dr vv vvv原来在坐标表象中由于

41、动量原来在坐标表象中由于动量p p不能写成不能写成r r的函数形式，的函数形式，导致导致(3(3）式不能计算。现在只要将动量）式不能计算。现在只要将动量p p改造成算改造成算符符ppi vvh形式，就能形式，就能直接使用坐标表象中的波函数直接使用坐标表象中的波函数(r)(r)计计算平均值！算平均值！ 力学量改造成与经典力学不同的算符形式称为力学量改造成与经典力学不同的算符形式称为第第一次量子化一次量子化，其，其根源在于根源在于微观粒子的微观粒子的波粒二象性波粒二象性。波粒二象性波粒二象性波函数做波函数做几率解释几率解释测量力学量测量力学量出现一系列出现一系列可能值可能值计算力学量计算力学量平均

42、值须引平均值须引入算符入算符 *, (4)Fr Fr drF vv v一般地一般地返回返回（3 3）力学量算符力学量算符 表达式表达式F那么，如何得到那么，如何得到(4)(4)式中算符式中算符 的具体形式？的具体形式？Fl 坐标算符坐标算符l 动量算符动量算符pi vh (); 1 xxrr）维维（3vv* ()()rrrrdr vv vvv坐标表象坐标表象对比对比(4)式即得式即得动量算符在直角坐标动量算符在直角坐标系的分量形式？系的分量形式？其它其它力学量算符可按下述规则写出：力学量算符可按下述规则写出：如果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有对在经典力学中有对应的力

43、学量，则表示这个力学量的算符应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经由经典表示式典表示式F(r,p)中将中将p换成算符换成算符 而得出，即而得出，即Fpv ,FF r pFF r pF ri v vv vvhl 角动量算符角动量算符lrpi r vvvvh经典式经典式lrpvvv()()()xzyyxzzyxlypzpiyzzylzpxpizxxzlxpypixyyx 三个直角分量三个直角分量l 势能算符势能算符 V rV rvv即势能算符等于势能自身！即势能算符等于势能自身！为什么？为什么？你能写出动能算符？你能写出动能算符？l 动能算符动能算符2222p pTmm v vhl 能量算符（哈

44、密顿算符）能量算符（哈密顿算符）粒子的能量粒子的能量 22pEV rmv在经典力学中称之为哈密顿（在经典力学中称之为哈密顿（HamiltonHamilton）函数，）函数，故相应的算符又称哈密顿算符，用故相应的算符又称哈密顿算符，用 表示表示H 222HTV rV rm hvv注：注：以上给出的都是以上给出的都是坐标表象坐标表象中算符的具体形式中算符的具体形式在不同的表象中，算符的表示式会不同！在不同的表象中，算符的表示式会不同！ 在在自身表象中，算符的形式最简单自身表象中，算符的形式最简单(等于自身等于自身)！例如例如pipp vhvv坐标表象坐标表象动量表象动量表象( (自身表象自身表象)

45、 )rrripvvvhv坐标表象坐标表象(自身表象自身表象)动量表象动量表象(见教程见教程p14思考题思考题)为什么？为什么？本节例题本节例题例题例题1 1：一维谐振子处在基态（一维谐振子处在基态（ 为谐振子折合质量为谐振子折合质量） 求：求：(1)(1)势能的平均值；势能的平均值； (2)(2)动能的平均值；动能的平均值； (3)(3)动量的概率分布函数。动量的概率分布函数。 2222; xitxe解：（解：（1）一维谐振子的势能一维谐振子的势能 2212Vxx 2222*1 2xVx Vxxdedxx 势能的平均值势能的平均值2222211112222V 221 3 5212naxnnnx

46、 edxaa L利用积分公式利用积分公式（I I）14V h（2） 动能平均值动能平均值 *Tx Tx dx 力学量算符须夹力学量算符须夹在在* *和和之间之间222222222pdTdx hh2222222222()xxdTeedxdx h22232212xTxedx h2222222222()xxdTeedxdx h222222322xxedxx edxh2xedx利用积分公式利用积分公式及及(I)(I)式式14T h（3） 动量的概率分布函数（概率密度）动量的概率分布函数（概率密度）1( , )( )2ipxp tx edxhvh222212xipitxeedxhh22222222212

47、ippxiteedxehhh222221ipteehh22222122ipteehh 动量的概率分布函数动量的概率分布函数: :22221,pp tehh例题例题2 2：证明在一维情况下，动量表象中的坐标算符证明在一维情况下，动量表象中的坐标算符本节例题本节例题 xip h证明：在动量表象下，坐标证明：在动量表象下，坐标x的平均值的平均值 *xpp dxp 而在坐标表象下，坐标而在坐标表象下，坐标x的平均值的平均值 *xxxxx d 使用波函数使用波函数 (x)(x)的傅里叶变换式：的傅里叶变换式：121( )( )(2)ip xxp edphh 1*2iip xpxxxp ep edp dp

48、dx hhh代人上面第二式，得到代人上面第二式，得到 1*2iip xpxpp dp dpexedx hhhiipxpxxeiep hhh其中其中 1*2iip xpxxpp dp dpeiedxp ippxiedxp 22ippp 利用了利用了 2ikxedxk *xippppdpdpp ppp dpppp *xpipdpppip dpp 附录附录A2（23）式）式因此坐标表象下，因此坐标表象下，x平均值平均值应该和动量表象下，坐标应该和动量表象下，坐标x的平均值相等的平均值相等: *xp xp dp 对比两式，得到动量表象下，坐标对比两式，得到动量表象下，坐标x的算符形式：的算符形式： x

49、ip 推广到三维情况：推广到三维情况：= priip 得证！得证！ *()xpip dpp 3 Schrdinger Schrdinger 方程方程 （一）（一） 引言引言 （二）（二） 自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （三）（三） 势场势场 V(r) 中运动的粒子中运动的粒子 （四）（四） 定域的几率守恒定域的几率守恒（五）（五） 定态和非定态定态和非定态（六）（六） 多粒子体系的多粒子体系的Schrdinger方程方程(1)(1) 在各种具体情况下，在各种具体情况下，找出找出描述体系状描述体系状 态的各种可能的态的各种可能的波函数；波函数； (2) (2) 波函数如何随时间演化波函数

50、如何随时间演化。( (据此可知据此可知 体系任意时刻的状态体系任意时刻的状态) ) 微观粒子量子状态用波函数完全描述微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的定之后，粒子的任何一个力学量的平均值平均值及其测量及其测量的的可能值可能值和相应的和相应的几率几率分布也都被完全确定。因此分布也都被完全确定。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：（一）（一） 引言引言目标：目标： 建立一个关于波函数的建立一个关于波函数的含时含时的微分的微分 方程方程 薛定谔方程薛定谔方程(1926)(1926)。 下面从最简单

51、的情况下面从最简单的情况自由粒子自由粒子着手，建立上着手，建立上述方程，然后再推广到一般的情况，即述方程，然后再推广到一般的情况，即力场中的力场中的粒子粒子情形。情形。（二）（二）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 )(EtrPiAe 描写自由粒子的波函数应是所要建立的方程的解。 将上式对时间微商，得 iEtiEt (5)这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E，方方程程(5)(5)只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足可能的状态所满足。将对坐标二次微商，得222222222222 , yxzpppxyz ， 12222222222

52、zyxpppzyx222222(61 )22hpmmp - -(5) (6) 式222()()22piEtmm 22pEm自由粒子故自由粒子满足的波动方程：222itm （7）讨论：讨论： 根据根据(5)(5)式，粒子能量式，粒子能量E E和作用在波函数上的算符和作用在波函数上的算符 相当，即相当，即 （能量算符的另一种表示式）。（能量算符的另一种表示式）。 it Eit 根据经典的能量关系根据经典的能量关系E = p2/2m， 将其写成如下方程形式：将其写成如下方程形式：2=2pEm2222; Eitpp （8）做下列算符替换，即可得方程做下列算符替换，即可得方程(7)式。这意味着，在量子论

53、中式。这意味着，在量子论中物理量物理量E 和和p2应该看成算符：应该看成算符：（三）势场中运动的粒子（自由粒子的推广）（三）势场中运动的粒子（自由粒子的推广）若粒子处于势场若粒子处于势场V(r)中运动，则能量关系变为：中运动，则能量关系变为：2( )2pEV rHm对其做（对其做（8 8）式的算符替换，并作用于波函数后有）式的算符替换，并作用于波函数后有22( , )( ) ( , )( , )2ir tV rr tHr ttm （9 9）式中，体系的两个能量算符式中，体系的两个能量算符 和和 完全相当，因其对波函数作用结果相同。完全相当，因其对波函数作用结果相同。it 222( )mV r

54、方程方程(9)(9)称为称为含时含时SchrSchrdingerdinger方程，方程，也称也称波动方程波动方程。（V = 0即自由粒子）即自由粒子）薛定谔方程的几点说明：薛定谔方程的几点说明：（1 1） 薛定谔方程是薛定谔方程是量子力学的一个基本假定量子力学的一个基本假定，它，它不能从其他更基本的理论来获得证明（不能从其他更基本的理论来获得证明（前面只是通过前面只是通过导引来建立方程的导引来建立方程的），其正确性只能通过在具体情况下），其正确性只能通过在具体情况下由方程得出的结论和实验结果相比较来验证。由方程得出的结论和实验结果相比较来验证。（2 2） 求解薛定谔方程，可以得到任何情况下体系

55、求解薛定谔方程，可以得到任何情况下体系的波函数，以及波函数随时间的演化规律。只要给的波函数，以及波函数随时间的演化规律。只要给定初值条件定初值条件 (r(r0 0,t,t0 0) )，即初态，就可以得到体系在，即初态，就可以得到体系在任意时刻的状态。所以，任意时刻的状态。所以，薛定谔方程反映了微观粒薛定谔方程反映了微观粒子运动规律，是量子力学中最基本的方程，其地位子运动规律，是量子力学中最基本的方程，其地位和经典力学中的牛顿方程相当和经典力学中的牛顿方程相当。（3 3） 薛定谔方程是复数方程，其解薛定谔方程是复数方程，其解 (r,t)(r,t)显然是显然是复数。因此在复数。因此在量子力学中体系

56、的波函数只能是复数量子力学中体系的波函数只能是复数表示表示。而且波函数本身不是可观测量，从这个角度。而且波函数本身不是可观测量，从这个角度说波函数也不能是实数，因为物理上的可观测量一说波函数也不能是实数，因为物理上的可观测量一定是实数。定是实数。（5 5） 薛定谔方程是薛定谔方程是非相对论的非相对论的，在相对论情况下，在相对论情况下由狄拉克方程取代。由狄拉克方程取代。（6 6） 在极限的情况下，薛定谔方程满足对应原理：在极限的情况下，薛定谔方程满足对应原理：当当 时，它能过渡到经典力学的运动方程。时，它能过渡到经典力学的运动方程。（ 进入运动方程是量子化的基本特征进入运动方程是量子化的基本特征

57、）0（4 4） 薛定谔薛定谔方程的解方程的解（波函数）要（波函数）要满足归一化和满足归一化和标准化条件标准化条件。返回返回方程的解方程的解 (r,t)代表代表坐标表象下的波函数下的波函数（四）（四）定域的几率守恒定域的几率守恒 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步进一步讨论粒子在一定空间区域（讨论粒子在一定空间区域（定域定域）内出现的几）内出现的几率将怎样随时间变化率将怎样随时间变化。 粒子在粒子在 t 时刻时刻 r 点周围单点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：位体积内粒子出现的几率即几率密度是：2|),(|),(),(),(t

58、rtrtrtr 在非相对论情况下，因没有粒子的产生和湮灭问题，在非相对论情况下，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变的几率总和应不随时间改变，即，即 ,0 dr t drdt (10)(10)总几率守恒总几率守恒 证明：考虑考虑 SchrSchrdinger dinger 方程及其共轭形式：方程及其共轭形式： ()iVtm 22112()iVtm 22122VV *将将 * *（1111） （1212）式得）式得2222 iittm 22（） itm 2222 iittm 22（） di

59、dddtm 在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有： 2（） didddtm 2 iJm *( , ) r t 令令概率密度概率密度J是什么呢？是什么呢？( , ) dr t dJddt dS S 使用使用 Gauss 定理定理(散度定理散度定理) ( , )Sdr t dJdSdt r rr rr r （1313） ( , )Sdr t dJdSdt r rr rr r （1313）闭区域闭区域上找到粒子上找到粒子的几率的几率( (粒子数粒子数) )在单在单位时间内的增量位时间内的增量单位时间内通过单位时间内通过的封闭的封闭表面表面S S流入（积分前的负号）流入（积分

60、前的负号）内的几率内的几率( (粒子数粒子数) )所以所以(13)(13)式是式是定域定域的的几率几率( (粒子数粒子数) )守恒守恒的积分表示式。的积分表示式。J是是几率流几率流( (粒子流粒子流) )密度密度，是一矢量。，是一矢量。0Jt 量子力学的连续性方程量子力学的连续性方程几率几率( (粒子数粒子数) )守恒守恒的微分表示式：的微分表示式： 令令Eq.(13)Eq.(13)趋于趋于，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分