第七章刚体的简单运动

1、第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比7-5 7-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动一、平行移动一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动

2、平行移动，简称，简称平平移移。例如：例如：二、平移的特点二、平移的特点 设刚体作平移，在刚体内任选设刚体作平移，在刚体内任选两点两点A、B,令点令点A的矢径为的矢径为rA，点点B的矢径为的矢径为rB,则两条矢端曲则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知线就是两点的轨迹。由图可知ABBA rr当刚体平移时，线段当刚体平移时，线段AB的长度的长度和方向都不改变。和方向都不改变。刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线，但是它们的形状是完全相同的。是曲线，但是它们的形状是完全相同的。因此只要把因此只要把点点B的轨迹沿的轨迹沿BA方向平行移动一段

3、距离方向平行移动一段距离BA，就能与点，就能与点A的的轨迹完全重合。轨迹完全重合。 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动ABBA rr上式对时间上式对时间t求导数，得求导数，得ddddddABBAttt rr而而d,dAAtrv因此，得因此，得ABvv将上式再求一次导数，得将上式再求一次导数，得ABaa结论：结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时每一瞬时,各点的速度相同各点的速度相同,加速度也相同加速度也相同。 因此因此,研究刚体研究刚体的平移的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。可以归结为研究刚体内任一点（如质心）

4、的运动。速度、加速度速度、加速度d,dBBtrv0ddtBA7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动例：例：图示曲柄滑道机构，当曲柄图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴在平面上绕定轴O转动时，转动时，通过滑槽连杆中的滑块通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄动。若曲柄OA的半径为的半径为r，曲柄与，曲柄与x轴的夹角为轴的夹角为j j =t，其中，其中是常数，是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。解：解：连杆作平移，因此在连杆上连杆作平移，因此在连杆上任取一点任取一点M可代表连杆的运

5、动。可代表连杆的运动。点点M的位置坐标为的位置坐标为trrxMjcoscos这就是点这就是点M的运动方程。因此，的运动方程。因此，点点M的速度及加速度为的速度及加速度为trxvMMsin trvaMMcos2 7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为则这种运动称为刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动，简称，简称刚体的转动刚体的转动。通。通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴转轴或或轴轴线线，简称，简称轴轴。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动

6、刚体绕定轴的转动一、转动方程一、转动方程 取转轴为取转轴为z轴。通过轴线作一固轴。通过轴线作一固定平面定平面,此外，通过轴线作一与刚此外，通过轴线作一与刚体固连的动平面体固连的动平面 。这两个平面间。这两个平面间的夹角用的夹角用j j表示表示,称为刚体的称为刚体的转角转角。转角转角j j是一个代数量，它确定了是一个代数量，它确定了刚体的位置刚体的位置,它的符号规定为它的符号规定为:从从z轴正轴正向往下看向往下看,逆时针为正逆时针为正,反之为负。并反之为负。并用弧度用弧度(rad)表示表示,当刚体转动时当刚体转动时,转角转角j是时间是时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即)(tfj这个方程称

7、为刚体绕定轴转动的这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程转动方程。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动二、角速度二、角速度 转角转角j j 对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度瞬时角速度，用用表示，即表示，即t ddj角速度表示刚体转动的快慢和方向。角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位一般用单位一般用rad/s（弧度（弧度/秒）。秒）。角速度是代数量。角速度是代数量。从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值。正值，反之取负值。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动三、角加速度三

8、、角加速度 角速度角速度对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度瞬时角加速度。用用表示，即表示，即22ddddttj角加速度表示角速度变化的快慢。角加速度表示角速度变化的快慢。 单位一般用单位一般用rad/s2(弧度弧度/秒秒2)。 角加速度也是代数量。角加速度也是代数量。如果如果与与同号，则转动是加速的；如果同号，则转动是加速的；如果与与异号，异号，则转动是减速的。则转动是减速的。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动四、两种特殊情况四、两种特殊情况 1.匀速转动匀速转动刚体角速度不变的转动，称为刚体角速度不变的转动，称为匀速转动匀速转动。 tjj0在工

9、程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟转数钟转数n来表示，其单位为来表示，其单位为r/min（转（转/分），称为分），称为转速转速。角速度角速度与转速与转速n的关系为的关系为30602nn式中转速式中转速n的单位为的单位为r/min，角速度，角速度的单位为的单位为rad/s。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动2.匀变速转动匀变速转动刚体角加速度不变的转动，称为刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动匀变速转动。t020021ttjj)(20202jj其中其中0和和j0分别是分别是t =0时的角速度和转角。时的角速度和转角。7-2 7-

10、2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度一、转动刚体内各点的速度一、转动刚体内各点的速度 以固定点以固定点O 为弧坐标为弧坐标s的原点，按的原点，按j角的正向规角的正向规定弧坐标定弧坐标s的正向，于是的正向，于是jRs 将上式对将上式对t求一阶导数，得求一阶导数，得tRtsddddj上式可写成上式可写成 Rv 即：即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方。指向转动一方。

11、转动刚体内各点速度分布规律：转动刚体内各点速度分布规律： 7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度atan二、转动刚体内各点的加速度二、转动刚体内各点的加速度 sa t转动刚体内任一点的切向转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线的角加速度与该点到轴线距离的乘积，它的方向由距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。角加速度的符号决定。法向加速度为法向加速度为2nva 2nRa 即：即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向

12、与速角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。度垂直并指向轴线。j RRRR2)(7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度如果如果与与同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。2n2taaantaatan222)()(RR42 R2RR27-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度点点M加速度加速度a的大小和方向：的大小和方向：由于在每一瞬时，刚体的由于在每一瞬时，刚体的和和都只有一个确定的数都只有一个确定的数值，所以得知：值，所以得知：1在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和

13、加速在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度2在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径与半径间的夹角间的夹角都有相同的值。都有相同的值。 例：例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：点：r =0.4m，在某瞬时的全加速度在某瞬时的全加速度a =40m/s2,与转动半径的夹角与转动半径的夹角=30。若若t =0时，位置角时，位置角j0=0，求叶轮的转动方程及，求叶轮的转动

14、方程及t =2s时时M点点速度和法向加速度。速度和法向加速度。7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度sintaa rat由于匀加速转动，故由于匀加速转动，故为常量。转动方程为为常量。转动方程为20021ttjj当当t=2s时，叶轮的角速度为时，叶轮的角速度为t因此因此M点的速度及法向加速度为点的速度及法向加速度为rv 2nra 30sinm/s4022m/s20m4 . 0m/s2022rad/s50rad252trad/s)250(rad/s100m/s)1004 . 0(m/s4022m/s)1004 . 0(2m/s40007-3 7-3 转动刚体内各点

15、的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度解：解：将将M点在某瞬时的全加速度点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切沿轨迹的切向及法向分解，则切向加速度及角加速度为向及法向分解，则切向加速度及角加速度为anat1122,RvRvAB7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比一、齿轮转动一、齿轮转动 外啮合外啮合内啮合内啮合因两轮之间没有相对滑动，故因两轮之间没有相对滑动，故BAvv但但因此因此1122RR或或1221RR处于啮合中的两个定轴齿轮角速度处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比与两齿轮的啮合圆半径成反比。21212121jjnn1212zzRR121221212121zzRRnn

16、jj又又故故设轮设轮是主动轮，轮是主动轮，轮是从动轮。是从动轮。 传动比：传动比：2112i12122121212112zzRRnnijj不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦传动等。锥齿轮传动、摩擦传动等。有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比也取代数值：动比也取代数值：12122112zzRRi正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。正号表示两轮转向相同，负号表示转向相

17、反。7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比二、皮带轮转动二、皮带轮转动 如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则2211rr于是皮带轮的传动比为于是皮带轮的传动比为122112rri即：即：两轮的角速度与其半径成反比。两轮的角速度与其半径成反比。轮轮为主动轮：为主动轮：r1、1轮轮为从动轮：为从动轮：r2、27-4 7-4 轮系转动比轮系转动比例例2-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比求减速箱的总减速比i

18、13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：解：求传动比：求传动比：11224133231334.8nnnZZinnnZZ则有：则有：1313300086 r / min34.8nni7-4 7-4 轮系的传动比轮系的传动比 例：例：图为一减速箱，轴图为一减速箱，轴为主动轴，与电机相联。已知为主动轴，与电机相联。已知电机转速电机转速n =1450r/min,各齿轮的齿数各齿轮的齿数z1=14, z2=42，z3=20，z4=36。求减速箱的总传动比。求减速箱的总传动比i14及轴及轴的转速。的转速。7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比解：解：用用n1、n2、

19、n3、n4分别表分别表示各齿轮的转速，则有示各齿轮的转速，则有应用齿轮传动比公式，得应用齿轮传动比公式，得122112zznni将两式相乘，得将两式相乘，得31424231zzzznnnn1414inn nn 132nn 344334zznni4114nni3142zzzz201436424 . 54 . 51450min/ r5 .2687-4 7-4 轮系转动比轮系转动比7-57-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度zzk角速度（角速度（代数量代数量）角速度矢（角速度矢（矢量矢量）它的指向按照右手螺旋规则确定。它的指向按照右手螺旋规则确定。 角速度矢是滑动矢量。角速度矢是滑动矢量。 ddtj同样同样 k于是于是 ddtkd()dtkddt一、以矢量表示角速度和角加速度一、以矢量表示角速度和角加速度 kk即即角加速度矢