第二章光纤传输机理的光线理论分析—3

1、第第2章章 光纤传输机理的光线理论分析光纤传输机理的光线理论分析 研究分析光波导的传光机理有两种方法:波动理论方法即求解波动方程，进行模式分析，这种方法可获得精确的解析或数值结果;光线理论方法即将光视为射线，利用光线的反射、折射原理解释光在光纤中的传播规律与物理现象。本章将介绍的光线理论分析方法具有物理图像简明、直观的优点，目前仍是分析研究光波导中传输规律与特性的一种重要手段。 2. 3光在渐变折射率光纤中的传播规律光在渐变折射率光纤中的传播规律2. 3. 1 能实现子午光线自聚焦能实现子午光线自聚焦(消色散消色散)的折射率分布的折射率分布规律的分析规律的分析 本节的目的是，通过研究不同n(r

2、)渐变折射率分布函数条件下光线轨迹的特性与规律，分析能实现子午光线消除色散(特别是多模色散)、实现自聚焦的最佳折射率分布函数n(r) 。这里具体研究平方律与双曲正割两种折射率函数分布的子午光线轨迹规律。 1.平方律(抛物线)分布 设光纤折射率分布为自轴线起沿径向(r方向)做平方律渐变分布，其函数分布的二次方与一次方具体形式分别为 （2.81）22221221( )11( )12n rnrn rnr（2.80）式中，为介质折射率分布渐变系数。为求光线轨迹，将(2. 80)式代人(2. 79)式，应有001/222020001102222221100100( )arcsinarcsinrrN dr

3、znrNnn Nnrnrnnn Nnn NL（2.82）对上式进行整理，最终得到如下平方律折射率分布子午光线的光线轨迹（rz）方程:22210011222100100sin(arcsin)nn Nnnrrznn Nnn N（2.83） 式中， 项为振幅R， 为位相 ， 为初位相 2221001nn Nn 100nzn N1222100arcsinnrnn N0 ( 2. 83)式表明:光线轨迹（rz）是一些沿z轴弯曲前进的“正弦曲线”，光线轨迹除与折射率分布渐变系数 有关外，还与初始条件 (端面投射高度) （初始投射角方向余弦)有关。例如 不同，则初位相 不同。 特例，若 ，则初位相 ；若取端

4、面上沿轴顶点处 ，则(2. 83)式变化为00000r01nn0r0r1及n00、nN2001sin()NrzN（2.84）图图2.10 平方律分布光纤中的平方律分布光纤中的 子午光线色散现象子午光线色散现象02N （2.85）式中， 为入射光线与二轴夹角的方向余弦。上式表明，若初始投射角 不同， 不同，则影响轨迹方程中的振幅R及位相 均不同。因而，由光轴顶点发出的不同投射角的光线，其正弦曲线的轨迹也不同。即由同一点发出的不同正弦曲线将散开，不能会聚到一点(如图2.10所示)，此即产生“色散”。为研究色散现象，需考察位相项。若令 表示正弦波1个周期的长度，即令 ，则应有00cosN00Nz 由

5、上式可得02N （2.86）00cos1N002 （2.87）上式表明，对确定渐变系数 结构的平方律分布光纤，其光线轨迹正弦曲线的周期长度 随入射光线方向余弦 的不同而不同，即产生“色散”现象，因而不能实现子午光线的自聚焦。 特别，仅在近轴条件下，即入射光线与光轴的夹角 ，因而 ，则有0N00cos1N00图图2.11 双曲正割分布函数双曲正割分布函数 图像图像 即 为常数。表明仅在近轴光学条件下，平方律分布的光纤才可以实现子午光线自聚焦，消除色散。上述分析表明，平方律分布的光纤其消色散性并不理想，因此必须寻求消色散性更好的折射率分布函数。2.双曲正割分布函数 若光纤中径向折射率渐变的函数分布

6、遵循双曲正割函数分布规律，即如s s e e c c h h ( ( r r ) )12sechxxxchxee（2.88）双曲正割函数的分布图形如上图2. 11所示，其平方形式与一次方形式的级数展开式分别为 （2.90） 2222241121124612sech()1()()3sech()1( 1)()(2 )!15611()+()-()+224720nnnnrnrnrrEn rnrnrnnrrrLL（2.89）式中， 为尤拉数，其取值如表2. 2所示。nEn1234En15611385将双曲正割函数代入（2.79）式，则有上式经变量置换并查积分表，最终得到子午光线轨迹方程解为(详略)000

7、01/21/222222100022210sech ()()sech ()()rrrrN drN drznrchrNNnrchr（2.91） 2因而得到上式表明，双曲正割函数分布光纤中，其子午光线的轨迹为正弦函数，且其周期长度 为常数，与r0、N0等初始条件无关。因而，由一点发出的不同角度（即不同N0）的子午光线，在传播过程中均满足等光程条件，即可周期性地会聚于半波长点，如图2. 12所示。 2（2.95）上式表明，双曲正割分布条件下，光线轨迹为正弦曲线族，其周期 亦应为 ，即有 ()z2上式表明，双曲正割函数分布光纤中，其子午光线的轨迹为正弦函数，且其周期长度 为常数，与r0、N0等初始条件

8、无关。因而，由一点发出的不同角度（即不同N0）的子午光线，在传播过程中均满足等光程条件，即可周期性地会聚于半波长点，如图2. 12所示。0001/21/22222000()()1arcsinarcsin()()NshrNshrzchrNchrN（2.92）01/2220()1arcsin()NshrzchrN（2.93）对上式取正弦变换有考察沿光纤轴心点投射的特殊情况，即r0=0，则有 01/2220()sin()NshrzchrN（2.94）由此可获得如下结论:折射率呈双曲正割函数sech（r）分布的光纤，其子午光线可以实现完善的自聚焦，即实现零色散。图图2.12 双曲征个分布光纤中子午光线

9、自聚焦双曲征个分布光纤中子午光线自聚焦2.3.2空间光线在梯度折射率分布光纤中的传播规律空间光线在梯度折射率分布光纤中的传播规律 光纤中传播的光线除了少量的是子午光线外，更大量存在的是空间光线，即斜光线。在子午光线满足等光程条件、实现自聚焦的条件下，空间光线的轨迹存在如下两种情况。 一般情况:一般空间(斜)光线沿与光纤轴线距离做周期性变化的椭圆形螺旋线轨迹前进，即其轨迹是在半径为r1和r2的两个圆柱焦散面之间振荡，且与两个圆柱焦散面相切，光线在半径的两个极值点处-转折点改变方向。一般空间光线轨迹示意图及其在光纤端面投影的图像如图2.13(a),(b)所示。图图2.13 一般空间光线轨迹及端面投

10、影一般空间光线轨迹及端面投影特殊情况:空间光线中存在一部分特殊空间光线，其轨迹上的各点距光纤轴线为等半径，因而光线轨迹为圆柱螺旋光线(halical ray)。此时，一般空间光线的两个圆柱焦散面重合为一，即有r1 = r2，并且所有螺旋光线在二轴方向速度完全一致，色散为零。圆柱螺旋光线轨迹在光纤端面投影图像为一个圆，如图2.12(a)、(b)所示。(a) 端面投影端面投影 (b)圆柱螺旋光线圆柱螺旋光线图图2.14 空间圆柱螺旋光线及端面投影空间圆柱螺旋光线及端面投影2. 4自聚焦光纤、透镜及其成像特性自聚焦光纤、透镜及其成像特性 自聚焦光纤是基于光线在渐变折射率介质中连续折射作用而对光线起自

11、动会聚作用的一种梯度折射率分布光纤，其折射率分布随离轴距离的增大而逐渐减小。当这种自聚焦光纤用于成像时，则称为自聚焦透镜。利用离子交换法工艺可以制造自聚焦光纤;通过准确控制几何尺寸、材料折射率配比、光波长等参量以及离子交换工艺，可以获得自聚焦透镜，并控制透镜像差。自聚焦透镜具有直径小、微型化、端部为平面便于加工、调控切割长度即可改变透镜焦距等参数以及成像特性等优点，因而在光通信、传感以及成像光学中有重要而广泛的应用，并具有进一步拓宽应用领域的前景。 在实际应用中，出于简化制造工艺与节约成本等考虑，自聚焦光纤的折射率分布一般多取平方律(抛物线)分布或近似平方律分布。以下即以平方律分布为例，进一步

12、深入分析自聚焦光纤及透镜中的光线轨迹及其特性。2.4.1平方律分布自聚焦光纤中的光线轨迹与特性分析平方律分布自聚焦光纤中的光线轨迹与特性分析1.光线轨迹方程矢量形式的近轴光线微分方程（2.49）式，在考虑子午面内光线轨迹的条件下，可以转化为子午面内的标量方程，即有2211( )(1)2n rnr若光纤折射率取平方律分布（为渐变系数），即代入上式得到 222d rrdz（2.97）2211( )d rn rndz（2.96）上式的通解为上式中两个待定系数A、B可利用初始条件确定。但为确定两个系数A、B，尚需补充建立一个由上式对二求导获得的光线轨迹斜率方程:光纤端面的初始入射条件由z=0确定，应有

13、00,rr PPcossinrAzBz（2. 98） sincosdrPAzBzdz（2.99）将上述初始条件代入（2. 98）式、（2.99）式，可解出两个待定系数值为00,PArB其中0P1tan应为O点处折射后的斜率将A、B系数值代入(2. 98)式与(2. 99)式，则有（2.100）式与（2.101）式分别为近轴条件下自聚焦光纤中的光线轨迹方程和光线轨迹斜率方程。若将上两式表为矩阵方程形式，则有00cossinPrrzz 00sincosPrzPz（2.100）（2.101） 001cossinsincosrzzrPPzz（2.102）定义如下的矩阵M为自聚焦光纤的作用矩阵:显然，作

14、用矩阵M决定了自聚焦光纤中子午光线的光线轨迹。在(2.103)式中，若知折射率渐变系数 ，则可求出作用矩阵M;再知初始条件r0，p0 ，则由(2.102)式可确定光线的具体传播规律。1cossinsincoszzzzM M（2.103）若将光线轨迹方程(2.100)式表为位相与初位相和的三角函数形式，即变换为0sin()rRz（2.104）22200000/arctan(/)rrPrP（2.105）（2.106）则表明光线轨迹为一族正弦曲线。上式中R、 分别为振幅和初位相，并可表为如下关系式:0（2.104）式表明，一般情况下，子午光线轨迹为一初位相不为0的正弦曲线，且振幅R值随 值的增大以及

15、渐变系数的减小而增大，如图2.15所示。00、rP图图2.15 子午光线在端面任意点子午光线在端面任意点投射（投射（r。，。，P。）。） 2.光线传播特性与规律分析为深入研究分析平方律分布光纤中光线传播的特性与规律，必须首先研究近轴条件下光纤端面两种特殊入射条件的光线传播规律。光线以1角人射于光纤端面轴上点。001010,tan,tanrPP如图2.16所示，应有初始条件将上述值代人(2.100)式和(2.101)式，即得到光线轨迹与斜率方程分别为 （2.108）0101tansinsincostancosPrzzPPzz（2.107）式中， 为入射光线在光纤端面轴上点的人射角， 为折射角。1

16、1(2. 107)式表明，光线轨迹是初位相为零的正弦曲线;进一步对位相的研究表明，其周期长度为 由(2. 87)式，表明在近轴条件下，平方律分布的光纤具有自聚焦(零色散)特性，轴上点发出的不同光线其光线轨迹正弦曲线的周期长度不变。2图图2.16 子午光线在端面轴上点入射子午光线在端面轴上点入射进一步分析其振幅特性，由(2.107)式或将初始条件代入(2.105)式，均应有振幅1tanR（2.109）1 maxmaxtanRa（2.110）式中，a为光纤半径。亦即， ，且在最大孔径角 条件下，应有1tanR1 max由于O点为光纤端面的轴上点，因而可定义数值孔径(通常取 )0=1n1NAna（2

17、.112）01 max1 max11 max1 max112221 maxsinsinsintan1tan1NAnnnana（2.111）由于渐变折射率光纤其渐变系数 很小，即 ，因而有221a=由上式则可以求取2222111111(1)22dnnnnnaa n（2.113）112nan （2.114）另外，若给定n1和光纤芯中心与边缘折射率差值n的要求时，可求取渐变系数a的设计值。如图2. 17所示，设光纤芯中心折率为n1，边缘折射率为 ，则有dn光线以投射高度 平行于光轴人射(如图2. 18所示)。初始条件为 和 。将上述初始条件依次代人(2. 100)式和(2. 101)式 得到0r01

18、tan0P （2.116）00cossinrrzPrz （2.115）（2.115）式表明，光线轨迹为一余弦曲线，其振幅 ,其周期亦为 。在图示平行光人射条件下，若要得到平行光出射，则出射端面处应有0Rr2=a则应有 （2.118）0sin2Przznznn （2.117）因而 由上式并参看图2. 18，可得到如下重要结论: (a)当自聚焦光纤长度为半周期长度的整数倍时，若输人端面为平行于光轴(光纤轴线)的光线入射，则输出端面的出射光线亦平行于光轴。 (b)当自聚焦光纤长度为 的奇数倍时，若输人端面有光线平行于光轴人射，则出射光线将会聚于光纤出射端面轴上点;反之，若将点光源置于 长度光纤输人端

19、面的轴上点处，则出射端面可获得平行于光轴的平行光束出射。 利用上述重要特性，可通过控制切割自聚焦光纤的长度，获得所需要的光束特性与结构的各种自聚焦透镜。 / 4/ 42.4.2自聚焦透镜的成像特性自聚焦透镜的成像特性近轴成像近轴成像 自聚焦透镜主要用于成像，近轴条件下自聚焦透镜的成像特性与近轴光学的透镜成像具有类同的规律，但同时还有其特殊规律。1.自聚焦透镜的基点与焦距 利用几何光学中近轴光学的概念，可以确定自聚焦透镜的基点位置与焦距。 如图2. 19所示，根据近轴光学的定义，具有长度为 位于空气中的自聚焦透镜，其像方基点位置确定的方法如下:平行于光轴的光线以 的投射高度在自聚焦透镜入射端面1

20、的A点入射，随后沿余弦曲线轨迹与透镜出射端面2交于 点，投射高度为 ，其入射角度为 ，经折射后折射角为 ，像方出射光线与光轴的交点为F，此即自聚焦透镜的像方焦点;出射光线的反向延长线与人射平行光线的交点B即决定了透镜像方主面位置，过B点做与光轴垂直的平面即为自聚焦透镜的像方主面，该面与光轴的交点即为像方主点H。根据近轴光学的定义和符号规则，以自聚焦透镜的出射端面2为像方基面，则可标出像方主面位置一 、像方焦面位置 ;进而根据像方焦距的定义(以像方主点H为基点，到像方焦点F的距离即为像方焦距)和符号规则即可标出方焦距厂。2A2u2uFlHl0z1r2r(1)像方焦距值f由近轴光学和图中的几何关系

21、应有图图2.19 自聚焦透镜近轴成像自聚焦透镜近轴成像101011122111111010()()(cos)()(sin)1sinRrzzRrzzrrrfn ruudrndzrd Rzndzrnrznz （2.119）式中， 为渐变系数， 为沿轴折射率， 为自聚焦透镜的长度。上式表明自聚焦透镜的焦距 f随渐变系数值与透镜长度 的变化而变化。为分析自聚焦透镜厂随透镜长度变化规律，将f对z求一阶与二阶导数。根据 可确定极值点的位置；由 ，可判断f存在极小值 。根据计算可得到0zminf220fz0fz1n0zmin11fn （2.120）(2)像方主面位置 由图2. 19所示应有Hl0110011

22、0101tan()(cos)1cos2sinsinHFzrrzzllfnrznzn （2.121） 由(2. 119)式和(2. 121)式可以看出，在自聚焦透镜折射率分布渐变系数 确定的条件，其像方主面位置 与像方焦距值f均将随自聚焦透镜长度 的变化而做周期性的变化，且变化的幅度很大。图2. 20分别画出了自聚焦透镜的光线轨迹、像方焦距值f以及像方主面的位置 。随透镜长度 的变化规律。Hl0zHl0z图图2.20 自聚焦透镜近轴光线轨迹、焦距与主面位置函数曲自聚焦透镜近轴光线轨迹、焦距与主面位置函数曲线线 由图2. 20可见，通过控制切割自聚焦透镜具有不同的长度 ，可实现其焦距值 与基点位置

23、 发生为实现特定成像要求所需要的很大的动态变化范围(如焦距值的正负与量值大小)，因而可实现多变的成像效果，这也正是自聚焦透镜所特有的灵活成像特性的巨大优点。0zfHl 术语自聚焦透镜在国际市场上的称谓为GRIN-Rod Lens，即梯度折射率棒状透镜的缩写。世界上生产这种透镜的一大厂家是日本平板玻璃公司，其商标为SELFOC。自聚焦透镜的直径d一般为1 2 mm，长度 一般为330 mm。具有质量轻(5200 mg)、尺寸小以及可实现短焦距等特点。一个自聚焦透镜光学性能与结构参数的典型值如表2. 3所示。0z应该指出的是，自聚焦透镜的数值孔径随入射光线入射位置的不同而变化。其中，光纤轴线上即中

24、心处数值孔径角最大，远离光轴则数值孔径角逐渐减小。表中给出的即为自聚焦透镜中心的数值孔径。表表2. 3自聚焦透镜光学性能为结构参数的典型值示例自聚焦透镜光学性能为结构参数的典型值示例 2.自聚焦透镜的成像 (1)符号规则 将自聚焦透镜用于成像光路中，其有关的量值符号规定，将遵循传统近轴光学的符号规则。例如，以线段符号标注为例，在正向光路规定的前提下，沿光轴方向的线段(如主面位置、焦点位置、焦距值 )，以透镜端面轴心点(或相应主点等)为原点，左“一”，右“+”;垂直于光纤轴线的线段，则以光纤轴线为基准，下“一”，上“+”。有关角度的规定，亦类同。ff (2)解析法成像 在知道自聚焦透镜的 与各基

25、点位置等光学与结构性能参数后，若给定成像物体(或成像位置)在光路中与自聚焦透镜的相对位置关系，则可利用如下近轴光学的相关解析公式求取物像关系:111llf（2.122）fF上式为高斯公式。式中， 、 分别为以自聚焦透镜入射端面和出射端面为原点的物距和像距， 为自聚焦透镜焦距值。llxxff（2.123）上式为牛顿公式。式中， 、 分别为以自聚焦透镜物方焦点 和像方焦点 为原点度量的物距与像距。xxF (3)图解法求像 根据上述自聚焦透镜基点位置与焦距值随透镜长度 变化而变化的规律，在给定物体位置以及透镜长度 的相对周期长度值范围的条件下，即可利用传统的图解法与相关概念，方便地确定自聚焦透镜的各基点位置、焦距值以及像的位置与大小。自聚焦透镜的图解法，具有直观、形象、定性，且可获得全面概念等优点。0z0z 下面给出具有不同自聚焦透镜长度 情况下，透镜焦距 以及成像随 与物距的变化规律(如图2. 21所示)。0z()Hf l0z002z（ 为 周期长度），即2140