第三章1概率与概率分布-end

1、第三章第三章 概率与概率分布概率与概率分布第三章第三章 概率与概率分布概率与概率分布 第一节 概率的基本知识 第二节 几种常用的理论分布 第三节 统计数的分布第一节第一节 概率的基本知识概率的基本知识一、概率的概念二、概率的计算三、概率分布 一、事件、频率、概率的概念事件事件(event)(event)：在自然界中，一种事物常存在几种可能出现的情况，每一种可能出现的情况称为事件。一窝生几只小猪？一窝生几只小猪？3？4？5？6？确定现象确定现象：可预知在一定条件：可预知在一定条件下是否出现下是否出现 必然事件（）：必然事件（）：一定条件下一定条件下必然出现的现象，如水烧开必然出现的现象，如水烧开

2、 不可能事件（）：不可能事件（）：一定条件一定条件下必然不出现的现象，如种子下必然不出现的现象，如种子发芽不可能是发芽不可能是100%不确定现象不确定现象 随机事件：随机事件：一定条件下可能发一定条件下可能发生，也可能不发生。生，也可能不发生。 频率：在相同条件下进行n次重复试验,如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率（0 W(A)1）概率：当试验重复数n逐渐增大时,随机事件A的频率W(A)越来越稳定地接近某一数值 p , 那么就 把 p称为随机事件A发生的概率P(A)=pm/n （n充分大）一般情况下，p不可能完全准确地得到 例如：调查某一棉田盲椿象发生危害的情况调查株

3、数(n)受害株数(a)受害频率(a/n)52.402512.485015.3010033.3320072.36500177.3541000351.3511500525.3502000704.352n较小时，受害频率波动很大较小时，受害频率波动很大n较大时，受害频率趋于稳定较大时，受害频率趋于稳定0.35统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验概率或统计概率，用公式表示为：nmpAPnlim)(式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。常以n充分大时，事件A发生的频率作为事件A发生概率p的近似值P(A)的取集范围为：0 P(A) 1随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它反映了事件在一次试验

4、中发生可能性的大小，概率大表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可能性小。概率的基本性质1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）12、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1 3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0二、概率的计算二、概率的计算n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA1（一）事件的相互关系（一）事件的相互关系例如：检验小麦面粉品质例如：检验小麦面粉品质随机抽取一个样品的出粉率为81%以下简称事件A，随机抽取另一个样品的出粉率为81-85%称为事件，现抽取一个新样品的出粉率为85以下（事

5、件），则：出粉率等于面粉重量除以（面粉重量+麸皮重量+次粉重量） 2. 积事件积事件:A与与B同时发生同时发生而构成的新事件而构成的新事件，记作记作 A BABn个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An例如：调查棉田病虫害发生情况例如：调查棉田病虫害发生情况棉铃虫的发生为事件A黄萎病的发生为事件B棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为事件A和事件B的积事件3.互互斥事件斥事件：事件：事件A和事件和事件B不能同时发生，不能同时发生，即即AB V example豌豆花色有红色和白色：红花（事件A）白花（事件B）则F1代豌豆不可能既开红花又开白花AB V互互斥事件斥事件

6、4. 对立事件对立事件 ：事件：事件A和和B必有一个事件发生，但必有一个事件发生，但二者不能同时发生，即二者不能同时发生，即A+BU, 且且AB VBA;的对立事件，称为记作AAB新生婴儿：男孩（事件A）女孩（事件B）A+BU（必然事件）（必然事件）AB V （不可能事件）（不可能事件）互互斥事件斥事件对立事件对立事件互斥事件互斥事件事件事件A与事件与事件B不可能同时发生，不可能同时发生，强调的是强调的是“不同时发生不同时发生” AB V 事件事件A、B中必定而且只有一个发生。中必定而且只有一个发生。除了除了A就是就是B，没有第三种可能。，没有第三种可能。 A+BU AB V 5. 独立事件独

7、立事件 若事件若事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发生的可能性，反之成发生的可能性，反之成立，则称事件立，则称事件A和事件和事件B相互独立相互独立。（多个事件相互独立为。（多个事件相互独立为独立事件群）独立事件群） 例如：例如：1、事件、事件A为为“花的颜色为黄色花的颜色为黄色”，事件，事件B为为“产量高产量高”，显然花的颜色与产量无关显然花的颜色与产量无关,则事件则事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。2、播种两粒玉米，第一粒发芽为事件、播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒发芽为事，第二粒发芽为事件件B，A和和B互不影响，相互独立互不影响，相互独立6. 完全事件系完全事件系

8、若事件若事件A1、A2、An两两互斥，两两互斥，且每次试验结果必发生其一，则称且每次试验结果必发生其一，则称A1、A2、An为为完全事件系完全事件系。 例如，某个牡丹花园有三类花色：黄色、例如，某个牡丹花园有三类花色：黄色、粉色和红色，如果取一朵花，粉色和红色，如果取一朵花，“取到黄取到黄色色”（事件（事件A）、）、“取到粉色取到粉色” （事件（事件B）和和“取到红色取到红色” （事件（事件C）就构成完全）就构成完全事件系。事件系。1.1.互斥事件的加法（加法定理）互斥事件的加法（加法定理） 假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，则其和事件的概率 P(A+B)=P(A)+P(B)

9、如果有n个互斥事件，则其和事件的概率 例如：调查某玉米田，一穗株的概率P(A)=0.65,双穗株的概率P(B)=0.18，空穗株的概率P(C)=0.17，则一穗和双穗株的概率为：P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83（二）概率的计算法则)(.)()().(2121nnAPAPAPAAAP2.2.独立事件的乘法（乘法定理）独立事件的乘法（乘法定理） 假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自出现的概率，则： P(AB)=P(A)P(B)如果A1，A2，彼此独立，则 例1：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒是白色，采用复置抽样。试求下列两事件的概率(1)第一次抽到黄色，

10、第二次抽到白色；(2)两次都抽到黄色。)(.)()().(2121nAPAPAPAnAAP先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽到白色种子的概率为1/4=0.25.（1）P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到白色种子)=0.750.25=0.1875（2）P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽到黄色种子)=0.750.75=0.5625例2：播种玉米时，每穴播种两粒种子，已知玉米种子的发芽率为，试求每穴两粒种子均发芽的概率和一粒种子发芽的概率设第一粒种子发芽为事件，第二粒发芽为事件，P（A）=P（B）=0.9， 那么两粒种子都发芽的概率为：一粒种子发芽的概率为：81. 09 . 0*9

11、 . 0)()()(BPAPBAP10. 0)()(BPAP18. 09 . 0*1 . 01 . 0*9 . 0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP3.3.对立事件的减法对立事件的减法若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的概率为：P( )=1P(A)4.4.完全事件系和事件的概率为完全事件系和事件的概率为1 1例如上例，黄色种子和白色种子构成完全事件系，其和事件概率为1。_AP(抽到黄色种子)+P(抽到白色种子)=1P(新生婴儿是男孩)=1-P(新生婴儿是女孩)儿童智力的分布儿童智力的分布 三. 概率分布研究随机变量主要是研究它的取值范围，即取值的概率随机变量的取值与取这

12、些值的概率之间的对应关系称为随机变量的概率分布变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时，其概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机变量。将这种变量的所有可能取值及其对应的概率一一列出所形成的分布，称为离散型随机变量的概率分布： 变量xi x1 x2 x3 xn 概率p p1 p2 p3 pnP（X=xi）=pi (i=1,2,n) 1、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布niip11表格的形式表格的形式一般离散型随机变量，如n粒棉花种子的发芽数，n枚种蛋的出雏数，n尾鱼苗的成活数等，其概率分布都可用表格形式表示例如：投掷骰子，以向上一面所得点数为随机变量，其概率分布表如下：可能

13、得到的 点数（x）123456概率（p）1/61/61/61/61/61/62、连续型随机变量变量x的取值仅为一范围，且x在该范围内取值时，其概率是确定的，这种类型的变量称为连续型随机变量当试验资料为连续型随机变量，一般通过分组整理成次数分布表如果从总体中抽取样本的容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将它近似地看成总体的概率分布计算鲢鱼体长的频率密度（频率/组距），并作直方图 直方图中同一组内的频率密度是相等的， 因此直方图中每一个小矩形的上边中点连接起来就得到一条阶梯形曲线， 每一个直方图的矩形面积就表示该组的频率。 频率密度=频率/组距频率=频率密度组距 当样本容量n不断增加，相应的组

14、距不断减少， 那么直方条越来越多，越来越 细，阶梯曲线渐趋于光滑， 当n无限大时，频率转化为概率， 频率密度转化为概率密度，阶梯曲线转化为一条光滑的连续曲线，这时频率密度分布也转化为概率密度分布。f(x)x1, x2x即：概率密度函数即：概率密度函数f(x)曲线与曲线与x轴所围成的面积为轴所围成的面积为1So: 连续型随机变量概率的分布由概率密度函数所确定连续型随机变量概率的分布由概率密度函数所确定四、大数定律与中心极限定理四、大数定律与中心极限定理 1、大数定律、大数定律当当n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率W（A）就可代替概率就可代替概率P（A） 频率频率和和概率概率之间

15、的关系，实际上也是之间的关系，实际上也是统计数统计数与与参数参数的关的关系，系，频率频率W（A）是一个统计数是一个统计数，概率概率p是一个参数是一个参数。 为什么可以用频率为什么可以用频率W（A）来代替概率来代替概率P（A）？）？ 为什么可以用算术平均数为什么可以用算术平均数 来推断总体平均数来推断总体平均数的的?x大数定律是概率论中用来阐述大数定律是概率论中用来阐述大量随机现象大量随机现象平均结果平均结果稳定性稳定性的的一系列定律的总称。一系列定律的总称。贝努里大数定律贝努里大数定律：设设m是是n次独立试验中事件次独立试验中事件A出现的次数，而出现的次数，而p是事件是事件A在每次试在每次试验

16、中出现的概率，则对于任意小的正数验中出现的概率，则对于任意小的正数，有如下关系：有如下关系： 式中，式中，P为实现为实现 这一事件的概率，这一事件的概率，P=1为必然事件。为必然事件。 1limpnmPn pnm贝努里大数定律说明贝努里大数定律说明？ 当试验在不变的条件下，重复次数当试验在不变的条件下，重复次数n接近无限大时，频接近无限大时，频率率m/n与理论概率与理论概率p的差值，必定要小于一个任意小的正的差值，必定要小于一个任意小的正数数，即这两者可以基本相等，这几乎是一个必然要发生即这两者可以基本相等，这几乎是一个必然要发生的事件，即的事件，即P=1。1limpnmPn辛钦大数定律辛钦大

17、数定律？说明为什么可以用算术平均数说明为什么可以用算术平均数 来推断总体平均数来推断总体平均数的。的。设设x1，x2，xn是来自同一总体的随机变量，对于任意小的是来自同一总体的随机变量，对于任意小的正数正数有如下关系：有如下关系： 阐述了当试验重复次数阐述了当试验重复次数n无限增大，随机变量的算术平均数无限增大，随机变量的算术平均数与总体平均数之间的差，一定小于任意小的正数与总体平均数之间的差，一定小于任意小的正数，也就是也就是 基本上与基本上与相等。相等。这几乎是一个必然要发生的事件，这几乎是一个必然要发生的事件，即即P=1。11lim1niinxnPxxxx实际上，我们可以这样来理解大数定

18、律实际上，我们可以这样来理解大数定律：设一个随机变量设一个随机变量 xi 是由一个总体平均数是由一个总体平均数和一个随机误差和一个随机误差i所所构成，可以用线性模型来表达：构成，可以用线性模型来表达： xi = +i如果从同一总体抽取如果从同一总体抽取n个随机变量，就构成一个样本，那么样个随机变量，就构成一个样本，那么样本平均数可表示为：本平均数可表示为： 从上式可看出，当试验次数从上式可看出，当试验次数n越来越大时，越来越大时， 部分会变部分会变得越来越小。得越来越小。 因为：因为：i有正有负，正负相互抵消，且随着有正有负，正负相互抵消，且随着n的增大，的增大， 会变得非常小，使会变得非常小

19、，使 越来越接近越来越接近。 niiniiniinnxnx111111niin11niin11从以上解释，我们可以将大数定理通俗地表达为：从以上解释，我们可以将大数定理通俗地表达为：样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小。有了大数定律作为理论基础，只要是从总体中抽取的随机变有了大数定律作为理论基础，只要是从总体中抽取的随机变量相当多，就可以用样本的统计数来估计总体参数。量相当多，就可以用样本的统计数来估计总体参数。 尽管存在随机误差，但通过进行大量的重复试验，其总体特尽管存在随机误差，但通过进行大量的重复试验，其总体特征是可以透过个别的偶然现象显示出其必然性，而且这种征是可以透过个别的偶然现象显示出其必然性，而且这种随随机误差可以用数学方法进行测定机误差可以用数学方法进行测定，在一定范围内也可以得到，在一定范围内也可以得到人为控制，因此完全可以根据样本的统计数来认识总体的参人为控