第七章 回归分析

1、授课人：张授课人：张 星星 在数量分析中，经常会看到变量与变量之间在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。在互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。在上一章讲述了相关分析有关内容。本章介绍回归上一章讲述了相关分析有关内容。本章介绍回归分析基本概念，回归分析的主要类型：一元线性分析基本概念，回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量曲线估计、时间序列的曲线估计、

2、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。的回归分析以及逻辑回归分析等。 相关分析和回归分析都是研究变量间关系的相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。在应用中，两种分析方法经常相互统计学课题。在应用中，两种分析方法经常相互结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。 在回归分析中，变量在回归分析中，变量y y称为因变量，处于称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y y与与变量变量x x处于平等的地位，研究变量处于平等的地位，研究变量y y与变量与变量x x的密的密切程度和研究变量切程度

3、和研究变量x x与变量与变量y y的密切程度是一样的。的密切程度是一样的。 在回归分析中，因变量在回归分析中，因变量y y是随机变量，自是随机变量，自变量变量x x可以是随机变量，也可以是非随机的确定可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量变量；而在相关分析中，变量x x和变量和变量y y都是随机都是随机变量。变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述变

4、量之间的关系，进而确定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。影响程度。 作为处理变量之间关系的一种统计方法和技作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术，回归分析的基本思想和方法以及术，回归分析的基本思想和方法以及“回归回归（RegressionRegression）”名称的由来都要归功于英国统名称的由来都要归功于英国统计学家计学家F FGaltonGalton（1822182219111911）。）。 7.1 线性回归分析7.1.1线性回归分析概述线性回归分析概述线性回归分析的内容线性回归分析的内容

5、n能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量的关系n如果能的话，这种关系的强度有多大，也就是利用自变量的线性组合来预测因变量的能力有多强n整体解释能力是否具有统计上的显著性意义n在整体解释能力显著的情况下，哪些自变量有显著意义回归分析的一般步骤回归分析的一般步骤n确定回归方程中的解释变量（自变量）和被解释变量（因变量）n确定回归方程n对回归方程进行各种检验利用回归方程进行预测7.1.2 线性回归模型线性回归模型 一元线性回归模型的数学模型：一元线性回归模型的数学模型： 其中x为自变量；y为因变量； 为截距，即常量； 为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度。xy1001 用最小二乘法求解方程

6、中的两个参数，得到：用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到：21)()(xxyyxxiiixby 0多元线性回归模型多元线性回归方程：多元线性回归方程： y=0+1x1+2x2+.+kxkn1、2、k为偏回归系数。n1表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量x1变动一个单位所引起的因变量y的平均变动。 7.1.3 线性回归方程的统计检验线性回归方程的统计检验l7.1.3.1回归方程的拟合优度回归方程的拟合优度 回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度，的拟合优度，也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度，从而判断回归也就是样本观测值聚集在回归

7、线周围的紧密程度，从而判断回归方程对样本数据的代表程度。方程对样本数据的代表程度。 1、离差平方和的分解：、离差平方和的分解： 建立直线回归方程可知：建立直线回归方程可知：y的观测值的总变动可由的观测值的总变动可由 来反映，称为总变差。引起总变差的原因有两个：来反映，称为总变差。引起总变差的原因有两个：n由于由于x的取值不同，使得与的取值不同，使得与x有线性关系的有线性关系的y值不同；值不同；n随机因素的影响。随机因素的影响。2)( yy总离差平方和可分解为222yyyyyy 即：总离差平方和（即：总离差平方和（SST)=SST)=剩余离差平方和剩余离差平方和(SSE) +(SSE) +回归回

8、归离差平方和（离差平方和（SSR)SSR) 其中：其中：SSRSSR是由是由x x和和y y的直线回归关系引起的，可以由回归的直线回归关系引起的，可以由回归直线做出解释；直线做出解释；SSESSE是除了是除了x x对对y y的线性影响之外的随机因素所的线性影响之外的随机因素所引起的引起的Y Y的变动，是回归直线所不能解释的。的变动，是回归直线所不能解释的。2 2、可决系数（判定系数、决定系数）、可决系数（判定系数、决定系数） 回归平方和在总离差平方和中所占的比例可以作为一个统回归平方和在总离差平方和中所占的比例可以作为一个统计指标，用来衡量计指标，用来衡量X与与Y 的关系密切程度以及回归直线的

9、代表的关系密切程度以及回归直线的代表性好坏，称为可决系数。性好坏，称为可决系数。n对于一元线性回归方程：对于一元线性回归方程：22222211yyyyyyyyRSSTSSESSTSSESSTSSTSSRR 在多元线性回归分析中，引起判定系数增加的原因有两个：一个是方程中的解释变量个数增多，另一个是方程中引入了对被解释变量有重要影响的解释变量。如果某个自变量引入方程后对因变量的线性解释有重要贡献，那么必然会使误差平方和显著减小，并使平均的误差平方和也显著减小，从而使调整的判定系数提高。所以在多元线性回归分析中，调整的判定系数比判定系数更能准确的反映回归方程的拟合优度。1/1/1122nSSTpn

10、SSERSSTSSER对于多元线性回归方程：对于多元线性回归方程：7.1.3.2回归方程的显著性检验（方差分析回归方程的显著性检验（方差分析F检验）检验） 回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与所有的解释回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与所有的解释变量之间的线性关系是否显著。回归方程的显著性检验一般采变量之间的线性关系是否显著。回归方程的显著性检验一般采用用F检验，利用方差分析的方法进行。检验，利用方差分析的方法进行。 n 对于一元线性回归方程，检验统计量为：对于一元线性回归方程，检验统计量为：n 对于多元线性回归方程，检验统计量为：对于多元线性回归方程，检验统计量为：），（21)2/

11、() (1/)()2/(1/22nFnyyyynSSESSRF），（1p) 1/() (/)() 1/(/22pnFpnyypyypnSSEpSSRF7.1.3.3回归系数的显著性检验（回归系数的显著性检验（t检验）检验） 回归系数的显著性检验是要检验回归方程中被解释变量与回归系数的显著性检验是要检验回归方程中被解释变量与每一个解释变量之间的线性关系是否显著。每一个解释变量之间的线性关系是否显著。 之所以对回归系数进行显著性检验，是因为回归方程的显之所以对回归系数进行显著性检验，是因为回归方程的显著性检验只能检验所有回归系数是否同时与零有显著性差异著性检验只能检验所有回归系数是否同时与零有显著

12、性差异，它不能保证回归方程中不包含不能较好解释说明因变量变，它不能保证回归方程中不包含不能较好解释说明因变量变化的自变量。因此，可以通过回归系数显著性检验对每个回化的自变量。因此，可以通过回归系数显著性检验对每个回归系数进行考察。归系数进行考察。 7.1.3.3回归系数的显著性检验（回归系数的显著性检验（t检验）检验）n 对于一元线性回归方程，检验统计量为：对于一元线性回归方程，检验统计量为： 2)()2()(221nyySntxxtiiyi其中，n对于多元线性回归方程，检验统计量为：对于多元线性回归方程，检验统计量为：1)() 1()(22pnyySpntxxtiiyiijii其中，7.1.

13、3.4残差分析残差分析 残差是指由回归方程计算得到的预测值与实际样本值之间残差是指由回归方程计算得到的预测值与实际样本值之间的差距，定义为：的差距，定义为： 对于线性回归分析来讲，如果方程能够较好的反映被解释对于线性回归分析来讲，如果方程能够较好的反映被解释变量的特征和规律性，那么残差序列中应不包含明显的规律变量的特征和规律性，那么残差序列中应不包含明显的规律性。残差分析包括以下内容：残差服从正态分布，其平均值性。残差分析包括以下内容：残差服从正态分布，其平均值等于等于0；残差取值与；残差取值与X的取值无关；残差不存在自相关；残差的取值无关；残差不存在自相关；残差方差相等。方差相等。 ).(2

14、2110ppiiiixxxyyye1、对于残差均值和方差齐性检验可以利用残差图进行分析。如、对于残差均值和方差齐性检验可以利用残差图进行分析。如果残差均值为零，残差图的点应该在纵坐标为果残差均值为零，残差图的点应该在纵坐标为0的中心的带状的中心的带状区域中随机散落。如果残差的方差随着解释变量值（或被解区域中随机散落。如果残差的方差随着解释变量值（或被解释变量值）的增加呈有规律的变化趋势，则出现了异方差现释变量值）的增加呈有规律的变化趋势，则出现了异方差现象。象。2、DW检验。检验。 DW检验用来检验残差的自相关。检验统计量为检验用来检验残差的自相关。检验统计量为： DW=2表示无自相关，在表示

15、无自相关，在0-2之间说明存在正自相关，之间说明存在正自相关，在在2-4之间说明存在负的自相关。一般情况下，之间说明存在负的自相关。一般情况下，DW值在值在1.5-2.5之间即可说明无自相关现象。之间即可说明无自相关现象。)1 (2)(22221nttnttteeeDW7.1.3.5多重共线性分析多重共线性分析 多重共线性是指解释变量之间存在线性相关关系的现象多重共线性是指解释变量之间存在线性相关关系的现象。测度多重共线性一般有以下方式：。测度多重共线性一般有以下方式：1、容忍度：、容忍度： 其中，其中， 是第是第i个解释变量与方程中其他解释变量间的复相个解释变量与方程中其他解释变量间的复相关

16、系数的平方，表示解释变量之间的线性相关程度。容忍度关系数的平方，表示解释变量之间的线性相关程度。容忍度的取值范围在的取值范围在0-1之间，越接近之间，越接近0表示多重共线性越强，越接表示多重共线性越强，越接近近1表示多重共线性越弱。表示多重共线性越弱。2、方差膨胀因子、方差膨胀因子VIF。方差膨胀因子是容忍度的倒数。方差膨胀因子是容忍度的倒数。VIF越越大多重共线性越强，当大多重共线性越强，当VIF大于等于大于等于10时，说明存在严重的时，说明存在严重的多重共线性。多重共线性。 21iiRTol2iR3、特征根和方差比。根据解释变量的相关系数矩阵求得的特征、特征根和方差比。根据解释变量的相关系

17、数矩阵求得的特征根中，如果最大的特征根远远大于其他特征根，则说明这些根中，如果最大的特征根远远大于其他特征根，则说明这些解释变量间具有相当多的重复信息。如果某个特征根既能够解释变量间具有相当多的重复信息。如果某个特征根既能够刻画某解释变量方差的较大部分比例（刻画某解释变量方差的较大部分比例（0.7以上），又能刻画以上），又能刻画另一解释变量方差的较大部分比例，则表明这两个解释变量另一解释变量方差的较大部分比例，则表明这两个解释变量间存在较强的线性相关关系。间存在较强的线性相关关系。4、条件指数。指最大特征根与第、条件指数。指最大特征根与第i个特征根比的平方根。通常，个特征根比的平方根。通常，当

18、条件指数在当条件指数在0-10之间时说明多重共线性较弱；当条件指数之间时说明多重共线性较弱；当条件指数在在10-100之间说明多重共线性较强；当条件指数大于之间说明多重共线性较强；当条件指数大于100时说明存在严重的多重共线性。时说明存在严重的多重共线性。 imik7.1.3 线性回归分析的基本操作线性回归分析的基本操作（1）选择菜单）选择菜单AnalyzeRegressionLinear，出现窗口：出现窗口：（2）选择被解释变量进入）选择被解释变量进入Dependent框。框。（3）选择一个或多个解释变量进入）选择一个或多个解释变量进入Independent(s)框。框。（4）在）在Meth

19、od框中选择回归分析中解释变量的框中选择回归分析中解释变量的筛选策略。其中筛选策略。其中Enter表示所选变量强行进入回表示所选变量强行进入回归方程，是归方程，是SPSS默认的策略，通常用在一元线默认的策略，通常用在一元线性回归分析中；性回归分析中；Remove表示从回归方程中剔除表示从回归方程中剔除所选变量；所选变量；Stepwise表示逐步筛选策略；表示逐步筛选策略；Backward表示向后筛选策略；表示向后筛选策略；Forward表示表示向前筛选策略。向前筛选策略。注：多元回归分析中，变量的筛选一般有向前筛选、向后筛多元回归分析中，变量的筛选一般有向前筛选、向后筛选、逐步筛选三种基本策略

20、。选、逐步筛选三种基本策略。向前筛选（向前筛选（ Forward ）策略：解释变量不断进入回归方程）策略：解释变量不断进入回归方程的过程。首先，选择与被解释变量具有最高线性相关系数的过程。首先，选择与被解释变量具有最高线性相关系数的变量进入方程，并进行回归方程的各种检验；然后，在的变量进入方程，并进行回归方程的各种检验；然后，在剩余的变量中寻找与被解释变量偏相关系数最高且通过检剩余的变量中寻找与被解释变量偏相关系数最高且通过检验的变量进入回归方程，并对新建立的回归方程进行各种验的变量进入回归方程，并对新建立的回归方程进行各种检验；这个过程一直重复，直到再也没有可进入方程的变检验；这个过程一直重

21、复，直到再也没有可进入方程的变量为止。量为止。向后筛选（向后筛选（ Backward ）策略：变量不断剔除出回归方程）策略：变量不断剔除出回归方程的过程。首先，所有变量全部引入回归方程，并对回归方的过程。首先，所有变量全部引入回归方程，并对回归方程进行各种检验；然后，在回归系数显著性检验不显著的程进行各种检验；然后，在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除一个或多个变量中，剔除t检验值最小的变量，并重新建立检验值最小的变量，并重新建立 回归方程和进行各种检验；如果新建回归方程中所有变量回归方程和进行各种检验；如果新建回归方程中所有变量的回归系数检验都显著，则回归方程建立结束。否则按上

22、的回归系数检验都显著，则回归方程建立结束。否则按上述方法再一次剔除最不显著的变量，直到再也没有可剔除述方法再一次剔除最不显著的变量，直到再也没有可剔除的变量为止。的变量为止。逐步筛选（逐步筛选（ Stepwise ）策略：在向前筛选策略的基础上）策略：在向前筛选策略的基础上结合向后筛选策略，在每个变量进入方程后再次判断是否结合向后筛选策略，在每个变量进入方程后再次判断是否存在应该剔除出方程的变量。因此，逐步筛选策略在引入存在应该剔除出方程的变量。因此，逐步筛选策略在引入变量的每一个阶段都提供了再剔除不显著变量的机会。变量的每一个阶段都提供了再剔除不显著变量的机会。（5）第三和第四步中确定的解释

23、变量及变量筛选策略可放）第三和第四步中确定的解释变量及变量筛选策略可放置在不同的块（置在不同的块（Block）中。通常在回归分析中不止一组）中。通常在回归分析中不止一组待进入方程的解释变量和相应的筛选策略，可以单击待进入方程的解释变量和相应的筛选策略，可以单击Next和和Previous按钮设置多组解释变量和变量筛选策按钮设置多组解释变量和变量筛选策略并放置在不同的块中。略并放置在不同的块中。（6）选择一个变量作为条件变量放到）选择一个变量作为条件变量放到Selection Variable框中，并单击框中，并单击Rule按钮给定一个判断条件。只按钮给定一个判断条件。只有变量值满足判定条件的样

24、本才参与线性回归分析。有变量值满足判定条件的样本才参与线性回归分析。（7）在）在Case Labels框中指定哪个变量作为样本数据点的框中指定哪个变量作为样本数据点的标志变量，该变量的值将标在回归分析的输出图形中。标志变量，该变量的值将标在回归分析的输出图形中。7.1.5 线性回归分析的其他操作线性回归分析的其他操作1、Statistics按钮，出现的窗口可供用户选择更多按钮，出现的窗口可供用户选择更多的输出统计量。的输出统计量。（1）Estimates：SPSS默认输出项，输出与回归默认输出项，输出与回归系数相关的统计量。包括回归系数（偏回归系数系数相关的统计量。包括回归系数（偏回归系数）、

25、回归系数标准误差、标准化回归系数、回归）、回归系数标准误差、标准化回归系数、回归系数显著性检验的系数显著性检验的t统计量和概率统计量和概率p值，各解释变值，各解释变量的容忍度。量的容忍度。（2）Confidence Intervals：输出每个非标准化：输出每个非标准化回归系数回归系数95的置信区间。的置信区间。（3）Descriptive：输出各解释变量和被解释变量：输出各解释变量和被解释变量的均值、标准差、相关系数矩阵及单侧检验概率的均值、标准差、相关系数矩阵及单侧检验概率p值。值。（4）Model fit：SPSS默认输出项，输出判定系默认输出项，输出判定系数、调整的判定系数、回归方程的

26、标准误差、回数、调整的判定系数、回归方程的标准误差、回归方程显著归方程显著F检验的方程分析表。检验的方程分析表。（5）R squared change：输出每个解释变量进：输出每个解释变量进入方程后引起的判定系数的变化量和入方程后引起的判定系数的变化量和F值的变化值的变化量。量。（6）Part and partial correlation：输出方程中：输出方程中各解释变量与被解释变量之间的简单相关、偏相各解释变量与被解释变量之间的简单相关、偏相关系数。关系数。（7）Covariance matrix：输出方程中各解释变量：输出方程中各解释变量间的相关系数、协方差以及各回归系数的方差。间的相关

27、系数、协方差以及各回归系数的方差。（8）Collinearity Diagnostics：多重共线性分析：多重共线性分析，输出各个解释变量的容忍度、方差膨胀因子、特，输出各个解释变量的容忍度、方差膨胀因子、特征值、条件指标、方差比例等。征值、条件指标、方差比例等。（9）在）在Residual框中：框中：Durbin-waston表示输出表示输出DW检验值；检验值；Casewise Diagnostic表示输出表示输出标准化残差绝对值大于等于标准化残差绝对值大于等于3（SPSS默认值）的默认值）的样本数据的相关信息，包括预测值、残差、杠杆值样本数据的相关信息，包括预测值、残差、杠杆值等。等。2、

28、Options选项，出现的窗口可供用户设置多元线选项，出现的窗口可供用户设置多元线性回归分析中解释变量筛选的标准以及缺失值的性回归分析中解释变量筛选的标准以及缺失值的处理方式。处理方式。3、Plot选项，出现的窗口用于对残差序列的分析。选项，出现的窗口用于对残差序列的分析。（1）窗口左边框中各变量名的含义是：）窗口左边框中各变量名的含义是：DEPENDNT表示表示被解释变量，被解释变量，*ZPRED表示标准化预测值，表示标准化预测值，*ZRESID表示标准化残差，表示标准化残差，*DRESID表示剔除残差，表示剔除残差，*ADJPRED表示调整的预测值，表示调整的预测值，*SRESID表示学生

29、化表示学生化残差，残差，*SDRESID表示剔除学生化残差。表示剔除学生化残差。（2）绘制多对变量的散点图，可根据需要在）绘制多对变量的散点图，可根据需要在scatter框中框中定义散点图的纵坐标和横坐标变量。定义散点图的纵坐标和横坐标变量。（3）在）在Standardized Residual Plots框中选择框中选择Histogram选项绘制标准化残差序列的直方图；选择选项绘制标准化残差序列的直方图；选择Normal probability plot绘制标准化残差序列的正态绘制标准化残差序列的正态分布累计概率图。选择分布累计概率图。选择Produce all partial plots选

30、选项表示依次绘制被解释变量和各个解释变量的散点图。项表示依次绘制被解释变量和各个解释变量的散点图。4、Save选项，该窗口将回归分析的某些结果以选项，该窗口将回归分析的某些结果以SPSS变量变量的形式保存到数据编辑窗口中，并可同时生成的形式保存到数据编辑窗口中，并可同时生成XML格式的格式的文件，便于分析结果的网络发布。文件，便于分析结果的网络发布。（1）Predicted Values框中：保存非标准化预测值、标框中：保存非标准化预测值、标准化预测值、调整的预测值和预测值的均值标准误差。准化预测值、调整的预测值和预测值的均值标准误差。（2）Distance框中：保存均值或个体预测值框中：保存

31、均值或个体预测值95（默认）（默认）置信区间的下限值和上限值。置信区间的下限值和上限值。（3）Residual框中：保存非标准化残差、标准化残差等。框中：保存非标准化残差、标准化残差等。（4）Influence Statistics框中：保存剔除第框中：保存剔除第i个样本后统个样本后统计量的变化量。计量的变化量。5、WSL选项，采用加权最小二乘法替代普通最小二乘法估计选项，采用加权最小二乘法替代普通最小二乘法估计回归参数，并指定一个变量作为权重变量。回归参数，并指定一个变量作为权重变量。 以以“高校科研研究高校科研研究”数据为例，建立回归方程研究数据为例，建立回归方程研究 1、课题总数受论文数

32、的影响、课题总数受论文数的影响 2、以课题总数为被解释变量，解释变量为投入人年数（、以课题总数为被解释变量，解释变量为投入人年数（X2）、受投入高级职称的人年数（）、受投入高级职称的人年数（X3）、投入科研事业费（）、投入科研事业费（X4）、专著数（）、专著数（X6）、论文数（）、论文数（X7）、获奖数（）、获奖数（X8）。）。 （1）解释变量采用强制进入策略（）解释变量采用强制进入策略（Enter），并做多重共线），并做多重共线性检测。性检测。 （2）解释变量采用向后筛选策略让）解释变量采用向后筛选策略让SPSS自动完成解释变量自动完成解释变量的选择。的选择。 （3）解释变量采用逐步筛选策略

33、让）解释变量采用逐步筛选策略让SPSS自动完成解释变量自动完成解释变量的选择。的选择。 7.1.5 应用举例应用举例7.2 曲线估计7.2.1 曲线估计概述曲线估计概述 变量间的相关关系中，并不总是表现出线性变量间的相关关系中，并不总是表现出线性关系，非线性关系也是极为常见的。变量之间的关系，非线性关系也是极为常见的。变量之间的非线性关系可以划分为本质线性关系和本质非线非线性关系可以划分为本质线性关系和本质非线性关系。性关系。 本质线性关系本质线性关系是指变量关系形式上虽然呈非是指变量关系形式上虽然呈非线性关系，但可通过变量变换为线性关系，并最线性关系，但可通过变量变换为线性关系，并最终可通过

34、线性回归分析建立线性模型。终可通过线性回归分析建立线性模型。本质非线本质非线性关系性关系是指变量关系不仅形式上呈非线性关系，是指变量关系不仅形式上呈非线性关系，而且也无法变换为线性关系。本节的曲线估计是而且也无法变换为线性关系。本节的曲线估计是解决本质线性关系问题的。解决本质线性关系问题的。常见的本质线性模型有：常见的本质线性模型有：1、二次曲线（二次曲线（Quadratic），），方程为方程为 ，变量变换后的方程为，变量变换后的方程为2、复合曲线（复合曲线（Compound），），方程为方程为，变量变换后的方程为，变量变换后的方程为3、增长曲线（增长曲线（Growth），），方程为方程为，变

35、量变换后的方程为，变量变换后的方程为2012yxx2012 11()yxx xx01xy 01ln( )ln()ln()yx01xye01ln( )yx4、对数曲线（对数曲线（Logarithmic），），方程为方程为 ，变量变换后的线性方程，变量变换后的线性方程为为5、三次曲线（三次曲线（Cubic），），方程为方程为，变量变换后的方程为，变量变换后的方程为6、S曲线（曲线（S），），方程为方程为 ，变量变，变量变换后的方程为换后的方程为7、指数曲线（指数曲线（Exponential），），方程为方程为，变量变换后的线性方程为，变量变换后的线性方程为01ln( )yx01 1yx230123

36、yxxx012 132yxxx01/xye01 1ln( )yx10 xye01ln( )ln()yx8、逆函数（逆函数（Inverse），），方程为方程为变量变换后的方程为变量变换后的方程为9、幂函数（幂函数（Power），），方程为方程为变量变换后的方程为变量变换后的方程为10、逻辑函数（逻辑函数（Logistic），），方程为方程为 变量变换后的线性方程为变量变换后的线性方程为01/yx01 1yx10()yx01ln( )ln()ln( )yx0111/xy 0111ln()ln(ln() )xy SPSS曲线估计中，首先，在不能明确究竟曲线估计中，首先，在不能明确究竟哪种模型更接近样

37、本数据时，可在多种可选择的哪种模型更接近样本数据时，可在多种可选择的模型中选择几种模型；然后模型中选择几种模型；然后SPSS自动完成模型自动完成模型的参数估计，并输出回归方程显著性检验的的参数估计，并输出回归方程显著性检验的F值值和概率和概率p值、判定系数值、判定系数R2等统计量；最后，以判等统计量；最后，以判定系数为主要依据选择其中的最优模型，并进行定系数为主要依据选择其中的最优模型，并进行预测分析等。另外，预测分析等。另外，SPSS曲线估计还可以以时曲线估计还可以以时间为解释变量实现时间序列的简单回归分析和趋间为解释变量实现时间序列的简单回归分析和趋势外推分析。势外推分析。7.2.2 曲线

38、估计的基本操作曲线估计的基本操作 可通过绘制并观察样本数据的散点图粗略确可通过绘制并观察样本数据的散点图粗略确定被解释变量和解释变量之间的相关关系，为曲定被解释变量和解释变量之间的相关关系，为曲线拟合中的模型选择提供依据。线拟合中的模型选择提供依据。SPSS曲线估计曲线估计的基本操作步骤是：的基本操作步骤是：（1）选择菜单）选择菜单AnalyzeRegressionCurve Estimation，出现窗口如下页所示。，出现窗口如下页所示。（2）把被解释变量选到）把被解释变量选到Dependent框中。框中。（3）曲线估计中的解释变量可以是相关因素变量也可是时）曲线估计中的解释变量可以是相关因素变量也可是时间变量。如果解释变量为相关因素变量，则选择间变量。如果解释变量为相关因素变量，则选择Variable选项，并把一个解释变量指定到选项，并把一个解释变量指定到Independent框；如果框；如果选择选择Time参数则表示解释变量为时间变量。参数则表示解释变量为时间变量。（4）在）在Models中选择几种模型。中选择几种模型。（5）选择）选择Plot Models选项绘制回归线；选择选项绘制回归线；选择Display ANOVA table输出各个模型的方差分析